Reconocer integrales por composición

01 · Leer una derivada en sentido inverso

La regla de la cadena escondida en una integral

Al derivar una composición F(g(x)), la regla de la cadena produce dos factores:

Si llamamos f=F′, obtenemos:

Por tanto, cuando un integrando contiene esa estructura completa, podemos reconocer directamente:

02 · Separar las capas

Anatomía del patrón f(g(x))g′(x)

Consideremos:

La expresión x² está dentro del coseno, por lo que es una candidata natural a función interior:

Como todas las piezas coinciden:

La verificación es inmediata: d/dx sen(x²)=cos(x²)·2x.

03 · Un diagnóstico sistemático

Cómo buscar la función interior

1. 1
   Localizá una expresión compuesta

   Buscá algo dentro de una potencia, raíz, exponencial, logaritmo o función trigonométrica.

2. 2
   Proponé g(x)

   Elegí como interior la expresión cuyo reemplazo simplificaría más el integrando.

3. 3
   Calculá g′(x)

   No te limites a buscar algo «parecido»; derivá la candidata explícitamente.

4. 4
   Compará factores

   Comprobá si g′(x) aparece multiplicando, exactamente o salvo una constante.

5. 5
   Identificá la capa exterior

   Después de imaginar u=g(x), verificá que quede una integral inmediata en u.

6. 6
   Derivá el resultado

   La regla de la cadena debe reconstruir el integrando original completo.

04 · Coincidencias proporcionales

La derivada puede aparecer multiplicada por una constante

No siempre aparece exactamente g′(x). Es suficiente que el factor acompañante sea un múltiplo constante no nulo.

Por ejemplo:

Para g(x)=x², tenemos g′(x)=2x. El integrando contiene x=(1/2)g′(x), por lo que:

La misma idea puede expresarse con una razón:

Si la razón es constante en el intervalo relevante, puede extraerse. Si depende de x, el ajuste no es un simple factor constante.

05 · Familias de patrones

Potencias, raíces y recíprocos

Si n≠−1, la regla de la potencia compuesta adopta la forma:

Ejemplo con una raíz:

En efecto, g=x²+4, g′=2x y falta un factor 2, que se compensa con 1/2.

El exponente −1 es la excepción logarítmica:

Por ejemplo:

El denominador es siempre positivo en este ejemplo. En general se conserva el valor absoluto.

06 · Más capas exteriores conocidas

Exponenciales y funciones trigonométricas

Las tablas de integrales inmediatas pueden componerse con una función interior:

Ejemplos:

En los dos últimos casos la función interior es lineal. Su derivada constante sigue siendo un factor que debe compensarse.

07 · La estructura puede estar disimulada

Reordenar y simplificar antes de decidir

Un patrón puede quedar oculto por el orden de los factores o por una expresión algebraica no simplificada. Antes de descartar una composición:

• reordená productos;
• extraé constantes;
• escribí raíces como potencias si ayuda;
• factorizá el numerador;
• compará el numerador con la derivada del denominador o del exponente.

Por ejemplo:

El denominador sugiere g(x)=1+x⁴, cuya derivada es 4x³. Entonces:

Otro ejemplo:

Aquí el factor 6x−3 es exactamente la derivada de la expresión elevada a la cuarta potencia.

08 · La comprobación definitiva

Derivar el candidato reconstruye el patrón

La verificación por derivación no es opcional cuando se está aprendiendo a reconocer composiciones. Permite detectar factores perdidos y signos incorrectos.

Tomemos:

Derivamos aplicando la regla de la cadena:

La comprobación debe recuperar exactamente:

• la función exterior;
• la función interior completa;
• su derivada acompañante;
• todos los factores constantes y signos.

09 · Parecido no significa equivalente

Cuándo falta una pieza esencial

Consideremos:

Existe una composición visible, pero para invertir la regla de la cadena necesitaríamos un factor proporcional a 2x. Como no aparece, no podemos afirmar que la primitiva sea sen(x²); su derivada sería 2x cos(x²).

Otro falso positivo:

El exponente sugiere g=x³, pero g′=3x². La razón entre el factor presente y el necesario es:

Como depende de x, no puede extraerse como constante. La forma no coincide con el patrón inmediato eᵍg′.

10 · La forma algebraica no cuenta toda la historia

Dominio, intervalos y valor absoluto

El patrón logarítmico requiere atención especial:

La fórmula vale en cualquier intervalo donde g(x)≠0. Los ceros de g separan intervalos de definición y no pueden atravesarse como si el integrando fuera continuo.

Por ejemplo:

La expresión es válida por separado en (−∞,−1), (−1,1) y (1,∞). En x=±1 el integrando no existe.

Las raíces también imponen restricciones reales. Reconocer una composición correcta no elimina la necesidad de indicar dónde están definidas la integral y su primitiva.

11 · Elegir entre varias candidatas

Qué expresión conviene tomar como interior

A veces hay varias subexpresiones posibles. Una buena función interior suele cumplir tres criterios:

1. aparece completa dentro de otra operación;
2. su derivada está presente como factor;
3. al reemplazarla por una sola letra, el resto se convierte en una integral conocida.

En:

elegir g=x²+1 satisface los tres criterios. Elegir g=x no simplifica la potencia compuesta.

En:

el denominador completo es la elección natural porque su derivada coincide exactamente con el numerador. La integral se reconoce como ln(x²+2x+5)+C.

12 · Exploración interactiva

Laboratorio: ¿la razón es realmente constante?

Elegí un integrando y mové el punto de inspección. El laboratorio compara el integrando con el bloque f(g(x))g′(x) y calcula su razón. Si esa razón permanece constante en todo el intervalo, existe un ajuste constante válido.

El panel superior compara el integrando con el patrón reconstruido. El inferior muestra la razón entre ambos a lo largo del intervalo.

Preguntas para explorar

1. Elegí x/(1+x²). ¿Por qué la razón constante vale 1/2?
2. En cos(5x), ¿qué factor debe compensarse en la primitiva?
3. Mové el punto en x eˣ³. ¿Por qué la razón cambia?
4. Compará las curvas del panel superior. ¿Una coincidencia en un solo punto demuestra el patrón?

13 · Reconocimiento computacional

Comprobar proporcionalidad mediante muestreo

Un programa puede explorar si el factor presente es proporcional a la derivada esperada. El siguiente ejemplo calcula la razón en varios puntos.

function razonesConstantes(factor, derivadaInterior, puntos) {
  const razones = [];

  for (const x of puntos) {
    const denominador = derivadaInterior(x);
    if (Math.abs(denominador) < 1e-10) continue;
    razones.push(factor(x) / denominador);
  }

  const referencia = razones[0];
  const variacion = Math.max(
    ...razones.map(valor => Math.abs(valor - referencia))
  );

  return { referencia, variacion };
}

const resultado = razonesConstantes(
  x => x,
  x => 2 * x,
  [-2, -1, -0.5, 0.5, 1, 2]
);

console.log(resultado); // razón 0.5, variación 0

Verificar una primitiva por derivación numérica

function derivadaCentral(F, x, h = 1e-5) {
  return (F(x + h) - F(x - h)) / (2 * h);
}

const integrando = x => x * Math.cos(x ** 2);
const candidata = x => 0.5 * Math.sin(x ** 2);

for (const x of [-1.5, -0.5, 0.5, 1.5]) {
  console.log({
    x,
    integrando: integrando(x),
    derivadaCandidata: derivadaCentral(candidata, x)
  });
}

El muestreo puede descubrir una conjetura o detectar un error, pero no constituye una demostración simbólica. La verificación exacta sigue siendo derivar la candidata mediante reglas algebraicas.

Detectar un falso positivo

function razonesConstantes(factor, derivadaInterior, puntos) {
  const razones = puntos
    .filter(x => Math.abs(derivadaInterior(x)) >= 1e-10)
    .map(x => factor(x) / derivadaInterior(x));
  const referencia = razones[0];
  const variacion = Math.max(
    ...razones.map(valor => Math.abs(valor - referencia))
  );
  return { referencia, variacion };
}

const factorPresente = x => x;
const derivadaNecesaria = x => 3 * x ** 2;

console.log(razonesConstantes(
  factorPresente,
  derivadaNecesaria,
  [0.25, 0.5, 1, 1.5]
));
// La variación no es cero: x no es un múltiplo constante de 3x².

14 · Comprensión y práctica

Errores frecuentes

Ejercicios de comprensión

Ejercicio 1: identificar las capas

En ∫6x²cos(2x³+1)dx, identificá g, g′ y la primitiva exterior.

Ejercicio 2: ajustar una constante

Calculá ∫x eˣ²dx.

Ejercicio 3: patrón logarítmico

Calculá ∫(3x²)/(x³−5)dx e indicá el dominio.

Ejercicio 4: potencia compuesta

Calculá ∫(2x−4)(x²−4x+7)⁵dx.

Ejercicio 5: decidir si es inmediato

¿La integral ∫sen(x²)dx coincide con el patrón directo de composición?

Ejercicio 6: verificar derivando

Comprobá que −(1/4)cos(4x−3) es una primitiva de sen(4x−3).

Ejercicio 7: elegir la interior

Para ∫(1+ln(x))⁴/x dx, proponé una función interior y reconocé la primitiva, con x>0.

15 · Síntesis

Ideas para recordar