Funciones integrables

01 · La pregunta central

¿Cuándo existe la integral de Riemann?

En el tema anterior definimos ∫ₐᵇf(x)dx como el límite común de las sumas de Riemann cuando la malla tiende a cero. Ahora debemos decidir qué funciones poseen ese límite.

Una función acotada f:[a,b]→ℝ es integrable en el sentido de Riemann si existe un número I tal que todas las sumas suficientemente finas, con cualquier muestra válida, quedan tan cerca de I como se desee.

02 · Primer requisito clásico

La función debe estar acotada en [a,b]

La definición clásica de Riemann en un intervalo cerrado comienza con una función acotada: deben existir números m y M tales que:

Esto impide alturas infinitas dentro de las sumas y permite construir cotas inferiores y superiores finitas.

03 · Encerrar todas las muestras

Sumas inferiores y superiores

En cada subintervalo Iᵢ=[xᵢ₋₁,xᵢ], llamemos mᵢ al ínfimo de f y Mᵢ a su supremo. Construimos:

Como cualquier altura muestreada está entre esos extremos:

Las sumas de Darboux no dependen de elegir muestras específicas; encierran simultáneamente todas las elecciones.

04 · Cerrar la brecha

El criterio de integrabilidad

Una función acotada es integrable en [a,b] si y solo si, para cada ε>0, existe una partición P tal que:

La diferencia puede escribirse como:

Cada término combina la oscilación vertical del tramo con su ancho. La brecha se reduce haciendo pequeña la variación de la función, el ancho del tramo, o ambos.

05 · La garantía más utilizada

Toda función continua en [a,b] es integrable

Una función continua en un intervalo cerrado es acotada, alcanza máximo y mínimo, y es uniformemente continua. Esta última propiedad significa que podemos controlar la variación de f usando tramos suficientemente cortos en todo el intervalo a la vez.

Así, al tomar una partición con malla reducida, cada diferencia Mᵢ−mᵢ se vuelve pequeña y la brecha U−L puede hacerse menor que cualquier tolerancia.

06 · Continuidad no es necesaria

Un número finito de discontinuidades es tolerable

Una función acotada puede tener saltos, huecos o valores redefinidos en una cantidad finita de puntos y seguir siendo integrable.

La razón es geométrica: podemos encerrar cada discontinuidad en un subintervalo muy angosto. Aunque allí la oscilación vertical sea grande, el producto (Mᵢ−mᵢ)Δxᵢ puede hacerse pequeño reduciendo el ancho.

Por tanto, continuidad implica integrabilidad, pero integrabilidad no implica continuidad.

07 · Los puntos aislados no pesan

Modificar finitos valores no cambia la integral

Supongamos que f y g coinciden en todo [a,b] excepto en un número finito de puntos. Si una de ellas es integrable, la otra también, y:

Un solo punto tiene ancho cero en el proceso límite. Puede afectar algunas alturas de una suma finita, pero su influencia queda confinada a un tramo cuyo ancho tiende a cero.

Por ejemplo, cambiar f(1/2)=1/2 por f(1/2)=1000 en la función f(x)=x no cambia el valor de ∫₀¹f(x)dx=1/2.

08 · Cuando la brecha no se cierra

Una función acotada puede no ser integrable

Consideremos la función de Dirichlet en [0,1]:

Todo subintervalo, por pequeño que sea, contiene racionales e irracionales. Por eso en cada tramo mᵢ=0 y Mᵢ=1.

La brecha superior-inferior siempre vale 1 y nunca puede hacerse pequeña. Además, muestras racionales producen suma 1 y muestras irracionales producen suma 0. No existe un límite independiente de las muestras.

09 · Ejemplo con salto

Integrabilidad de una función escalonada

Sea f(x)=1 para 0≤x<1/2 y f(x)=2 para 1/2≤x≤1. Es discontinua en x=1/2.

Elegimos una partición que contiene 1/2−δ y 1/2+δ. Fuera del tramo central, la función es constante, por lo que las sumas inferior y superior coinciden. Solo hay diferencia en un intervalo de ancho 2δ.

Dada una tolerancia ε>0, basta elegir δ<ε/2. Así la brecha resulta menor que ε y la función es integrable.

Su acumulación es la suma de dos rectángulos:

10 · Exploración interactiva

Laboratorio: cerrar la brecha de Darboux

Elegí una función y refiná la partición. Los rectángulos inferiores y superiores muestran el intervalo que contiene a cualquier suma de Riemann.

Los rectángulos azules representan las alturas inferiores y los amarillos las superiores. La curva violeta muestra la función.

Preguntas para explorar

1. Compará x² y 1+sen(8x). ¿Cuál necesita más tramos para reducir la brecha?
2. Elegí la función escalonada. ¿Qué tramo concentra la diferencia?
3. Observá el valor aislado cambiado. ¿Por qué su influencia disminuye?
4. Elegí Dirichlet. ¿Por qué la brecha permanece igual aunque aumente n?

11 · Implementación

Aproximar sumas inferiores y superiores

Para una función general, un programa solo puede estimar los extremos muestreando puntos. Esto es útil para explorar, pero no reemplaza una demostración del verdadero ínfimo y supremo.

function cotasDarbouxAproximadas(f, a, b, n, muestrasPorTramo = 100) {
  const ancho = (b - a) / n;
  let inferior = 0;
  let superior = 0;

  for (let i = 0; i < n; i += 1) {
    const izquierda = a + i * ancho;
    let minimo = Infinity;
    let maximo = -Infinity;

    for (let j = 0; j <= muestrasPorTramo; j += 1) {
      const x = izquierda + ancho * j / muestrasPorTramo;
      const y = f(x);
      minimo = Math.min(minimo, y);
      maximo = Math.max(maximo, y);
    }
    inferior += minimo * ancho;
    superior += maximo * ancho;
  }
  return { inferior, superior, brecha: superior - inferior };
}

console.log(cotasDarbouxAproximadas(x => x ** 2, 0, 1, 100));

Observar la brecha durante el refinamiento

function cotasDarbouxAproximadas(f, a, b, n, muestras = 100) {
  const ancho = (b - a) / n;
  let inferior = 0;
  let superior = 0;
  for (let i = 0; i < n; i += 1) {
    let minimo = Infinity;
    let maximo = -Infinity;
    for (let j = 0; j <= muestras; j += 1) {
      const x = a + (i + j / muestras) * ancho;
      minimo = Math.min(minimo, f(x));
      maximo = Math.max(maximo, f(x));
    }
    inferior += minimo * ancho;
    superior += maximo * ancho;
  }
  return { inferior, superior, brecha: superior - inferior };
}

for (const n of [4, 8, 16, 32, 64]) {
  const cotas = cotasDarbouxAproximadas(Math.sin, 0, Math.PI, n);
  console.log({ n, brecha: cotas.brecha });
}

12 · Comprensión y práctica

Errores frecuentes

Ejercicios de comprensión

Ejercicio 1: aplicar continuidad

¿Es f(x)=x³−2x+1 integrable en [−2,3]?

Ejercicio 2: función escalonada

¿Es integrable una función acotada con tres saltos en [0,5]?

Ejercicio 3: cambio puntual

Sea g(x)=x² salvo que g(1)=100. Compará ∫₀²g con ∫₀²x²dx.

Ejercicio 4: interpretar una brecha

Si para cierta partición L=2.49 y U=2.51, ¿dónde se ubica cualquier suma con esa partición?

Ejercicio 5: función no acotada

¿Es f(x)=1/x integrable de Riemann clásicamente en [0,1]?

Ejercicio 6: explicar Dirichlet

¿Por qué refinar una partición no reduce U−L para la función de Dirichlet?

13 · Síntesis

Ideas para recordar