Sustitución en integrales indefinidas

01 · Renombrar una estructura completa

La sustitución simplifica una composición

En el tema anterior reconocimos integrandos con la forma f(g(x))g′(x). La sustitución convierte ese reconocimiento en un procedimiento algebraico: asignamos una nueva variable a la expresión interior.

Al diferenciar:

Entonces la integral se transforma:

La composición desaparece temporalmente y queda una integral en u. Después de resolverla, se reemplaza u por g(x).

02 · Justificación matemática

La regla de la cadena en sentido inverso

Supongamos que F′(u)=f(u). Al componer F con una función derivable g:

Por tanto:

La escritura intermedia ∫f(u)du organiza el razonamiento. No crea una nueva identidad independiente: representa la misma inversión de la regla de la cadena.

Este fundamento explica dos requisitos: la expresión interior debe aparecer completa dentro de la función exterior y su derivada debe estar presente como factor, quizá salvo una constante.

03 · Transformar toda la integral

Qué significa du=g′(x)dx

Al escribir u=g(x), su diferencial es du=g′(x)dx. Esta notación permite localizar dentro del integrando el bloque que será reemplazado por du.

Por ejemplo, si:

entonces un producto 2x dx puede reemplazarse por du. Si solo aparece x dx:

La igualdad de diferenciales es una notación consistente con la regla de la cadena. Resulta útil operativamente, pero no conviene tratar du/dx como una fracción ordinaria sin atender a las hipótesis y a la variable respecto de la cual se integra.

04 · Procedimiento de trabajo

Los seis pasos de una sustitución

1. 1
   Elegí la expresión interior

   Definí u=g(x) buscando simplificar una composición.

2. 2
   Calculá el diferencial

   Escribí du=g′(x)dx sin omitir factores.

3. 3
   Ajustá constantes

   Despejá el bloque presente, por ejemplo x dx=du/2.

4. 4
   Transformá toda la integral

   Reemplazá la composición y el diferencial hasta que solo quede u.

5. 5
   Integrá en u

   Aplicá una regla inmediata y agregá la constante C.

6. 6
   Volvé a x y verificá

   Reemplazá u=g(x) y derivá el resultado.

La cadena de igualdades debe poder leerse sin saltos:

05 · Ejemplo completo

Integrar 2x cos(x²+1)

La expresión x²+1 está dentro del coseno y su derivada aparece multiplicando:

Elegimos y diferenciamos:

Transformamos la integral:

Integramos en u:

Regresamos a la variable original:

Verificación:

06 · Cuando falta un factor numérico

Ajustar constantes sin inventar variables

Calculemos:

Tomamos u=x², de modo que du=2x dx. Como el integrando contiene x dx:

Entonces:

También puede faltar una constante proveniente de una función interior lineal:

Aquí u=3x−2 y du=3dx. El factor 1/3 compensa la derivada interna.

07 · Sustituciones algebraicas

Potencias y raíces de una expresión

Consideremos:

Elegimos u=x²+4, du=2x dx y x dx=du/2:

Al regresar:

Otro ejemplo:

Con u=x²−4x+7 y du=(2x−4)dx:

La potencia exterior se vuelve elemental una vez que toda la expresión interior recibe el nombre u.

08 · Numerador derivado del denominador

El patrón logarítmico mediante sustitución

Para:

tomamos:

La integral queda:

Como x²+x+4>0 para todo número real, en este ejemplo puede escribirse:

En cambio:

requiere valor absoluto y solo se interpreta en intervalos que no atraviesen x=−1 ni x=1.

09 · Otras capas exteriores

Exponenciales y trigonometría

Exponencial con interior cúbica

Con u=x³ y du=3x²dx:

Seno con interior lineal

Con u=4x y du=4dx:

Tangente reescrita

Como tan(x)=sen(x)/cos(x):

Tomando u=cos(x), du=−sen(x)dx:

10 · Cerrar correctamente el proceso

Regresar a x y agregar la constante

En una integral indefinida, el resultado final debe expresarse en la variable original. Si después de integrar queda F(u)+C, se reemplaza:

No se necesitan «límites nuevos» porque no hay extremos definidos. Tampoco conviene dejar una mezcla como F(u)+x salvo que se haya transformado y justificado todo el resto.

La constante se agrega una sola vez al final. Si durante el cálculo aparece un múltiplo:

Como kC₁ sigue siendo una constante arbitraria, se renombra simplemente como C.

11 · Una sustitución debe simplificar

Elegir bien u y reconocer cuándo no alcanza

Una elección útil transforma toda la integral en una forma más sencilla. Si después del cambio siguen apareciendo x difíciles de expresar mediante u, conviene reconsiderar.

Además, no toda composición admite una sustitución elemental. En ∫eˣ²dx, elegir u=x² produce du=2x dx, pero falta el factor x. La integral no tiene una antiderivada expresable mediante funciones elementales.

La sustitución tampoco debe forzarse si otra regla inmediata ya resuelve la integral. Su propósito es simplificar, no aumentar pasos.

12 · Exploración interactiva

Laboratorio: transformar y verificar

Elegí una sustitución y mové el punto x. El panel superior compara el integrando original con la derivada numérica de la primitiva obtenida; el inferior muestra cómo la función u=g(x) transforma la variable.

El panel superior superpone el integrando y la derivada numérica de la candidata. El inferior representa u=g(x) y el punto transformado.

Preguntas para explorar

1. En el patrón logarítmico, ¿dónde aparece el factor 1/2?
2. Compará du/dx con el factor que acompaña a la función compuesta.
3. ¿Por qué las curvas superiores deben coincidir en todo el intervalo y no solo en un punto?
4. Elegí el patrón con raíz y verificá el exponente 3/2 de la respuesta.

13 · Implementación simbólica sencilla

Representar una sustitución con funciones

JavaScript no realiza álgebra simbólica por sí solo, pero podemos representar las piezas de una sustitución y verificar el resultado numéricamente.

const g = x => x ** 2;
const derivadaG = x => 2 * x;
const exterior = u => Math.cos(u);
const primitivaExterior = u => Math.sin(u);

const integrando = x => exterior(g(x)) * derivadaG(x);
const primitiva = x => primitivaExterior(g(x));

function derivadaCentral(F, x, h = 1e-5) {
  return (F(x + h) - F(x - h)) / (2 * h);
}

console.log({
  integrando: integrando(0.8),
  derivadaDeLaPrimitiva: derivadaCentral(primitiva, 0.8)
});

Guardar los pasos del cambio

const sustitucion = {
  interior: 'u = x²',
  diferencial: 'du = 2x dx',
  transformada: '∫ cos(u) du',
  primitivaEnU: 'sen(u) + C',
  resultado: 'sen(x²) + C'
};

console.table(sustitucion);

Comprobar varios puntos

function derivadaCentral(F, x, h = 1e-5) {
  return (F(x + h) - F(x - h)) / (2 * h);
}

const integrando = x => 2 * x * Math.cos(x ** 2);
const primitiva = x => Math.sin(x ** 2);

function errorMaximo(f, F, desde, hasta, muestras = 200) {
  let error = 0;
  for (let i = 0; i <= muestras; i += 1) {
    const x = desde + (hasta - desde) * i / muestras;
    error = Math.max(error, Math.abs(f(x) - derivadaCentral(F, x)));
  }
  return error;
}

console.log(errorMaximo(integrando, primitiva, -2, 2));

14 · Comprensión y práctica

Errores frecuentes

Ejercicios de comprensión

Ejercicio 1: potencia compuesta

Calculá ∫2x(x²+3)⁴dx.

Ejercicio 2: ajustar el diferencial

Calculá ∫x/(x²+5)dx.

Ejercicio 3: exponencial

Calculá ∫5e⁵ˣ⁺¹dx.

Ejercicio 4: trigonometría

Calculá ∫cos(7x−2)dx.

Ejercicio 5: raíz

Calculá ∫(3x²)/√(x³+1) dx.

Ejercicio 6: verificar

Derivá (1/6)ln(1+3x²) y determiná qué integral resuelve.

Ejercicio 7: sustitución que no cierra

Explicá por qué u=x²+1 no resuelve directamente ∫(x²+1)⁵dx.

15 · Síntesis

Ideas para recordar