Teorema Fundamental del Cálculo: primera parte

01 · Dos ideas se encuentran

El puente entre acumulación y cambio

La derivada estudia un cambio instantáneo. La integral definida reúne una cantidad de aportes pequeños. A primera vista parecen procesos diferentes, pero el Teorema Fundamental del Cálculo revela que están profundamente conectados.

En el tema anterior construimos, a partir de una función f, la función de acumulación:

Cuando x avanza una pequeña cantidad, A incorpora una franja nueva. La altura de esa franja está controlada por f. Si el avance se vuelve infinitamente pequeño, la tasa de crecimiento de A coincide con la altura actual de f.

02 · Enunciado preciso

Primera parte del Teorema Fundamental

Sea f una función continua en el intervalo cerrado [a,b]. Definimos:

Entonces A es continua en [a,b], derivable en (a,b) y satisface:

En una sola notación:

Hipótesis

f es continua en el intervalo donde se acumula.

Conclusión

La acumulación A es una antiderivada de f.

En los extremos a y b pueden considerarse derivadas laterales. La afirmación ordinaria de derivabilidad se formula en el interior porque allí es posible aproximarse desde ambos lados.

03 · Qué hace cada variable

Leer la fórmula sin confundir x y t

En A(x)=∫ₐˣf(t)dt, x es la entrada de A y el extremo superior de integración. En cambio, t es una variable muda que recorre el intervalo dentro de la integral.

Renombrar t como u no cambia nada. Al derivar respecto de x, se recupera el integrando evaluado en el extremo variable:

04 · La pieza decisiva

El cociente incremental es un promedio

Para estudiar A′(x), comenzamos con la definición de derivada:

La identidad de incrementos de la función de acumulación permite simplificar el numerador:

Por lo tanto:

Cuando h>0, el lado derecho es el valor promedio de f en [x,x+h]. Cuando h<0, los signos de la orientación y de h se compensan, y la misma interpretación promedio sigue siendo válida sobre el pequeño tramo.

05 · Una franja casi rectangular

Interpretación geométrica del límite

Supongamos primero que h>0. La diferencia A(x+h)−A(x) es el área orientada de una franja estrecha entre x y x+h. Si f es continua, dentro de una franja suficientemente angosta sus alturas son cercanas a f(x).

La franja se parece entonces a un rectángulo:

Al dividir por h:

Esta aproximación mejora cuando h se acerca a cero. La gráfica de f no necesita ser horizontal; basta con que no salte en x, de modo que la oscilación de las alturas desaparezca junto con el ancho.

06 · Demostración paso a paso

Por qué el promedio converge a f(x)

Fijemos un punto interior x. La continuidad de f en x significa que, dado cualquier margen ε>0, podemos hacer que:

siempre que t esté suficientemente cerca de x. Para un h pequeño, todos los puntos del tramo entre x y x+h cumplen esa condición.

Restamos f(x) al cociente incremental y usamos que la integral de una constante sobre un tramo de longitud orientada h es f(x)h:

Aplicando la desigualdad del valor absoluto:

Aquí I representa el tramo no orientado entre x y x+h. En él, |f(t)−f(x)|<ε, de modo que:

La diferencia puede hacerse menor que cualquier ε. Por definición de límite, el cociente incremental converge a f(x), y queda demostrado que A′(x)=f(x).

1. 1
   Restar dos acumulaciones

   Aísla la integral sobre el tramo nuevo.

2. 2
   Dividir por h

   Convierte el cambio acumulado en un valor promedio.

3. 3
   Usar continuidad

   Obliga a todos los valores de la franja a acercarse a f(x).

4. 4
   Tomar el límite

   El promedio local converge al valor puntual.

07 · El teorema en acción

Ejemplos directos

Un polinomio

Sea A(x)=∫₁ˣ(t²+3t)dt. Como el integrando es continuo en todo número real:

No hace falta calcular una fórmula explícita para A. El teorema determina su derivada directamente.

Una función trigonométrica

Si S(x)=∫₀ˣsen(t)dt, entonces:

En particular, S′(0)=0, S′(π/2)=1 y S′(3π/2)=−1. Esos valores describen las pendientes de la acumulación.

Una función continua con esquina

Para V(x)=∫₀ˣ|t|dt, el integrando |t| es continuo aunque no sea derivable en 0. El teorema solo exige continuidad del integrando:

La función acumulada resulta derivable una vez más de lo que podría sugerir la esquina del integrando. No necesitamos que f′ exista.

08 · Traducir valores en pendientes

Leer la gráfica de A a partir de f

La igualdad A′=f permite trasladar toda la información conocida sobre derivadas:

Una precaución importante: f(x)=0 solo garantiza pendiente horizontal. Para afirmar que existe un máximo o un mínimo hay que estudiar el cambio de signo de f.

09 · Hipótesis y límites

Qué papel cumple la continuidad

La continuidad garantiza que el promedio de f sobre intervalos cada vez más pequeños converge al valor f(x). Si hay un salto en x, los promedios laterales pueden acercarse a números diferentes.

Por ejemplo, sea:

y A(x)=∫₀ˣf(t)dt. Para x<0, A(x)=x; para x≥0, A(x)=3x. La derivada lateral izquierda de A en 0 vale 1 y la derecha vale 3. Por eso A′(0) no existe.

La continuidad es una condición suficiente muy cómoda, no una condición necesaria en todos los casos. El teorema puede extenderse bajo hipótesis más débiles, pero esas versiones requieren herramientas adicionales.

10 · Un detalle conceptual

La integral no detecta un único punto, pero la fórmula sí

Modifiquemos una función solo en un punto:

La integral de g sobre cualquier intervalo es 0, porque un punto aislado no tiene ancho. Por eso su acumulación es la función constante G(x)=0 y G′(0)=0.

Sin embargo, g(0)=7. Entonces en ese punto no se cumple G′(0)=g(0). No hay contradicción: g no es continua en 0 y, por tanto, no satisface la hipótesis del teorema allí.

11 · No mezclar los dos sentidos

Primera parte versus segunda parte

El nombre «Teorema Fundamental del Cálculo» suele agrupar dos resultados relacionados. Conviene distinguirlos desde ahora:

La primera parte empieza con una integral de extremo variable y obtiene una derivada. La segunda empieza con una antiderivada conocida y la utiliza para calcular una integral entre extremos fijos.

Entre ambas aparecerá todavía una extensión importante: cuando el extremo no es simplemente x, sino una función como x² o sen(x), será necesario combinar el teorema con la regla de la cadena.

12 · Exploración interactiva

Laboratorio: del promedio a la pendiente

Mové el punto x y reducí el incremento h. El panel superior muestra el integrando y el promedio sobre la franja; el inferior compara una recta secante de la acumulación con el valor f(x).

El panel superior muestra f y la franja entre x y x+h. El inferior muestra A y la recta secante entre esos extremos.

Preguntas para explorar

1. Reducí h. ¿Cómo cambian el promedio local y el error?
2. Mové x a un punto donde f(x)=0. ¿Qué ocurre con la pendiente de A?
3. Elegí f(t)=|t| y ubicá x=0. ¿Por qué la acumulación sí es derivable allí?
4. Probá seno en zonas positivas y negativas. ¿Cómo cambia la inclinación de A?

13 · Implementación

Verificar el teorema numéricamente

Podemos aproximar primero la integral y luego la derivada de la función acumulada. Este procedimiento reproduce la estructura del teorema, aunque cada etapa introduce error numérico.

function integrar(f, a, b, n = 50_000) {
  const ancho = (b - a) / n;
  let suma = 0;
  for (let i = 0; i < n; i += 1) {
    suma += f(a + (i + 0.5) * ancho) * ancho;
  }
  return suma;
}

function acumulacion(f, base) {
  return x => integrar(f, base, x);
}

function derivadaCentral(F, x, h = 1e-4) {
  return (F(x + h) - F(x - h)) / (2 * h);
}

const f = x => Math.sin(x);
const A = acumulacion(f, 0);
const x = 1.2;

console.log({
  integrando: f(x),
  derivadaDeLaAcumulacion: derivadaCentral(A, x)
});

Observar la convergencia del promedio

La demostración sugiere un cálculo más directo: no necesitamos aproximar toda A, porque su cociente incremental es el promedio integral sobre el tramo nuevo.

function integrar(f, a, b, n = 50_000) {
  const ancho = (b - a) / n;
  let suma = 0;
  for (let i = 0; i < n; i += 1) {
    suma += f(a + (i + 0.5) * ancho) * ancho;
  }
  return suma;
}

function cocienteDeAcumulacion(f, x, h) {
  return integrar(f, x, x + h) / h;
}

const funcion = x => x ** 2;
const punto = 1;

for (const h of [1, 0.5, 0.1, 0.01, 0.001]) {
  const promedio = cocienteDeAcumulacion(funcion, punto, h);
  console.log({ h, promedio, esperado: funcion(punto) });
}

Para f(t)=t² y x=1, los promedios se acercan a 1. La coincidencia decimal es evidencia de la implementación; la demostración anterior establece la igualdad matemática.

Evitar trabajo repetido

function integrar(f, a, b, n = 50_000) {
  const ancho = (b - a) / n;
  let suma = 0;
  for (let i = 0; i < n; i += 1) {
    suma += f(a + (i + 0.5) * ancho) * ancho;
  }
  return suma;
}

// La identidad de incrementos evita calcular A(x+h) y A(x)
// como dos integrales largas desde la misma base.
function pendienteSecanteAcumulada(f, x, h) {
  if (h === 0) throw new Error('h debe ser distinto de cero');
  return integrar(f, x, x + h) / h;
}

console.log(pendienteSecanteAcumulada(x => x ** 2, 1, 0.01));

14 · Comprensión y práctica

Errores frecuentes

Ejercicios de comprensión

Ejercicio 1: aplicación directa

Si A(x)=∫₂ˣ(t⁴−3t+1)dt, hallá A′(x).

Ejercicio 2: valor de una derivada

Sea B(x)=∫₀ˣcos(t²)dt. Calculá B′(2).

Ejercicio 3: interpretar un signo

Si A(x)=∫₁ˣf(t)dt y f(4)=−3, ¿qué indica el teorema sobre A cerca de 4?

Ejercicio 4: pendiente horizontal

Sea A(x)=∫₀ˣ(t²−4)dt. ¿En qué puntos tiene A pendiente horizontal?

Ejercicio 5: máximo y mínimo

Para la función del ejercicio anterior, clasificá los puntos críticos usando el signo del integrando.

Ejercicio 6: cociente como promedio

Expresá [A(3+h)−A(3)]/h como una integral si A(x)=∫₀ˣf(t)dt.

Ejercicio 7: revisar la hipótesis

Si f(t)=−1 para t<2 y f(t)=4 para t≥2, ¿puede aplicarse directamente el teorema en x=2?

15 · Síntesis

Ideas para recordar