Teorema Fundamental del Cálculo: segunda parte

01 · Un resultado sorprendentemente eficiente

Del límite de sumas a dos evaluaciones

La integral definida nació como el límite de sumas de Riemann. Esa definición explica la acumulación, pero calcular el límite directamente puede ser laborioso. La segunda parte del Teorema Fundamental del Cálculo ofrece un camino exacto mucho más corto.

Si conocemos una antiderivada F de f, toda la información acumulada entre a y b se obtiene evaluando F únicamente en los extremos:

02 · Enunciado preciso

Segunda parte del Teorema Fundamental

Sea f continua en el intervalo cerrado [a,b]. Si F es cualquier antiderivada de f en ese intervalo, es decir:

entonces:

La expresión F(b)−F(a) suele abreviarse de dos maneras:

Ambas significan «evaluar en el extremo superior y restar la evaluación en el extremo inferior».

Hipótesis

f es continua y F′=f en el intervalo.

Conclusión

La integral definida es la variación neta F(b)−F(a).

03 · Cómo se conecta con la primera parte

Demostración mediante la función de acumulación

Definamos la función de acumulación desde a:

Por la primera parte del Teorema Fundamental, A′(x)=f(x). Por hipótesis, también F′(x)=f(x). Entonces:

Una función con derivada cero en un intervalo es constante. Por lo tanto existe una constante C tal que:

Evaluamos en x=a. Como A(a)=∫ₐᵃf(t)dt=0, obtenemos C=−F(a). Así:

Finalmente, al tomar x=b:

04 · Cualquier primitiva produce lo mismo

Por qué la constante de integración se cancela

Las antiderivadas de una misma función forman una familia. Si una de ellas es F(x), todas tienen la forma F(x)+C. Al evaluar en los extremos:

La constante aparece dos veces con signos opuestos y desaparece. Por eso, al calcular una integral definida, no se agrega +C al resultado.

05 · Un algoritmo de cinco pasos

Cómo aplicar la regla de Barrow

1. 1
   Revisá el intervalo

   Comprobá continuidad del integrando y posibles restricciones de dominio entre los extremos.

2. 2
   Encontrá una antiderivada

   Buscá F y verificá mentalmente que F′=f.

3. 3
   Conservá los límites visibles

   Escribí [F(x)]ₐᵇ antes de sustituir números.

4. 4
   Evaluá por separado

   Calculá F(b) y F(a), usando paréntesis si algún extremo es negativo.

5. 5
   Restá y comprobá

   Formá F(b)−F(a) y revisá si el signo y el tamaño son razonables.

La escritura intermedia evita muchos errores:

06 · Primeras evaluaciones exactas

Ejemplos con polinomios

Potencia simple

Calculemos ∫₁³x²dx. Una primitiva es F(x)=x³/3:

Combinación lineal

Para ∫₋₁²(3x²−2x+4)dx, usamos:

Entonces:

Los paréntesis alrededor de la evaluación inferior son esenciales: se resta el valor completo, no solamente su primer término.

Función impar en intervalo simétrico

Para ∫₋₂²x³dx, una primitiva es x⁴/4:

El resultado coincide con la cancelación geométrica esperada para una función impar.

07 · Otras familias elementales

Exponenciales, trigonométricas y logarítmicas

Función exponencial

Función trigonométrica

Integrando 1/x

El intervalo [1,4] no atraviesa cero, así que el integrando es continuo allí. En cambio, ∫₋₁¹1/x dx no puede evaluarse con Barrow como una integral propia: 1/x no está definida en todo el intervalo.

08 · La fórmula respeta la dirección

Extremos invertidos y coincidentes

La regla de Barrow funciona sin exigir a<b. Si los límites están invertidos:

Por tanto:

Si los extremos coinciden:

Estas propiedades ya se conocían desde la orientación de la integral. Barrow no las reemplaza: las reproduce automáticamente.

09 · Cuando cambia la expresión

Funciones por tramos y valor absoluto

Si el integrando cambia de fórmula dentro del intervalo, se divide la integral en los puntos de cambio y se aplica Barrow en cada tramo.

Por ejemplo, para calcular ∫₋₁²|x|dx, se separa en cero:

Evaluamos cada parte:

También existe una primitiva global de |x|, por ejemplo F(x)=x|x|/2, pero reconocer y separar los tramos suele ser más transparente.

Para una función escalón u otra función definida por casos, el procedimiento es el mismo: identificar cortes, integrar cada expresión en su subintervalo y sumar los resultados orientados.

10 · Interpretar correctamente el número

Integral neta no siempre significa área total

Barrow calcula la integral definida, es decir, la acumulación orientada. Si f cambia de signo, las regiones debajo del eje se restan.

Por ejemplo:

El resultado cero no significa que no haya región geométrica. Las dos áreas triangulares miden 1/2 cada una, pero tienen signos opuestos.

Para obtener el área geométrica total se integra el valor absoluto o se separa en ceros:

11 · Detectar resultados imposibles

Comprobaciones rápidas del resultado

Una evaluación simbólica debe someterse a controles sencillos:

• Derivación: verificá que la derivada de la primitiva elegida sea realmente f.
• Signo: si f≥0 y a<b, la integral no puede ser negativa.
• Cotas: si m≤f≤M, el resultado debe quedar entre m(b−a) y M(b−a).
• Simetría: una función impar integrada en [−a,a] debe dar cero; una par produce el doble del tramo positivo.
• Unidades: si f mide «cantidad por segundo», la integral debe medir «cantidad».
• Aproximación: una suma de Riemann suficientemente refinada debe acercarse al resultado exacto.

Estas comprobaciones no sustituyen una demostración, pero descubren errores de signos, exponentes y evaluaciones antes de aceptar el resultado.

12 · Exploración interactiva

Laboratorio: valor exacto y aproximación

Elegí una función, mové los extremos y cambiá la cantidad de rectángulos. El laboratorio compara la regla de Barrow con una suma de punto medio y muestra cómo disminuye el error al refinar la partición.

La curva representa el integrando. Los rectángulos aproximan la integral orientada entre a y b mediante puntos medios.

Preguntas para explorar

1. Aumentá la cantidad de rectángulos. ¿Cómo cambia el error?
2. Intercambiá la posición de a y b. ¿Qué valores cambian de signo?
3. Hacé coincidir ambos extremos. ¿Qué producen Barrow y la suma numérica?
4. Elegí seno en un intervalo simétrico respecto de π. ¿Qué cancelaciones observás?

13 · Implementación

Evaluar integrales exactas en JavaScript

Cuando conocemos una antiderivada, la regla de Barrow se implementa con una resta:

function evaluarPorBarrow(primitiva, a, b) {
  return primitiva(b) - primitiva(a);
}

const f = x => x ** 2;
const F = x => x ** 3 / 3;

const resultado = evaluarPorBarrow(F, -1, 2);
console.log(resultado); // 3

La función f no interviene directamente en la evaluación, pero sirve para verificar que F′=f y para comparar con una aproximación numérica.

Comparar con la regla del punto medio

function evaluarPorBarrow(primitiva, a, b) {
  return primitiva(b) - primitiva(a);
}

function integrarPuntoMedio(f, a, b, n = 1000) {
  const ancho = (b - a) / n;
  let suma = 0;
  for (let i = 0; i < n; i += 1) {
    const x = a + (i + 0.5) * ancho;
    suma += f(x) * ancho;
  }
  return suma;
}

const f = x => x ** 2;
const F = x => x ** 3 / 3;
const exacto = evaluarPorBarrow(F, -1, 2);
const aproximado = integrarPuntoMedio(f, -1, 2, 1000);

console.log({
  exacto,
  aproximado,
  error: Math.abs(exacto - aproximado)
});

Verificar numéricamente una primitiva

function derivadaCentral(F, x, h = 1e-5) {
  return (F(x + h) - F(x - h)) / (2 * h);
}

const f = x => x ** 2;
const F = x => x ** 3 / 3;

for (const x of [-1, 0, 1, 2]) {
  console.log({
    x,
    derivadaDeF: derivadaCentral(F, x),
    valorDeFPequena: f(x)
  });
}

14 · Comprensión y práctica

Errores frecuentes

Ejercicios de comprensión

Ejercicio 1: regla de la potencia

Calculá ∫₀²x³dx.

Ejercicio 2: varios términos

Calculá ∫₁³(2x−5)dx.

Ejercicio 3: límites invertidos

Calculá ∫₂⁰eˣdx.

Ejercicio 4: trigonometría

Calculá ∫₀ᵖⁱ⁄²cos(x)dx.

Ejercicio 5: valor absoluto

Calculá ∫₋₂¹|x|dx.

Ejercicio 6: detectar un uso inválido

¿Puede calcularse ∫₋₁¹1/x² dx escribiendo directamente [−1/x]₋₁¹?

Ejercicio 7: integral neta y área

Calculá la integral neta y el área total para f(x)=x−1 en [0,3].

15 · Síntesis

Ideas para recordar