Integral definida e indefinida: diferencias y vínculos

01 · Parecidas en la escritura, distintas en significado

Un mismo símbolo para dos construcciones

Las expresiones ∫f(x)dx y ∫ₐᵇf(x)dx comparten el símbolo integral, el integrando y el diferencial. Sin embargo, no representan el mismo tipo de objeto.

Gran parte de los errores con integrales no proviene de una cuenta difícil, sino de tratar como equivalentes estas tres ideas. Antes de operar conviene preguntar: «¿el resultado buscado es una familia de funciones, una función particular o un número?».

02 · Invertir la derivación

La integral indefinida es una familia

Si F′(x)=f(x), se escribe:

Esta notación representa el conjunto de todas las antiderivadas de f en un intervalo. La constante C es necesaria porque:

Por ejemplo:

Las funciones x², x²+5 y x²−100 son soluciones diferentes de la misma condición derivativa. Sus gráficas son traslaciones verticales y tienen la misma pendiente en cada valor de x.

03 · Acumular entre dos extremos

La integral definida produce un número

La expresión:

representa el límite de sumas de Riemann y mide la acumulación orientada de f desde a hasta b. Si a y b son valores fijos, el resultado es un escalar.

Para el mismo integrando anterior:

El número 8 no es una antiderivada. Resume el cambio neto entre los extremos. Si f representa una tasa, la integral representa la cantidad total acumulada.

• Los límites establecen el intervalo y la orientación.
• Las regiones positivas y negativas pueden cancelarse.
• No se agrega +C al resultado.
• Si los extremos cambian, en general cambia el número obtenido.

04 · Comparación directa

Qué cambia y qué permanece

Ambas construcciones se relacionan por el Teorema Fundamental, pero esa relación no borra sus diferencias. Compartir una herramienta de cálculo no significa compartir definición.

05 · El objeto intermedio

La función de acumulación construye una primitiva particular

Fijemos un punto base a y hagamos variable el extremo superior:

A diferencia de una integral con dos extremos fijos, A sí es una función de x. Si f es continua, la primera parte del Teorema Fundamental afirma:

Por lo tanto, A es una antiderivada específica de f. No es toda la familia: queda seleccionada por la condición inicial:

Para f(t)=2t y base a=1:

Esta es precisamente la integrante de la familia x²+C que cumple A(1)=0; por eso C=−1.

06 · El vínculo completo

Cómo conecta el Teorema Fundamental los tres objetos

Sea F cualquier antiderivada de una función continua f. La función acumulada desde a es:

Al evaluar esa función en b obtenemos la integral definida:

También puede leerse en sentido inverso:

• la acumulación con extremo variable fabrica una antiderivada;
• una antiderivada permite calcular acumulaciones entre extremos fijos;
• la diferencia entre dos valores de una primitiva es independiente de la constante elegida.

07 · Dos elecciones de referencia

La constante C y el punto base cumplen papeles relacionados

Cambiar C en una antiderivada produce un desplazamiento vertical. Cambiar el punto base en una función de acumulación también produce un desplazamiento vertical.

Si:

entonces:

La diferencia −A(c) es constante respecto de x. Ambas funciones tienen la misma derivada f, como debe ocurrir con dos antiderivadas.

08 · Leer cada letra correctamente

Variables libres, mudas y límites

La notación cambia de significado según qué letras estén ligadas por la integral:

∫f(x)dx

x es la variable respecto de la cual se buscan primitivas.

∫ₐᵇf(x)dx

x es muda; desaparece al obtener el número final.

∫ₐˣf(t)dt

t es muda y x queda libre como entrada de la acumulación.

dx o dt

Indica la variable de integración y completa la expresión.

Por ejemplo:

Renombrar una variable muda no altera el valor. En cambio, renombrar una variable libre exige hacerlo de manera coherente en toda la función.

09 · Un ejemplo visto de tres maneras

El caso de f(x)=cos(x)

Integral indefinida

El resultado es la familia de todas las traslaciones verticales del seno.

Función de acumulación desde 0

La base selecciona el miembro con C=0 porque A(0)=0.

Integral definida entre 0 y π/2

El resultado es un número: la variación de cualquiera de las primitivas entre esos dos extremos.

10 · El tipo de resultado también se ve en las unidades

Dimensiones y significado aplicado

Supongamos que v(t) es una velocidad medida en metros por segundo.

• ∫v(t)dt=V(t)+C describe una familia de posiciones posibles. La constante representa la posición inicial desconocida.
• ∫₂⁵v(t)dt mide el desplazamiento, en metros, entre los segundos 2 y 5.
• A(t)=∫₂ᵗv(s)ds describe el desplazamiento acumulado desde el segundo 2 hasta cada instante t.

Las unidades ayudan a detectar confusiones: una antiderivada conserva una variable independiente y produce una función; una integral con extremos fijos produce una cantidad acumulada concreta.

En aplicaciones, la constante C suele representar una condición inicial: posición inicial, cantidad almacenada, energía de referencia o saldo de partida.

11 · Pasar de una representación a otra

Qué información se necesita para convertir

1. 1
   De indefinida a definida

   Tomá una primitiva F y calculá F(b)−F(a). La constante se cancela.

2. 2
   De indefinida a acumulación

   Elegí una base a y ajustá la constante para que A(a)=0: A(x)=F(x)−F(a).

3. 3
   De acumulación a integrando

   Derivá: si se cumplen las hipótesis, A′(x)=f(x).

4. 4
   De acumulación a definida

   Usá ∫ᵤᵛf(t)dt=A(v)−A(u), aunque la base original de A sea otra.

No se puede obtener un valor definido concreto a partir de ∫f(x)dx sin conocer los extremos. Tampoco se puede seleccionar una primitiva única sin una condición como F(x₀)=y₀ o un punto base.

12 · Exploración interactiva

Laboratorio: familia, acumulación y valor definido

Elegí un integrando, mové la base a y el extremo b, y modificá C. El panel superior muestra la acumulación definida; el inferior compara una primitiva arbitraria con la acumulación anclada en cero.

El gráfico superior representa f y la región entre a y b. El inferior representa F+C y A(x)=F(x)−F(a).

Preguntas para explorar

1. Cambiá C. ¿Qué valores se modifican y cuál permanece igual?
2. Mové la base a. ¿Cómo cambia la función acumulada?
3. Hacé coincidir a y b. ¿Qué valor toma la integral definida?
4. Invertí el orden de los extremos. ¿Cómo se refleja la orientación?

13 · Modelado en JavaScript

Representar cada objeto con un tipo de función

En código conviene mantener explícita la diferencia entre una primitiva, una acumulación y un valor definido.

const f = x => 2 * x;
const primitivaBase = x => x ** 2;

function miembroDeLaFamilia(F, C) {
  return x => F(x) + C;
}

function acumulacionDesde(F, a) {
  return x => F(x) - F(a);
}

function integralDefinida(F, a, b) {
  return F(b) - F(a);
}

const P = miembroDeLaFamilia(primitivaBase, 5);
const A = acumulacionDesde(primitivaBase, 1);

console.log(P(3));                    // 14
console.log(A(3));                    // 8
console.log(integralDefinida(primitivaBase, 1, 3)); // 8

Comprobar que C no altera la diferencia

const primitivaBase = x => x ** 2;

function diferenciaDePrimitiva(F, C, a, b) {
  const FC = x => F(x) + C;
  return FC(b) - FC(a);
}

for (const C of [-100, 0, 7.5, 1000]) {
  console.log(C, diferenciaDePrimitiva(primitivaBase, C, 1, 3));
}
// Todas las líneas muestran 8.

Cuando solo se conoce el integrando

function integrarPuntoMedio(f, a, b, n = 20_000) {
  const ancho = (b - a) / n;
  let total = 0;
  for (let i = 0; i < n; i += 1) {
    total += f(a + (i + 0.5) * ancho) * ancho;
  }
  return total;
}

function acumulacionNumerica(f, base) {
  return x => integrarPuntoMedio(f, base, x);
}

const f = x => 2 * x;
const ANumerica = acumulacionNumerica(f, 1);
console.log(ANumerica(3)); // aproximadamente 8

14 · Comprensión y práctica

Errores frecuentes

Ejercicios de comprensión

Ejercicio 1: clasificar resultados

Indicá el tipo de resultado de ∫3x²dx, ∫₀²3x²dx y A(x)=∫₀ˣ3t²dt.

Ejercicio 2: ajustar la constante

De la familia F(x)=x³+C, encontrá el miembro que vale cero en x=2.

Ejercicio 3: construir una acumulación

Usá una primitiva para escribir A(x)=∫₂ˣ3t²dt.

Ejercicio 4: evaluar una definida

Calculá ∫₂⁴3x²dx usando la familia x³+C.

Ejercicio 5: recuperar un tramo

Si A(x)=∫₁ˣf(t)dt, A(3)=7 y A(5)=2, hallá ∫₃⁵f(t)dt.

Ejercicio 6: interpretar C

Una velocidad es v(t)=4t y la posición satisface s(0)=10. Encontrá s(t).

Ejercicio 7: detectar la expresión diferente

¿Cuál de estas expresiones no es una función de x: ∫x dx, ∫₀ˣt dt o ∫₀²x dx?

15 · Síntesis

Ideas para recordar