Integrales trigonométricas elementales

01 · La dificultad está en la forma

Reescribir antes de integrar

Muchas integrales trigonométricas no coinciden de inmediato con una fórmula de la tabla. La estrategia consiste en transformar el integrando mediante identidades hasta descubrir una sustitución o una integral conocida.

Por ejemplo, ∫sen²(x)dx no se resuelve elevando una primitiva al cuadrado. La identidad de ángulo doble permite escribir:

y entonces cada término se integra directamente.

02 · Formas inmediatas

Primitivas trigonométricas que conviene reconocer

Si el argumento es lineal, se aplica además la regla de la cadena inversa:

Las potencias y productos que siguen se reducen, siempre que sea posible, a combinaciones de estas formas y de integrales algebraicas.

03 · Caja de herramientas algebraica

Identidades fundamentales para integrar

Las identidades pitagóricas permiten intercambiar cuadrados:

Las fórmulas de medio ángulo reducen potencias pares:

El producto seno-coseno también puede escribirse mediante ángulo doble:

Y los productos con ángulos distintos pueden transformarse en sumas:

No es necesario memorizar todas las variantes a la vez. Las identidades se eligen según la estructura concreta del integrando.

04 · Potencias de seno y coseno

Cuando uno de los exponentes es impar

Para integrales de la forma:

si la potencia de seno es impar, se reserva un factor sen(x)dx y el resto se convierte usando sen²x=1−cos²x. Luego se toma u=cos(x).

Si la potencia de coseno es impar, se reserva cos(x)dx, se usa cos²x=1−sen²x y se toma u=sen(x).

05 · Aplicar la estrategia impar

Dos ejemplos complementarios

Potencia impar de seno

Separamos un seno y convertimos el cuadrado restante:

Con u=cos x, du=−sen x dx:

Potencia impar de coseno

Separamos cos x, usamos cos²x=1−sen²x y tomamos u=sen x:

06 · Cuando ambas potencias son pares

Reducir con medio ángulo

Si tanto el exponente de seno como el de coseno son pares, no queda un factor aislado adecuado para du. Se aplican las fórmulas de medio ángulo.

Integral de sen²(x)

Integral de cos²(x)

El factor 1/4 en el término oscilante combina el 1/2 de la identidad con el 1/2 que aparece al integrar cos(2x).

07 · Reducir más de una vez

El producto sen²(x)cos²(x)

Podemos usar primero sen x cos x=sen(2x)/2:

Luego reducimos la potencia par:

Por tanto:

La integral es:

Cuando los exponentes pares son mayores, las identidades pueden necesitar aplicaciones sucesivas. El objetivo es reducir el grado hasta llegar a senos y cosenos de primera potencia.

08 · Potencias de tangente y secante

Reservar la derivada adecuada

Para ∫tanᵐx secⁿx dx aparecen dos estrategias frecuentes:

• si la potencia de secante es par, se reserva sec²x dx, se convierte el resto con sec²x=1+tan²x y se usa u=tan x;
• si la potencia de tangente es impar y queda una secante disponible, se reserva sec x tan x dx, se usa tan²x=sec²x−1 y se toma u=sec x.

Secante con potencia par

Con u=tan x, du=sec²x dx:

Tangente con potencia impar

Escribimos tan³x=tan²x·tan x=(sec²x−1)tan x y usamos u=sec x:

09 · La familia análoga

Cotangente y cosecante

Las identidades y derivadas relevantes son:

Los signos negativos deben incorporarse en la sustitución.

Ejemplo con csc²

Con u=cot x, du=−csc²x dx:

Ejemplo con csc·cot

Usamos cot²x=csc²x−1, reservamos csc x cot x dx y tomamos u=csc x:

10 · Frecuencias diferentes

Productos convertidos en sumas

Cuando aparecen funciones trigonométricas con ángulos distintos, las fórmulas producto-a-suma pueden separar el integrando.

Por ejemplo:

Usamos:

Entonces:

La transformación reemplaza un producto por una suma de integrales inmediatas. Este enfoque también resulta útil en análisis de señales, donde cada término corresponde a una frecuencia distinta.

11 · Reducir trabajo antes de calcular

Integrales definidas, simetría y periodicidad

Antes de aplicar identidades, conviene observar el intervalo:

• sen(x) es impar y cos(x) es par;
• las potencias pares de seno y coseno son funciones pares;
• en un período completo, las partes oscilantes de seno y coseno tienen integral cero;
• las singularidades de tangente, secante, cotangente o cosecante pueden convertir la integral en impropia.

Ejemplo:

Con la reducción sen²x=(1−cos2x)/2:

El término constante aporta π y el término oscilante completa períodos enteros, por lo que se cancela.

12 · Exploración interactiva

Laboratorio: identidad, reescritura y primitiva

Elegí un patrón y mové el punto x. El panel superior superpone el integrando original y su reescritura; el inferior compara el integrando con la derivada numérica de la primitiva.

El gráfico superior compara el integrando y su identidad equivalente. El inferior compara el integrando con la derivada numérica de la primitiva.

Preguntas para explorar

1. Compará seno al cuadrado y coseno al cuadrado. ¿Qué signo cambia en el término de ángulo doble?
2. Observá sen²x cos²x. ¿Por qué aparece una frecuencia 4x?
3. En el caso con seno impar, identificá el factor reservado para el diferencial.
4. Elegí el producto con frecuencias distintas y comprobá la fórmula producto-a-suma.

13 · Verificación con código

Comprobar identidades trigonométricas numéricamente

Podemos comparar ambos lados de una identidad en muchos puntos y medir el mayor error de redondeo.

function errorMaximo(f, g, desde, hasta, muestras = 10_000) {
  let error = 0;
  for (let i = 0; i <= muestras; i += 1) {
    const x = desde + (hasta - desde) * i / muestras;
    error = Math.max(error, Math.abs(f(x) - g(x)));
  }
  return error;
}

const original = x => Math.sin(x) ** 2;
const reducida = x => (1 - Math.cos(2 * x)) / 2;

console.log(errorMaximo(original, reducida, -Math.PI, Math.PI));

Verificar una primitiva

function derivadaCentral(F, x, h = 1e-5) {
  return (F(x + h) - F(x - h)) / (2 * h);
}

const primitivaSenoCuadrado = x =>
  x / 2 - Math.sin(2 * x) / 4;
const original = x => Math.sin(x) ** 2;

for (const x of [-2, -1, 0, 1, 2]) {
  console.log({
    x,
    integrando: original(x),
    derivada: derivadaCentral(primitivaSenoCuadrado, x)
  });
}

Integrar numéricamente un período

function integrarPuntoMedio(f, a, b, n = 50_000) {
  const ancho = (b - a) / n;
  let suma = 0;
  for (let i = 0; i < n; i += 1) {
    suma += f(a + (i + 0.5) * ancho) * ancho;
  }
  return suma;
}

const original = x => Math.sin(x) ** 2;
console.log(integrarPuntoMedio(original, 0, 2 * Math.PI));
console.log(Math.PI); // valor exacto

14 · Comprensión y práctica

Errores frecuentes

Ejercicios de comprensión

Ejercicio 1: seno impar

Calculá ∫sen³x dx.

Ejercicio 2: coseno impar

Calculá ∫sen⁴x cos x dx.

Ejercicio 3: potencia par

Calculá ∫₀ᵖⁱcos²x dx.

Ejercicio 4: tangente y secante

Calculá ∫tan⁴x sec²x dx.

Ejercicio 5: cotangente y cosecante

Calculá ∫cot x csc²x dx.

Ejercicio 6: producto a suma

Calculá ∫sen(2x)cos(5x)dx.

Ejercicio 7: elegir estrategia

¿Qué estrategia usarías para ∫sen²x cos⁴x dx?

15 · Síntesis

Ideas para recordar