Definición de integral definida

01 · El punto de llegada

De muchas aproximaciones a un único valor

Partimos de una función f definida en un intervalo cerrado [a,b]. Cada partición y cada conjunto de muestras producen una suma:

Una suma particular depende de decisiones auxiliares: cuántos tramos usamos, dónde colocamos los nodos y qué muestra elegimos dentro de cada tramo. Sin embargo, al reducir la malla, esas diferencias pueden desaparecer.

Si todas las sumas suficientemente finas se acercan al mismo número I, ese número se denomina integral definida de f entre a y b.

02 · Definición de Riemann

El límite cuando la norma tiende a cero

Sea P={x₀,…,xₙ} una partición de [a,b], con Δxᵢ=xᵢ−xᵢ₋₁, y sea ξᵢ∈[xᵢ₋₁,xᵢ]. Si existe un número I tal que:

para cualquier familia de particiones y cualquier elección válida de muestras, entonces escribimos:

En ese caso se dice que f es integrable en [a,b]. El próximo tema estudiará qué funciones cumplen esta condición.

03 · Leer el símbolo

Anatomía de una integral definida

La notación compacta conserva la estructura de la suma: f(ξᵢ) aporta la altura y Δxᵢ se refleja en dx.

04 · El nombre no cambia el valor

La variable de integración es muda

Cuando los límites son constantes, la variable interna solo organiza la expresión. Puede renombrarse sin modificar el resultado:

Debe cambiarse de manera coherente tanto dentro del integrando como en el diferencial. Es incorrecto escribir ∫ₐᵇf(t)dx si no se explicó una relación entre t y x.

05 · Una exigencia fuerte

El límite debe ser independiente del camino

No alcanza con encontrar una sucesión de sumas que converja. La definición exige que todas las particiones con malla suficientemente pequeña y todas las muestras válidas conduzcan al mismo I.

Esta independencia garantiza la unicidad. Si todas las sumas se aproximaran a dos números distintos, podríamos exigir un error menor que la mitad de la distancia entre ellos y obtendríamos una contradicción.

06 · Tipo de resultado

Una integral definida es un número

En ∫ₐᵇf(x)dx, tanto a como b están fijados. Después de realizar la acumulación, la variable muda desaparece y el resultado es un valor numérico.

Por eso no se agrega una constante +C a una integral definida. La constante pertenece a la familia de primitivas, no al valor de una acumulación fija.

07 · Interpretación geométrica

Área con signo, no siempre área geométrica

Cada término f(ξᵢ)Δxᵢ conserva el signo de la función. En el límite, las contribuciones sobre el eje horizontal son positivas y las que están debajo son negativas.

Si f(x)≥0 en todo [a,b], la integral coincide con el área geométrica bajo la curva. Si la función cambia de signo, puede haber cancelación.

Por ejemplo, f(x)=x−1 en [0,2] tiene contribuciones negativas en [0,1] y positivas en [1,2]. Por simetría se cancelan y la integral vale 0, aunque la región geométrica no tenga área nula.

08 · Interpretación dimensional

Las unidades también se multiplican

En cada término de Riemann, las unidades de f se multiplican por las unidades de la variable. La integral conserva ese producto.

Este control dimensional ayuda a interpretar el resultado y a detectar errores: integrar velocidad respecto del tiempo no puede producir nuevamente velocidad.

09 · La definición en acción

Calcular ∫₀² x dx mediante sumas

Dividimos [0,2] en n partes uniformes. Entonces Δx=2/n. Usando extremos derechos, la muestra del tramo i es xᵢ=2i/n.

Como Σᵢ₌₁ⁿi=n(n+1)/2:

Ahora hacemos tender la malla 2/n a cero, lo que equivale a n→∞ en esta familia uniforme:

Si hubiéramos usado extremos izquierdos, obtendríamos 2−2/n. Las dos sucesiones son distintas para todo n finito, pero comparten el mismo límite.

10 · Exploración interactiva

Laboratorio: reconocer el valor integral

Compará distintas reglas de muestreo y observá cómo todas se estabilizan alrededor del número indicado por la integral definida.

La curva violeta representa el integrando. Los rectángulos amarillos aportan positivamente y los rojizos, negativamente.

Preguntas para explorar

1. Con f(x)=x, compará izquierda y derecha. ¿Desde qué lados se acercan a 2?
2. Elegí muestras dispersas y aumentá n. ¿Se conserva el mismo límite?
3. Probá x−1. ¿Cómo puede la integral ser 0 si hay rectángulos visibles?
4. Reducí ε. ¿Por qué se necesita una malla más pequeña?

11 · Implementación

Aproximar una integral definida

Una función numérica puede implementar directamente la suma que aparece en la definición. El resultado es una aproximación; el límite matemático justifica qué número intenta representar.

function integralRiemann(f, a, b, n, regla = "midpoint") {
  if (!Number.isInteger(n) || n <= 0) {
    throw new RangeError("n debe ser un entero positivo");
  }

  const posiciones = { left: 0, midpoint: 0.5, right: 1 };
  if (!(regla in posiciones)) {
    throw new RangeError("Regla desconocida");
  }

  const ancho = (b - a) / n;
  const lambda = posiciones[regla];
  let suma = 0;
  for (let i = 0; i < n; i += 1) {
    const muestra = a + (i + lambda) * ancho;
    suma += f(muestra) * ancho;
  }
  return suma;
}

console.log(integralRiemann(x => x, 0, 2, 1000));
// Aproximación: 2

Buscar una resolución para un error conocido

function integralRiemann(f, a, b, n) {
  const ancho = (b - a) / n;
  let suma = 0;
  for (let i = 0; i < n; i += 1) {
    suma += f(a + (i + 0.5) * ancho) * ancho;
  }
  return suma;
}

function resolverConReferencia(f, a, b, valorExacto, tolerancia) {
  let n = 1;
  while (n <= 1_048_576) {
    const aproximacion = integralRiemann(f, a, b, n);
    const error = Math.abs(aproximacion - valorExacto);
    if (error < tolerancia) {
      return { aproximacion, error, n, malla: (b - a) / n };
    }
    n *= 2;
  }
  throw new Error("No se alcanzó la tolerancia");
}

console.log(resolverConReferencia(x => x ** 2, 0, 2, 8 / 3, 1e-6));

En problemas reales el valor exacto suele ser desconocido, por lo que los métodos numéricos utilizan estimadores y cotas de error en lugar de esta comparación directa.

12 · Comprensión y práctica

Errores frecuentes

Ejercicios de comprensión

Ejercicio 1: identificar la notación

En ∫₁⁴g(t)dt, indicá los límites, el integrando y la variable de integración.

Ejercicio 2: renombrar la variable

Reescribí ∫₀²(x²+1)dx utilizando u.

Ejercicio 3: suma constante

Usá la definición para determinar ∫₂⁵3dx.

Ejercicio 4: interpretar el resultado

Una velocidad en km/h se integra respecto del tiempo en horas. ¿Qué unidades tiene el resultado?

Ejercicio 5: acumulación con signo

¿Puede una integral definida valer cero aunque f no sea la función nula?

Ejercicio 6: distinguir objetos

Explicá la diferencia entre Σᵢf(ξᵢ)Δxᵢ y ∫ₐᵇf(x)dx.

13 · Síntesis

Ideas para recordar