Sustitución en integrales definidas

01 · La variable y el intervalo cambian juntos

Una sustitución definida transforma todo el problema

En una integral indefinida, después de integrar en u regresamos a x. En una integral definida existe otra posibilidad más directa: transformar también los extremos.

Si:

entonces los extremos originales se convierten en:

La fórmula fundamental del cambio de variable es:

02 · Los extremos describen posiciones

Por qué hay que transformar los límites

El intervalo [a,b] describe valores de x. Después de introducir u=g(x), esos mismos símbolos no representan automáticamente posiciones válidas en la escala de u.

Por ejemplo, si u=x²+1 y x recorre de 0 a 1:

La nueva integral debe recorrer de 1 a 2, no de 0 a 1. Los límites se transforman evaluando la función interior, no derivándolos ni copiándolos.

03 · Justificación mediante Barrow

De dónde sale la fórmula de sustitución

Sea F′(u)=f(u). Por la regla de la cadena:

Aplicando la regla de Barrow a la integral original:

Por otra parte, Barrow aplicado en la variable u da:

Ambas expresiones producen la misma diferencia. Esto demuestra la fórmula y explica por qué los extremos correctos son g(a) y g(b).

04 · Procedimiento seguro

Siete pasos para una sustitución definida

1. 1
   Elegí u=g(x)

   Buscá una composición cuya derivada aparezca como factor.

2. 2
   Calculá du

   Escribí du=g′(x)dx y ajustá cualquier constante.

3. 3
   Transformá el extremo inferior

   Si x=a, calculá u=g(a).

4. 4
   Transformá el extremo superior

   Si x=b, calculá u=g(b).

5. 5
   Reescribí toda la integral

   Integrando, diferencial y límites deben estar en u.

6. 6
   Integrá y evaluá en u

   Aplicá Barrow con los límites nuevos.

7. 7
   Comprobá signo y magnitud

   Revisá orientación, cotas y, si conviene, una aproximación numérica.

No se agrega +C porque el resultado es una integral definida y las constantes se cancelarían.

05 · Ejemplo completo

Integrar 2x(1+x²)³ entre 0 y 1

Partimos de:

Elegimos:

Transformamos los límites:

La integral queda completamente en u:

No es necesario reemplazar nuevamente u=1+x²: ya evaluamos la primitiva usando límites de u.

06 · Ajustar antes de evaluar

Sustitución con un factor faltante

Calculemos:

Con u=x², obtenemos du=2x dx y x dx=du/2. Los límites son:

Entonces:

El factor 1/2 forma parte de la transformación del diferencial y permanece fuera de la integral hasta el final.

Otro ajuste lineal

Para ∫₀²cos(3x+1)dx, usamos u=3x+1, du=3dx:

07 · Cuando u recorre en sentido contrario

Una función interior decreciente invierte los límites

Consideremos:

Elegimos u=1−x, por lo que du=−dx. Al transformar extremos:

La integral queda:

Podemos conservar esos límites y evaluar directamente:

O invertir los límites y eliminar el signo negativo:

08 · Patrones frecuentes

Ejemplos trigonométricos y logarítmicos

Producto seno-coseno

Para:

tomamos u=sen(x), du=cos(x)dx. Los límites son u=0 y u=1:

Derivada sobre función

Para:

usamos u=1+x², du=2x dx, con límites 1 y 2:

Como el intervalo transformado queda en valores positivos, no es necesario escribir valor absoluto durante esta evaluación.

09 · Dos métodos correctos

Transformar límites o volver a x

Una integral definida puede resolverse de dos maneras equivalentes:

Para el ejemplo ∫₀¹2x(1+x²)³dx:

Ambos dan 15/4. El error aparece al mezclar etapas, por ejemplo, evaluar una primitiva todavía escrita en u con límites 0 y 1 que pertenecen a x.

10 · Recorridos que avanzan y retroceden

La función interior no siempre es monótona

En el patrón exacto f(g(x))g′(x), la identidad de sustitución sigue siendo válida aunque g no sea monótona en todo el intervalo. Los cambios de signo de g′ registran los retrocesos y generan cancelaciones.

Por ejemplo:

Con u=x², ambos extremos se transforman en 1:

En el tramo [−1,0], u=x² baja de 1 a 0; en [0,1], sube de 0 a 1. Las dos contribuciones se cancelan, coherente además con que el integrando original es impar.

En aplicaciones más generales del cambio de variable, especialmente cuando se pretende describir área sin orientación o invertir la transformación, puede ser necesario dividir en intervalos donde g sea monótona.

11 · Hipótesis y controles

Dominio, continuidad y extremos transformados

Antes de realizar el cambio conviene revisar:

• que el integrando original esté definido e integrable entre a y b;
• que g sea derivable en el recorrido relevante;
• que la función exterior sea continua en los valores recorridos por g;
• que los límites nuevos se calculen con la misma definición de u;
• que los signos respeten la orientación.

Por ejemplo, en una sustitución que conduce a ∫du/u, el intervalo transformado no debe atravesar u=0 como integral propia. Si lo hace, existe una singularidad que requiere tratamiento impropio.

Una coincidencia algebraica no autoriza a ignorar discontinuidades. El cambio de variable conserva el problema matemático; no lo vuelve automáticamente convergente.

12 · Exploración interactiva

Laboratorio: la misma acumulación en dos variables

Elegí una sustitución y mové los extremos originales. El panel superior muestra la integral en x; el inferior, la integral transformada entre u(a) y u(b). Los valores deben coincidir, incluso con orientación invertida.

El panel superior representa el integrando original entre a y b. El inferior representa el integrando transformado entre g(a) y g(b).

Preguntas para explorar

1. Invertí a y b. ¿Qué ocurre con ambos resultados?
2. Elegí u=1−x. ¿Por qué los límites transformados aparecen invertidos?
3. En el caso no monótono, usá el intervalo completo [−1,1]. ¿Por qué ambos límites de u coinciden?
4. Mové solo uno de los extremos y comprobá que la igualdad se conserva.

13 · Implementación

Transformar límites en JavaScript

Podemos expresar el cambio de variable mediante funciones para los límites y una primitiva de la función exterior.

function evaluarSustitucionDefinida(Phi, g, a, b, factor = 1) {
  const limiteInferior = g(a);
  const limiteSuperior = g(b);
  return factor * (Phi(limiteSuperior) - Phi(limiteInferior));
}

// ∫₀¹ 2x(1+x²)³ dx
const g = x => 1 + x ** 2;
const Phi = u => u ** 4 / 4; // primitiva de u³

console.log(evaluarSustitucionDefinida(Phi, g, 0, 1));
// 3.75

Comparar ambas variables numéricamente

function integrarPuntoMedio(f, a, b, n = 50_000) {
  const ancho = (b - a) / n;
  let suma = 0;
  for (let i = 0; i < n; i += 1) {
    suma += f(a + (i + 0.5) * ancho) * ancho;
  }
  return suma;
}

const original = x => 2 * x * (1 + x ** 2) ** 3;
const transformada = u => u ** 3;
const g = x => 1 + x ** 2;

const valorEnX = integrarPuntoMedio(original, 0, 1);
const valorEnU = integrarPuntoMedio(transformada, g(0), g(1));

console.log({ valorEnX, valorEnU, diferencia: valorEnX - valorEnU });

Conservar la orientación automáticamente

function evaluarSustitucionDefinida(Phi, g, a, b, factor = 1) {
  const limiteInferior = g(a);
  const limiteSuperior = g(b);
  return factor * (Phi(limiteSuperior) - Phi(limiteInferior));
}

const decreciente = x => 1 - x;
const primitivaExp = Math.exp;

const valor = -evaluarSustitucionDefinida(
  primitivaExp,
  decreciente,
  0,
  1
);

console.log(valor); // e - 1

14 · Comprensión y práctica

Errores frecuentes

Ejercicios de comprensión

Ejercicio 1: potencia compuesta

Calculá ∫₀¹2x(x²+2)²dx transformando los límites.

Ejercicio 2: factor faltante

Calculá ∫₀²x/(x²+1)dx.

Ejercicio 3: trigonometría

Calculá ∫₀ᵖⁱ⁄⁴sec²(x)tan³(x)dx.

Ejercicio 4: interior decreciente

Calculá ∫₀²(3−x)⁴dx con u=3−x.

Ejercicio 5: simetría en u

Calculá ∫₋₂²3x²sen(x³)dx.

Ejercicio 6: detectar una mezcla

¿Qué está mal en ∫₀¹2x cos(x²)dx=∫₀¹cos(u)du?

Ejercicio 7: elegir el método

Para ∫₁²2x eˣ²dx, resolvé completamente en u.

15 · Síntesis

Ideas para recordar