Integración por partes

01 · Otra regla de derivación invertida

La integración por partes nace del producto

La sustitución invierte la regla de la cadena. La integración por partes cumple un papel análogo para la regla del producto.

Si u(x) y v(x) son derivables:

Reordenando e integrando obtenemos una fórmula que intercambia un producto por otro:

En notación diferencial:

02 · Deducir para no memorizar a ciegas

Derivación paso a paso de la fórmula

Comenzamos con la regla diferencial del producto:

Integramos ambos lados:

Como ∫d(uv)=uv, despejamos:

El signo negativo aparece al trasladar ∫v du al otro lado. No es opcional y constituye uno de los errores más comunes.

La fórmula puede verificarse derivando el lado derecho:

03 · La decisión estratégica

Cómo elegir u y dv

Todo el integrando debe repartirse entre u y dv. Una buena elección busca dos condiciones simultáneas:

• derivar u debe simplificarlo o acercarlo a cero;
• integrar dv para hallar v debe ser posible con reglas conocidas.

Como orientación, suele priorizarse para u el siguiente orden:

Esta guía se conoce mediante reglas mnemotécnicas como LIATE. No es un teorema: hay excepciones y siempre debe comprobarse si la integral residual mejora.

04 · Una tabla evita omisiones

Organizar u, du, dv y v

Antes de aplicar la fórmula conviene escribir las cuatro piezas:

Luego se sustituye en una sola plantilla:

No se agrega una constante al calcular v. Cualquier constante allí solo genera términos redundantes que finalmente quedan absorbidos en la constante general C del resultado.

05 · Polinomio por exponencial

Integrar x eˣ

El polinomio se simplifica al derivarlo y la exponencial se integra sin cambiar de forma:

Elegimos:

Aplicamos la fórmula:

Puede factorizarse:

Verificación:

06 · Polinomio por trigonométrica

Integrar x sen(x)

Tomamos el factor algebraico como u:

Entonces:

Aquí intervienen dos signos negativos: el de la fórmula y el de v=−cos(x). Es útil escribir el paso intermedio antes de simplificar.

07 · Un producto invisible

Integrar logaritmos e inversas trigonométricas

Una función puede tratarse como producto multiplicándola por 1.

Integral de ln(x)

Elegimos u=ln(x) y dv=dx. Así, du=dx/x y v=x:

Esta fórmula se considera en intervalos donde x>0. Para ln|x|, el resultado análogo vale en intervalos que no cruzan cero.

Integral de arctan(x)

Con u=arctan(x) y dv=dx:

La integral residual se resuelve por sustitución. Las técnicas pueden combinarse dentro de un mismo problema.

08 · Reducir el grado paso a paso

Integración por partes repetida

Para ∫x²eˣdx, una aplicación reduce el grado del polinomio:

La integral residual todavía requiere partes:

Sustituyendo:

Cada aplicación deriva nuevamente el polinomio. Después de una cantidad finita de pasos, sus derivadas llegan a cero.

Para polinomios de grado mayor puede usarse una tabla de derivadas sucesivas de u y primitivas sucesivas de dv, alternando signos. Esa técnica tabular es una abreviación de aplicaciones repetidas, no una fórmula distinta.

09 · Incorporar los extremos

Integración por partes definida

Entre extremos fijos, la fórmula es:

El producto uv se evalúa en ambos extremos y la integral residual conserva los mismos límites.

Por ejemplo:

Con u=x y dv=eˣdx:

10 · Cuando reaparece el problema original

Integrales cíclicas

En algunas integrales, aplicar partes dos veces reproduce la integral inicial. Lejos de ser un fracaso, esto permite despejarla algebraicamente.

Sea:

Con u=cos(x) y dv=eˣdx:

Aplicamos partes a la integral restante:

Entonces:

La constante se agrega después de despejar la integral.

11 · Evaluar si realmente conviene

Buenas y malas elecciones

Para ∫x eˣdx, elegir u=x reduce el polinomio a 1. Si se elige u=eˣ y dv=x dx:

La integral residual es más difícil: el grado del polinomio aumentó. La fórmula sigue siendo verdadera, pero la elección no ayuda.

Antes de continuar, conviene preguntar:

• ¿u′ es más simple que u?
• ¿puedo hallar v sin crear otro problema?
• ¿el producto v du es integrable con técnicas conocidas?
• ¿una sustitución o regla inmediata sería más directa?
• ¿repetir partes reduce una medida concreta, como el grado?

12 · Exploración interactiva

Laboratorio: verificar la identidad por partes

Elegí una descomposición y mové los extremos. El panel superior representa uv′; el inferior, la integral residual vu′. Los resultados comprueban que la integral original es el término de borde menos la residual.

El panel superior muestra u por v prima. El inferior muestra v por u prima sobre el mismo intervalo.

Preguntas para explorar

1. Invertí los extremos. ¿Cómo cambian las tres cantidades orientadas?
2. Elegí ln(x). ¿Por qué la integral residual se vuelve constante?
3. Compará x eˣ y x²eˣ. ¿Qué reducción de grado se observa?
4. Hacé coincidir a y b. ¿Qué ocurre con el borde y ambas integrales?

13 · Implementación

Comprobar integración por partes numéricamente

Podemos modelar las cuatro funciones y verificar la identidad definida mediante integración de punto medio.

function integrar(f, a, b, n = 50_000) {
  const ancho = (b - a) / n;
  let suma = 0;
  for (let i = 0; i < n; i += 1) {
    suma += f(a + (i + 0.5) * ancho) * ancho;
  }
  return suma;
}

function verificarPorPartes({ u, du, v, dv }, a, b) {
  const original = integrar(x => u(x) * dv(x), a, b);
  const borde = u(b) * v(b) - u(a) * v(a);
  const residual = integrar(x => v(x) * du(x), a, b);
  return { original, borde, residual, reconstruida: borde - residual };
}

const piezas = {
  u: x => x,
  du: () => 1,
  v: Math.exp,
  dv: Math.exp
};

console.log(verificarPorPartes(piezas, 0, 2));

Verificar la primitiva simbólica propuesta

function derivadaCentral(F, x, h = 1e-5) {
  return (F(x + h) - F(x - h)) / (2 * h);
}

const integrando = x => x * Math.exp(x);
const primitiva = x => Math.exp(x) * (x - 1);

for (const x of [-1, 0, 1, 2]) {
  console.log({
    x,
    integrando: integrando(x),
    derivada: derivadaCentral(primitiva, x)
  });
}

Automatizar aplicaciones repetidas

// Para P(x)eˣ, la primitiva tiene la forma eˣQ(x),
// donde Q alterna las derivadas del polinomio P.
function coeficientesPorPartes(coeficientes) {
  const resultado = [];
  let actuales = [...coeficientes];
  let signo = 1;
  while (actuales.some(valor => valor !== 0)) {
    resultado.push({ signo, coeficientes: actuales });
    actuales = actuales.slice(1).map((valor, i) => valor * (i + 1));
    signo *= -1;
  }
  return resultado;
}

const polinomio = [1, -2, 3]; // 1−2x+3x²
console.log(coeficientesPorPartes(polinomio));

14 · Comprensión y práctica

Errores frecuentes

Ejercicios de comprensión

Ejercicio 1: polinomio por exponencial

Calculá ∫x e²ˣdx.

Ejercicio 2: polinomio por coseno

Calculá ∫x cos(x)dx.

Ejercicio 3: función sola

Calculá ∫ln(2x)dx para x>0.

Ejercicio 4: aplicación repetida

Calculá ∫x²sen(x)dx.

Ejercicio 5: integral definida

Calculá ∫₀¹x cos(x)dx.

Ejercicio 6: elegir correctamente

Para ∫x³ln(x)dx, proponé u y dv.

Ejercicio 7: integral cíclica

Explicá qué hacer si después de aplicar partes dos veces reaparece la integral original.

15 · Síntesis

Ideas para recordar