Propiedades de la integral definida

01 · Trabajar sin recomenzar

Las propiedades reutilizan información

La definición mediante sumas de Riemann explica qué es una integral, pero no conviene reconstruir el límite en cada problema. Las propiedades permiten combinar resultados conocidos, separar regiones y estimar valores desconocidos.

Todas nacen de reglas sencillas para sumas finitas. Por ejemplo, distribuir una suma sobre αf+βg y luego pasar al límite produce la linealidad de la integral.

02 · Escalar una acumulación

El factor constante sale de la integral

Si k es constante y f es integrable:

Multiplicar todas las alturas por k multiplica cada término de Riemann y, por tanto, toda la acumulación por el mismo factor.

• Si k>1, la gráfica se estira verticalmente y la integral escala igual.
• Si 0<k<1, las alturas y la acumulación se reducen.
• Si k<0, además de escalar se invierten los signos.
• Si k=0, la integral es 0.

03 · Distribuir la integral

Integral de una suma o diferencia

Si f y g son integrables en el mismo intervalo:

La propiedad también funciona para cualquier cantidad finita de términos. Resulta especialmente útil con polinomios y expresiones descompuestas en partes conocidas.

No existe una regla análoga para productos o cocientes: en general, ∫fg ≠ (∫f)(∫g).

04 · La regla unificada

Linealidad de la integral

Las dos propiedades anteriores se resumen con constantes α y β:

En lenguaje de programación, la integral se comporta como una operación lineal: preserva combinaciones lineales.

Si conocemos ∫ₐᵇf=3 y ∫ₐᵇg=−2, entonces:

05 · Cortar y recomponer

Aditividad respecto del intervalo

Para cualquier punto c, con las integrales involucradas definidas:

Cuando a<c<b, la fórmula divide el recorrido en dos partes contiguas. También sigue siendo válida si c está fuera del intervalo gracias a la orientación de los límites.

Esta propiedad permite:

• separar una función definida por tramos;
• cortar en ceros para estudiar áreas;
• reconstruir una integral a partir de datos parciales;
• aislar una región difícil de otra sencilla.

06 · El orden se conserva

Positividad y comparación

Con orientación creciente a<b, si f(x)≥0 en todo el intervalo, entonces:

Más generalmente, si f(x)≤g(x) para todo x∈[a,b], entonces:

La diferencia g−f es no negativa, así que su integral también lo es. Por linealidad, ∫(g−f)=∫g−∫f≥0.

07 · Encerrar el valor

Cotas mediante mínimo y máximo

Si en [a,b], con a<b, se cumple:

al integrar las tres funciones obtenemos:

Los extremos son las áreas orientadas de rectángulos constantes de alturas m y M. La cota puede ser amplia, pero garantiza un intervalo seguro sin calcular la integral exactamente.

También se deduce la estimación:

08 · Cancelar nunca aumenta

Desigualdad del valor absoluto

Para una función integrable:

El lado izquierdo mide la magnitud del balance después de las cancelaciones. El derecho suma todas las magnitudes antes de cancelar, por lo que no puede ser menor.

La igualdad ocurre, por ejemplo, cuando f conserva un mismo signo en todo el intervalo. Si existen regiones positivas y negativas que se compensan, la desigualdad suele ser estricta.

09 · Ejemplo integrado

Resolver con datos, sin hallar primitivas

Supongamos que:

Por linealidad:

Por aditividad:

Además, si sabemos que −1≤g(x)≤2 en [0,4], las cotas dan:

El dato −3 es compatible con esas cotas. Finalmente, |∫₀⁴g|=3≤∫₀⁴|g|.

10 · Exploración interactiva

Laboratorio: verificar las propiedades

Combiná dos funciones, cambiá los coeficientes y mové el punto de corte. El laboratorio compara ambos lados de la linealidad y de la aditividad.

Las líneas celeste y amarilla representan f y g. La línea violeta representa la combinación αf+βg.

Preguntas para explorar

1. Cambiá α y β. ¿Se mantienen iguales ambos lados de la linealidad?
2. Mové c. ¿Por qué la suma de las dos integrales parciales no cambia?
3. Usá un coeficiente negativo. ¿Cómo se refleja en la gráfica y en la integral?
4. Compará las cotas del mensaje con el valor exacto de la combinación.

11 · Implementación

Comprobar identidades numéricamente

Un integrador de punto medio permite verificar que las discrepancias observadas se deben al error numérico y disminuyen al aumentar la resolución.

function integrar(f, a, b, n = 100_000) {
  const ancho = (b - a) / n;
  let suma = 0;
  for (let i = 0; i < n; i += 1) {
    suma += f(a + (i + 0.5) * ancho) * ancho;
  }
  return suma;
}

const f = x => x;
const g = x => x ** 2;
const alpha = 2;
const beta = -1;
const a = 0;
const b = 2;

const izquierda = integrar(x => alpha * f(x) + beta * g(x), a, b);
const derecha = alpha * integrar(f, a, b) + beta * integrar(g, a, b);
console.log({ izquierda, derecha, diferencia: izquierda - derecha });

Verificar aditividad y una cota

function integrar(f, a, b, n = 100_000) {
  const ancho = (b - a) / n;
  let suma = 0;
  for (let i = 0; i < n; i += 1) {
    suma += f(a + (i + 0.5) * ancho) * ancho;
  }
  return suma;
}

const f = x => x;
const a = 0;
const b = 2;
const c = 0.75;
const total = integrar(f, a, b);
const porPartes = integrar(f, a, c) + integrar(f, c, b);

function cotaPorMuestreo(f, a, b, pasos = 10_000) {
  let minimo = Infinity;
  let maximo = -Infinity;
  for (let i = 0; i <= pasos; i += 1) {
    const valor = f(a + (b - a) * i / pasos);
    minimo = Math.min(minimo, valor);
    maximo = Math.max(maximo, valor);
  }
  return { inferior: minimo * (b - a), superior: maximo * (b - a) };
}

console.log({ total, porPartes, cota: cotaPorMuestreo(f, a, b) });

12 · Comprensión y práctica

Errores frecuentes

Ejercicios de comprensión

Ejercicio 1: linealidad

Si ∫₀³f=4 y ∫₀³g=−1, calculá ∫₀³(3f+2g).

Ejercicio 2: reconstruir un tramo

Si ∫₀⁵f=8 y ∫₀²f=3, calculá ∫₂⁵f.

Ejercicio 3: comparación

Si f(x)≤7 en [1,4], obtené una cota superior para ∫₁⁴f.

Ejercicio 4: dos cotas

Si −2≤f(x)≤5 en [0,3], acotá su integral.

Ejercicio 5: valor absoluto

Si ∫₀⁴|f(x)|dx=9, ¿qué puede afirmarse sobre ∫₀⁴f(x)dx?

Ejercicio 6: detectar una regla falsa

¿Puede deducirse ∫₀¹f²=(∫₀¹f)² por linealidad?

13 · Síntesis

Ideas para recordar