Signo, orientación y límites de integración

01 · Acumulación neta

La integral conserva el signo del integrando

En una suma de Riemann con orientación habitual a<b, cada ancho Δxᵢ es positivo. Por lo tanto, el signo del término f(ξᵢ)Δxᵢ coincide con el signo de f(ξᵢ).

Al pasar al límite, la integral suma las contribuciones situadas sobre el eje y resta las situadas debajo. Por eso representa una acumulación neta.

02 · Leer la gráfica

Qué ocurre encima y debajo del eje x

Si toda la función es no negativa en [a,b], entonces ∫ₐᵇf≥0. Si es no positiva, entonces ∫ₐᵇf≤0. Cuando cambia de signo, el resultado depende del balance entre regiones.

03 · Dos preguntas diferentes

Integral neta versus área geométrica total

La integral de f permite cancelaciones. Si queremos medir toda la superficie entre la curva y el eje sin cancelarla, debemos integrar el valor absoluto:

04 · Recorrer un intervalo

Los límites también indican una dirección

La notación ∫ₐᵇ no solo identifica dos extremos: indica que la acumulación se recorre desde a hasta b.

Esta convención permite manipular integrales sin tener que reordenar siempre los extremos y hace coherentes las fórmulas con desplazamientos y cambios orientados.

05 · Recorrer al revés

Intercambiar los extremos cambia el signo

La convención fundamental para límites invertidos es:

La región geométrica y la función son las mismas; cambia la orientación con que se contabilizan. Por ejemplo:

El signo negativo de la segunda integral no significa que x sea negativa en [0,2]. Proviene exclusivamente de recorrer el intervalo desde 2 hasta 0.

06 · Recorrido nulo

Si los límites coinciden, la integral vale cero

Cuando el punto inicial y el final son el mismo, el intervalo no tiene longitud y no existe recorrido sobre el cual acumular:

Esto es cierto siempre que la expresión integral tenga sentido en el contexto considerado, sin importar el valor puntual de f(a).

También es consistente con la inversión de límites: una cantidad debe ser el opuesto de sí misma, y el único número que cumple I=−I es I=0.

07 · Combinar función y orientación

Dos fuentes independientes de signo

El signo final depende de la acumulación propia del integrando y de la dirección del recorrido.

Cuando f cambia de signo, primero se calcula o analiza el balance neto con orientación creciente y luego se invierte el signo si los límites están intercambiados.

08 · Preparar el cálculo de áreas

Los ceros dividen regiones de signo constante

Para hallar área geométrica total, primero localizamos los puntos donde f(x)=0. Esos puntos separan zonas situadas encima y debajo del eje.

1. Resolver f(x)=0 dentro del intervalo.
2. Ordenar los ceros junto con los extremos.
3. Determinar el signo de f en cada región.
4. Convertir en positivas las contribuciones que estaban bajo el eje.

El próximo tema formalizará la aditividad por intervalos que justifica separar una integral en esos puntos.

09 · Ejemplo completo

Integral y área para f(x)=x−1 en [0,3]

La función se anula en x=1. En [0,1] está bajo el eje y forma un triángulo de base 1 y altura 1; su contribución es −1/2. En [1,3] está sobre el eje y forma un triángulo de base 2 y altura 2; su contribución es 2.

Para el área geométrica, ambas magnitudes se suman:

Al invertir los límites, solo cambia la orientación de la integral neta:

La superficie geométrica entre 0 y 3 sigue siendo 5/2; una figura no cambia por el orden en que nombramos sus extremos.

10 · Exploración interactiva

Laboratorio: signo y dirección

Mové ambos límites, invertí el recorrido y compará la integral orientada con las magnitudes geométricas positiva y negativa.

La región amarilla está sobre el eje y la rojiza debajo. Una flecha indica la dirección desde el límite inicial hasta el final.

Preguntas para explorar

1. Intercambiá los límites. ¿Qué resultados cambian de signo y cuáles no?
2. Hacé coincidir ambos límites. ¿Qué ocurre con las cuatro cantidades?
3. Elegí sen(x) y buscá un intervalo donde las regiones se cancelen.
4. Usá la función constante negativa. ¿Cómo interactúan su signo y la orientación?

11 · Implementación

Una aproximación que respeta la orientación

La fórmula (b−a)/n produce automáticamente un ancho negativo cuando b<a. El mismo algoritmo de punto medio incorpora así la orientación.

function integralOrientada(f, a, b, n = 10_000) {
  if (!Number.isInteger(n) || n <= 0) {
    throw new RangeError("n debe ser un entero positivo");
  }

  const ancho = (b - a) / n;
  let total = 0;
  for (let i = 0; i < n; i += 1) {
    const muestra = a + (i + 0.5) * ancho;
    total += f(muestra) * ancho;
  }
  return total;
}

const f = x => x - 1;
console.log(integralOrientada(f, 0, 3)); // ≈ 1.5
console.log(integralOrientada(f, 3, 0)); // ≈ -1.5
console.log(integralOrientada(f, 2, 2)); // 0

Aproximar el área geométrica

function integralOrientada(f, a, b, n = 10_000) {
  const ancho = (b - a) / n;
  let total = 0;
  for (let i = 0; i < n; i += 1) {
    total += f(a + (i + 0.5) * ancho) * ancho;
  }
  return total;
}

function areaGeometrica(f, a, b, n = 10_000) {
  const izquierda = Math.min(a, b);
  const derecha = Math.max(a, b);
  return integralOrientada(x => Math.abs(f(x)), izquierda, derecha, n);
}

console.log(areaGeometrica(x => x - 1, 0, 3)); // ≈ 2.5
console.log(areaGeometrica(x => x - 1, 3, 0)); // ≈ 2.5

El área ordena primero los extremos porque mide una magnitud geométrica no orientada. La integral neta conserva el orden recibido.

12 · Comprensión y práctica

Errores frecuentes

Ejercicios de comprensión

Ejercicio 1: invertir extremos

Si ∫₂⁵f(x)dx=7, calculá ∫₅²f(x)dx.

Ejercicio 2: límites iguales

Calculá ∫₄⁴(x³+1)dx.

Ejercicio 3: signo sin calcular

¿Qué signo tiene ∫₁⁴(−x²)dx?

Ejercicio 4: doble cambio de signo

¿Qué signo tiene ∫₄¹(−x²)dx?

Ejercicio 5: neto y total

Una función encierra magnitud 6 sobre el eje y magnitud 4 bajo él. Determiná su integral y su área total.

Ejercicio 6: localizar cortes

¿En qué puntos conviene separar el análisis de área para f(x)=x²−4 en [−3,3]?

13 · Síntesis

Ideas para recordar