Del refinamiento de particiones al límite

01 · Una sucesión de aproximaciones

Una suma aislada no define la acumulación

Una suma de Riemann Σf(ξᵢ)Δxᵢ ofrece una aproximación basada en una partición y unas muestras concretas. Con pocos tramos, dos elecciones válidas pueden producir valores bastante diferentes.

La idea decisiva consiste en construir aproximaciones cada vez más finas y estudiar si sus valores se acercan a un mismo número:

El número I no se obtiene eligiendo una suma «perfecta», sino como el límite estable de todas las sumas suficientemente finas.

02 · Agregar puntos sin perder los anteriores

Qué significa refinar una partición

Una partición Q es un refinamiento de P cuando contiene todos los nodos de P y agrega uno o más puntos:

Por ejemplo, si P={0,1,2}, entonces Q={0,0.5,1,1.5,2} la refina. Cada tramo original queda dividido en partes más pequeñas.

En una sucesión anidada P₁⊆P₂⊆P₃⊆···, cada partición conserva todo lo aprendido por la anterior y aumenta la resolución.

03 · Vigilar el tramo más grande

La norma mide la resolución efectiva

Para una partición P={x₀,…,xₙ}, su norma o malla es el mayor ancho:

Si ‖P‖ es pequeña, todos los subintervalos son pequeños. Por eso la condición que expresa un refinamiento global es:

En particiones uniformes, ‖P‖=Δx=(b−a)/n, de modo que aumentar n sí fuerza la malla hacia cero. En particiones generales hay que comprobarlo.

04 · Una advertencia importante

Tener más subintervalos no siempre alcanza

Consideremos [0,2]. Para cada n, dividimos [0,1] en n partes muy pequeñas, pero dejamos intacto el tramo [1,2].

La cantidad de subintervalos crece indefinidamente, pero siempre existe un tramo de ancho 1:

La función sigue representada por una sola altura en toda la mitad derecha. No hubo refinamiento global.

05 · Organizar el proceso

Sucesiones de particiones y sumas

Para cada índice k elegimos una partición Pₖ, muestras válidas ξᵢ,ₖ y calculamos una suma:

Hay muchas familias posibles. En [a,b], una sucesión uniforme común usa n=2ᵏ tramos; cada paso parte por la mitad todos los tramos anteriores:

Las particiones no tienen que ser uniformes ni anidadas para estudiar el límite; lo esencial es que su norma tienda a cero.

06 · Eliminar decisiones accidentales

El límite no debe depender de las muestras

En una partición gruesa, elegir extremos izquierdos, derechos o puntos interiores cambia notablemente la suma. Sin embargo, al reducir todos los anchos, las muestras de cada tramo quedan cada vez más cerca entre sí.

Si f no oscila demasiado en intervalos pequeños, también se acercan sus alturas:

Para una función integrable, cualquier elección válida de muestras conduce al mismo límite cuando ‖P‖→0.

07 · Intuición de continuidad

Menos variación dentro de cada tramo

Una función continua en un intervalo cerrado cambia poco cuando sus entradas están suficientemente próximas. Al hacer pequeña la malla, cada rectángulo representa una región donde la función tiene poca variación.

Si mᵢ y Mᵢ son el mínimo y el máximo de f en el tramo i, cualquier muestra satisface:

Al sumar, toda suma de Riemann queda encerrada entre una suma inferior y una superior. Cuando la oscilación de f en cada tramo se reduce, la separación entre ambas también disminuye.

08 · Precisión solicitada

Qué significa que las sumas se acerquen a I

Decir que las sumas de Riemann convergen a I significa que podemos exigir cualquier tolerancia positiva ε y encontrar una escala δ que garantice esa precisión:

La garantía debe cumplirse para toda partición con malla menor que δ y para todas las muestras válidas. No basta con encontrar una sucesión favorable.

09 · Ejemplo de convergencia

Refinar las sumas de x² en [0,2]

Con n tramos uniformes, Δx=2/n. Las sumas izquierda y derecha pueden escribirse de forma cerrada:

Ambas tienden a 8/3. Las aproximaciones de punto medio también convergen al mismo número.

La distancia entre izquierda y derecha se reduce, y el valor 8/3≈2.666667 queda atrapado entre ambas. El punto medio converge más rápido para esta función suave.

10 · Exploración interactiva

Laboratorio: seguir el refinamiento

Elegí una función, deformá la distribución de los nodos y mové las muestras. El laboratorio compara la suma actual con la obtenida al duplicar la cantidad de tramos.

La curva violeta representa la función. Los rectángulos amarillos aportan positivamente y los rojizos, negativamente. Los puntos indican las muestras elegidas.

Preguntas para explorar

1. Duplicá varias veces n. ¿Cómo cambian la norma y el error?
2. Probá λ=0, 0.5 y 1. ¿Se acercan al mismo límite?
3. Deformá la partición. ¿Sigue convergiendo si el ancho máximo disminuye?
4. Elegí sen(3x). ¿Por qué una función más oscilante requiere mayor resolución?

11 · Implementación

Registrar una secuencia de refinamientos

El siguiente algoritmo duplica la cantidad de tramos uniformes y registra la aproximación, la malla y el cambio respecto del paso anterior.

function sumaUniforme(f, a, b, n, lambda = 0.5) {
  const ancho = (b - a) / n;
  let total = 0;
  for (let i = 0; i < n; i += 1) {
    const izquierda = a + i * ancho;
    const muestra = izquierda + lambda * ancho;
    total += f(muestra) * ancho;
  }
  return total;
}

function estudiarRefinamiento(f, a, b, pasos, lambda = 0.5) {
  const resultados = [];
  let anterior = null;
  for (let k = 0; k < pasos; k += 1) {
    const n = 2 ** k;
    const suma = sumaUniforme(f, a, b, n, lambda);
    resultados.push({
      n,
      malla: (b - a) / n,
      suma,
      cambio: anterior === null ? null : Math.abs(suma - anterior)
    });
    anterior = suma;
  }
  return resultados;
}

console.table(estudiarRefinamiento(x => x ** 2, 0, 2, 8));

Detenerse al alcanzar una tolerancia

function sumaUniforme(f, a, b, n, lambda = 0.5) {
  const ancho = (b - a) / n;
  let total = 0;
  for (let i = 0; i < n; i += 1) {
    total += f(a + (i + lambda) * ancho) * ancho;
  }
  return total;
}

function aproximarHastaEstabilizar(f, a, b, tolerancia) {
  let n = 1;
  let anterior = sumaUniforme(f, a, b, n);

  while (n < 1_048_576) {
    n *= 2;
    const actual = sumaUniforme(f, a, b, n);
    if (Math.abs(actual - anterior) < tolerancia) {
      return { aproximacion: actual, n, malla: (b - a) / n };
    }
    anterior = actual;
  }
  throw new Error("No se alcanzó la tolerancia permitida");
}

console.log(aproximarHastaEstabilizar(x => x ** 2, 0, 2, 1e-6));

12 · Comprensión y práctica

Errores frecuentes

Ejercicios de comprensión

Ejercicio 1: reconocer un refinamiento

Sean P={0,1,3} y Q={0,0.5,1,2,3}. ¿Q refina a P?

Ejercicio 2: comparar particiones

Sean P={0,1,2} y R={0,0.5,1.5,2}. ¿R refina a P?

Ejercicio 3: calcular la norma

Calculá la norma de Q={0,0.5,1,2,3}.

Ejercicio 4: sucesión uniforme

En [−2,4], ¿cuál es la norma de la partición uniforme con n=3·2ᵏ tramos?

Ejercicio 5: detectar un falso refinamiento global

En [0,1] se agregan cada vez más nodos dentro de [0,0.1], pero se conserva [0.1,1]. ¿La norma tiende a cero?

Ejercicio 6: interpretar ε y δ

Explicá con palabras la afirmación: «si ‖P‖<0.01, entonces |S−I|<0.001».

13 · Síntesis

Ideas para recordar