Derivar integrales con límites variables

01 · El extremo también puede ser una función

Más allá de un límite superior igual a x

La primera parte del Teorema Fundamental afirma que, si f es continua:

Pero muchas integrales no terminan exactamente en x. El extremo puede ser x², sen(x), eˣ o cualquier función derivable g(x). En ese caso hay dos cambios encadenados:

La regla resultante no es una fórmula aislada: es la regla de la cadena aplicada a una función de acumulación.

02 · Extremo superior compuesto

La regla para ∫ₐᵍ⁽ˣ⁾f(t)dt

Sea f continua y g derivable. Entonces:

La receta tiene dos pasos:

1. 1
   Evaluar el integrando en el extremo

   Reemplazá la variable muda t por g(x): obtenés f(g(x)).

2. 2
   Multiplicar por la derivada del extremo

   Aplicá la regla de la cadena: multiplicá por g′(x).

Si g(x)=x, entonces g′(x)=1 y recuperamos la fórmula del tema anterior.

03 · De dónde sale la fórmula

Teorema Fundamental más regla de la cadena

Definamos primero una función de acumulación con una entrada auxiliar:

Por la primera parte del Teorema Fundamental, F′(z)=f(z). La integral con extremo g(x) es la composición:

Aplicando la regla de la cadena:

Esta derivación también explica el orden de las operaciones: primero se evalúa la función exterior F en g(x); al derivar, aparecen la derivada exterior y la derivada interior.

04 · Practicar el extremo superior

Ejemplos con una frontera móvil

Extremo cuadrático

Sea H(x)=∫₀ˣ²sen(t)dt. El integrando es f(t)=sen(t) y el extremo es g(x)=x²:

El seno se evalúa en x²; no se transforma en sen²(x).

Extremo exponencial

Si P(x)=∫₁ᵉˣ ln(t)dt, entonces:

Extremo trigonométrico

Para Q(x)=∫₂ˢᵉⁿ⁽ˣ⁾(1+t³)dt:

El extremo puede disminuir cuando cos(x)<0. Ese cambio de dirección queda registrado automáticamente en el signo de g′(x).

05 · La frontera de entrada

Cuando varía el extremo inferior

Consideremos ahora:

Invertir los extremos cambia el signo:

Al derivar:

El signo negativo tiene una interpretación geométrica. Si el extremo inferior avanza hacia la derecha, se elimina una franja del intervalo; si retrocede, se incorpora una franja.

06 · Dos fronteras en movimiento

La fórmula con ambos límites variables

Sean u y v derivables, y f continua en todos los valores recorridos. Para:

elegimos un punto fijo c y separamos la integral:

Derivando cada acumulación:

El punto auxiliar c desaparece. Solo importan los valores del integrando y las velocidades en las dos fronteras.

07 · Combinar las dos contribuciones

Ejemplos con intervalos móviles

Ambos extremos lineales

Sea J(x)=∫ₓ²ˣt²dt. Aquí u(x)=x, v(x)=2x, u′=1 y v′=2:

Dos extremos trigonométricos

Para K(x)=∫ˢᵉⁿ⁽ˣ⁾ᶜᵒˢ⁽ˣ⁾eᵗdt:

El primer término corresponde al extremo superior cos(x); el segundo, con signo negativo, al extremo inferior sen(x).

Intervalo simétrico

Si R(x)=∫₋ₓˣf(t)dt, entonces u(x)=−x y v(x)=x:

Si f es par, R′(x)=2f(x). Si es impar, R′(x)=0, coherente con que la integral simétrica de una función impar vale cero.

08 · La orientación ya está incluida

Qué ocurre cuando los extremos se cruzan

La fórmula sigue siendo válida aunque u(x)>v(x). La integral definida es orientada, por lo que no necesitamos ordenar los extremos ni introducir valores absolutos:

Si en un punto x₀ se cumple u(x₀)=v(x₀), entonces J(x₀)=0. Sin embargo, su derivada puede no ser cero:

El intervalo tiene ancho nulo en ese instante, pero puede estar abriéndose a una velocidad no nula.

09 · Antes de aplicar la regla

Continuidad, derivabilidad y dominio

La fórmula necesita que cada pieza tenga sentido:

• u y v deben ser derivables en el punto donde se calcula J′.
• f debe ser continua en los valores alcanzados por los extremos, o al menos cumplir condiciones que permitan aplicar una versión más general.
• Todo el intervalo entre u(x) y v(x) debe quedar dentro del dominio donde f es integrable.

Por ejemplo:

Si x≠0, el extremo x² es positivo y el recorrido desde 1 permanece en el dominio de 1/t. La derivada es:

En x=0, la integral llega a la singularidad de 1/t y no está definida como integral propia. La fórmula algebraica no autoriza ignorar ese problema.

10 · Reconocer el alcance de la regla

Cuando el integrando también depende de x

Las fórmulas anteriores suponen que el integrando es f(t): depende de la variable de integración, pero no directamente de la variable externa x.

Una expresión como:

cambia de tres maneras: se mueve el extremo superior, se mueve el inferior y cambia el integrando en todos los puntos interiores. Bajo hipótesis adecuadas, la regla general es:

Esta es una forma de la regla de Leibniz. El último término no aparece cuando el integrando no depende explícitamente de x.

11 · Un procedimiento confiable

Cómo organizar la derivación

1. 1
   Renombrá la variable interna

   Usá t o u dentro de la integral para no confundirla con la variable externa.

2. 2
   Identificá las fronteras

   Escribí claramente cuál es el extremo inferior y cuál el superior.

3. 3
   Evaluá el integrando

   Formá f(v(x)) y f(u(x)) con paréntesis completos.

4. 4
   Multiplicá por las velocidades

   Agregá v′(x) y u′(x) por la regla de la cadena.

5. 5
   Aplicá los signos

   Conservá el término superior y restá el término inferior.

6. 6
   Revisá el dominio

   Comprobá continuidad, singularidades y valores permitidos de los extremos.

Una plantilla útil es:

12 · Exploración interactiva

Laboratorio: dos fronteras y dos aportes

Elegí un escenario y mové x. El panel superior muestra el integrando y las fronteras; el inferior representa la integral como función de x y compara su derivada teórica con una pendiente secante.

El gráfico superior muestra f y el intervalo orientado entre u(x) y v(x). El inferior muestra J(x) y una secante de ancho h.

Preguntas para explorar

1. En el primer escenario, compará x y −x. ¿Por qué la integral coincide pero su derivada cambia de signo?
2. En ∫ₓ²ˣt²dt, ubicá x=0. ¿Qué valen la integral y su derivada?
3. Observá qué sucede cuando los extremos trigonométricos se cruzan.
4. En el intervalo simétrico, ¿por qué aparecen sumadas las contribuciones de ambos lados?

13 · Implementación

Derivar extremos variables en JavaScript

La fórmula puede representarse como una función de orden superior. Recibe el integrando, los extremos y sus derivadas, y devuelve la derivada teórica de la integral.

function derivadaIntegralLimites(f, inferior, superior,
                                 derivadaInferior, derivadaSuperior) {
  return x =>
    f(superior(x)) * derivadaSuperior(x)
    - f(inferior(x)) * derivadaInferior(x);
}

const f = t => t ** 2;
const u = x => x;
const v = x => 2 * x;
const du = () => 1;
const dv = () => 2;

const derivada = derivadaIntegralLimites(f, u, v, du, dv);
console.log(derivada(3)); // 63, porque 7·3² = 63

Comparar con una derivada numérica

function integrar(f, a, b, n = 30_000) {
  const ancho = (b - a) / n;
  let suma = 0;
  for (let i = 0; i < n; i += 1) {
    suma += f(a + (i + 0.5) * ancho) * ancho;
  }
  return suma;
}

const f = t => t ** 2;
const u = x => x;
const v = x => 2 * x;
const derivada = x => 7 * x ** 2;
const J = x => integrar(f, u(x), v(x));

function derivadaCentral(F, x, h = 1e-4) {
  return (F(x + h) - F(x - h)) / (2 * h);
}

console.log({
  teorica: derivada(3),
  numerica: derivadaCentral(J, 3)
});

Separar las contribuciones para depurar

const f = t => t ** 2;
const u = x => x;
const v = x => 2 * x;
const du = () => 1;
const dv = () => 2;

function contribuciones(f, u, v, du, dv, x) {
  const superior = f(v(x)) * dv(x);
  const inferior = -f(u(x)) * du(x);
  return {
    superior,
    inferior,
    total: superior + inferior
  };
}

console.log(contribuciones(f, u, v, du, dv, 3));
// { superior: 72, inferior: -9, total: 63 }

14 · Comprensión y práctica

Errores frecuentes

Ejercicios de comprensión

Ejercicio 1: extremo superior

Derivá H(x)=∫₁ˣ³ cos(t)dt.

Ejercicio 2: extremo inferior

Derivá P(x) si integra ln(t) desde el extremo inferior x² hasta el extremo superior constante e.

Ejercicio 3: ambos extremos

Derivá Q(x)=∫ₓˣ⁺¹ eᵗdt.

Ejercicio 4: composición doble

Derivá R(x)=∫₀ˢᵉⁿ⁽ˣ²⁾ √(1+t²)dt.

Ejercicio 5: extremos que coinciden

Sea J(x)=∫ₓ²ˣt dt. Calculá J(0) y J′(0).

Ejercicio 6: cruce con derivada no nula

Sea K(x)=∫ₓ²ˣ1dt. Calculá K(0) y K′(0).

Ejercicio 7: detectar otra regla

¿Alcanza la fórmula de las fronteras para derivar M(x)=∫₀ˣ(x+t²)dt?

15 · Síntesis

Ideas para recordar