La función de acumulación

01 · Un extremo empieza a moverse

De un único total a una familia de totales

Una integral definida como ∫ₐᵇ f(t)dt produce un número: la acumulación neta de f entre dos extremos fijos. Si dejamos fijo el punto inicial a y reemplazamos el extremo final por una variable x, el resultado cambia con x. Así nace una nueva función:

Para cada entrada x, la función A devuelve todo lo acumulado desde a hasta x. La función original f describe la contribución local; A conserva el historial de esas contribuciones.

02 · Leer bien la notación

x es el extremo; t es una variable muda

En A(x)=∫ₐˣf(t)dt, las letras x y t cumplen tareas distintas:

x: variable libre

Es la entrada de A y determina dónde termina la acumulación.

t: variable de integración

Recorre internamente el intervalo; fuera de la integral no conserva significado.

La variable interna puede renombrarse sin cambiar la función:

Conviene evitar A(x)=∫ₐˣf(x)dx. Aunque puede interpretarse por contexto, reutiliza la misma letra para el extremo y para la variable interna, y oculta qué cantidad está libre.

03 · El área se va desplegando

Interpretación geométrica y signo

Si x>a, A(x) es el área orientada entre la gráfica de f y el eje horizontal desde a hasta x. Las regiones sobre el eje suman y las regiones bajo el eje restan.

• Si f(t)>0 durante un tramo, al avanzar por ese tramo A aumenta.
• Si f(t)<0, las nuevas contribuciones son negativas y A disminuye.
• Si f(t)=0 en todo un intervalo, allí no se agrega nada y A permanece constante.
• Un valor nulo de A(x) puede deberse a que todavía no hubo recorrido o a que aportes positivos y negativos se cancelaron.

Por eso f(x)<0 no obliga a que A(x)<0: una acumulación previamente positiva puede estar disminuyendo y seguir por encima de cero.

04 · El origen del registro

El punto base fija el valor inicial

Al evaluar la función en su propio punto de partida, los límites coinciden:

Este cero no depende de que f(a) valga cero. Aparece porque entre a y a no hay recorrido. El punto base funciona como el instante en el que ponemos un contador en cero.

También puede evaluarse a la izquierda del punto base. Si x<a, la orientación se invierte:

Por ejemplo, para f(t)=2 y base a=1, resulta A(x)=2(x−1). Así, A(3)=4, A(1)=0 y A(0)=−2.

05 · Distintos ceros, la misma evolución

Cambiar el punto base desplaza la función

Consideremos dos acumulaciones construidas con el mismo integrando:

Por aditividad de la integral, ∫ₐˣf=∫ₐᶜf+∫𝚌ˣf. Entonces:

La diferencia entre ambas funciones es una constante. Cambiar la base no modifica cómo responden a nuevos aportes; solo cambia el nivel elegido como cero.

06 · Lo nuevo entre dos posiciones

La diferencia de acumulaciones recupera un tramo

Sean x₁ y x₂ dos entradas. La aditividad permite separar el recorrido en x₁:

La identidad es válida cualquiera sea el orden de x₁ y x₂. Su lectura es directa: la variación del total entre dos puntos coincide con lo acumulado exclusivamente durante ese tramo.

Para un incremento h:

Esta fórmula será la pieza central del tema siguiente: relaciona un cambio de la función acumulada con los valores locales de f. Por ahora la usaremos sin tomar todavía ningún límite derivativo.

07 · Construir funciones concretas

Tres ejemplos fundamentales

Integrando constante

Si f(t)=k, cada unidad de recorrido aporta siempre k:

La acumulación de una constante es lineal y pasa por (a,0).

Integrando lineal

Si f(t)=t y a=0, la región hasta un x≥0 es un triángulo de base y altura x:

Por ejemplo, A(1)=1/2, A(2)=2 y A(3)=9/2. Duplicar x cuadruplica el total porque también crecen las alturas incorporadas.

Integrando que cambia de signo

Para f(t)=t−1 y base 0:

En 0<x<1, se agregan valores negativos y A desciende. Después de x=1, empieza a aumentar, pero recién en x=2 los aportes positivos compensan exactamente la deuda anterior y A(2)=0.

08 · La integral suaviza saltos

Acumulación de una función por tramos

Sea la función escalón:

Con base 0, para 0≤x≤1 solo interviene el primer tramo:

Para 1<x≤3, primero se acumulan 2 unidades hasta 1 y luego se agrega el segundo tramo:

En conjunto:

Aunque f salta de 2 a −1 en t=1, A no salta: ambas expresiones valen 2 en el empalme. Cambia la dirección de crecimiento, pero el total acumulado sigue conectado.

09 · Los totales no saltan de golpe

Acotación y continuidad de la acumulación

Si |f(t)|≤M en el intervalo entre x₁ y x₂, la desigualdad del valor absoluto da:

Un recorrido corto solo puede agregar una cantidad pequeña cuando las alturas están acotadas. Esta estimación muestra que A es continua: para cambiar bruscamente su valor necesitaría acumular una cantidad no pequeña en un intervalo de ancho casi nulo.

Además, si m≤f(t)≤M y x≥a, entonces:

Estas rectas encierran la función acumulada. Son útiles cuando no disponemos de una fórmula exacta, pero sí de límites para el integrando.

10 · Reconstruir una historia

Cómo bosquejar A a partir de f

No siempre hace falta calcular una fórmula. Para obtener un bosquejo cualitativo de A, conviene leer la gráfica de f en orden:

1. 1
   Marcá el inicio

   Ubicá A(a)=0 en el punto base.

2. 2
   Separá por signos

   Donde f>0, dibujá a A creciente; donde f<0, decreciente.

3. 3
   Compará magnitudes

   Valores grandes de |f| producen cambios más intensos; valores cercanos a cero, variaciones más suaves.

4. 4
   Controlá balances

   Un cruce de A por cero indica cancelación de toda la acumulación desde a.

5. 5
   Revisá la continuidad

   Un salto finito de f no debe convertirse en un salto de A.

Los ceros de f suelen señalar cambios entre crecimiento y decrecimiento de A, pero no tienen por qué ser ceros de A. Son preguntas distintas: una mira el aporte actual y la otra, el balance histórico.

11 · Exploración interactiva

Laboratorio: recorrer y acumular

Elegí un integrando, mové el extremo x y cambiá el punto base. El panel superior sombrea el tramo orientado sobre f; el inferior muestra toda la función de acumulación y destaca el valor actual.

El gráfico superior representa f y la región acumulada entre a y x. El inferior representa A(s)=∫ₐˢf(t)dt.

Preguntas para explorar

1. Con f(t)=t−1 y base 0, ¿por qué A(2)=0 aunque f(2)=1?
2. Mové x hacia la izquierda de a. ¿Cómo interviene la orientación?
3. Cambiá la base sin cambiar el integrando. ¿La curva acumulada modifica su forma o solo su altura?
4. Elegí la función por tramos. ¿Por qué A permanece continua donde f salta?

12 · Implementación

Representar una acumulación en JavaScript

Podemos construir una función que devuelva otra función. La exterior recibe el integrando y el punto base; la interior acepta el extremo variable y aproxima la integral con la regla del punto medio.

function integrar(f, a, b, n = 20_000) {
  if (a === b) return 0;

  const ancho = (b - a) / n; // puede ser negativo
  let suma = 0;
  for (let i = 0; i < n; i += 1) {
    const muestra = a + (i + 0.5) * ancho;
    suma += f(muestra) * ancho;
  }
  return suma;
}

function crearAcumulacion(f, base) {
  return x => integrar(f, base, x);
}

const f = t => t - 1;
const A = crearAcumulacion(f, 0);

console.log(A(0)); // 0
console.log(A(1)); // aproximadamente -0.5
console.log(A(2)); // aproximadamente 0

El ancho firmado (b-a)/n hace que el algoritmo respete automáticamente la orientación: si b<a, cada rectángulo lleva ancho negativo.

Verificar la identidad de incrementos

function integrar(f, a, b, n = 20_000) {
  const ancho = (b - a) / n;
  let suma = 0;
  for (let i = 0; i < n; i += 1) {
    suma += f(a + (i + 0.5) * ancho) * ancho;
  }
  return suma;
}

const f = t => t - 1;
const A = x => integrar(f, 0, x);
const x1 = 0.4;
const x2 = 1.7;
const cambioDelTotal = A(x2) - A(x1);
const aporteDelTramo = integrar(f, x1, x2);

console.log({ cambioDelTotal, aporteDelTramo });
console.log(Math.abs(cambioDelTotal - aporteDelTramo));

Generar puntos para graficar A

function integrar(f, a, b, n = 20_000) {
  const ancho = (b - a) / n;
  let suma = 0;
  for (let i = 0; i < n; i += 1) {
    suma += f(a + (i + 0.5) * ancho) * ancho;
  }
  return suma;
}

function crearAcumulacion(f, base) {
  return x => integrar(f, base, x);
}

function muestrearAcumulacion(f, base, desde, hasta, cantidad = 100) {
  const A = crearAcumulacion(f, base);
  return Array.from({ length: cantidad + 1 }, (_, i) => {
    const x = desde + (hasta - desde) * i / cantidad;
    return { x, y: A(x) };
  });
}

const puntos = muestrearAcumulacion(Math.sin, 0, 0, 2 * Math.PI);
console.log(puntos.slice(0, 3));

13 · Comprensión y práctica

Errores frecuentes

Ejercicios de comprensión

Ejercicio 1: evaluar desde la definición

Sea A(x)=∫₁ˣ3dt. Calculá A(1), A(4) y A(−1).

Ejercicio 2: distinguir valor y acumulación

Para f(t)=t−2 y A(x)=∫₀ˣf(t)dt, calculá f(2) y A(2).

Ejercicio 3: recuperar un tramo

Si A(2)=5 y A(7)=−1, ¿cuánto vale ∫₂⁷f(t)dt?

Ejercicio 4: cambiar el punto base

Si A(x)=∫₀ˣf(t)dt y A(3)=8, expresá B(x)=∫₃ˣf(t)dt mediante A.

Ejercicio 5: lectura cualitativa

Una función f es positiva en (0,2), negativa en (2,5) y A(x)=∫₀ˣf(t)dt. ¿Qué puede afirmarse sobre A?

Ejercicio 6: función por tramos

Sea f(t)=1 en [0,2] y f(t)=−2 en (2,4]. Hallá A(x)=∫₀ˣf(t)dt para 0≤x≤4 y determiná dónde vuelve a cero.

Ejercicio 7: usar una cota

Si |f(t)|≤4 y A(x)=∫₁ˣf(t)dt, acotá |A(1.03)|.

14 · Síntesis

Ideas para recordar