Sustituciones trigonométricas básicas

01 · Convertir una raíz en una identidad

La sustitución trigonométrica parametriza el radical

Algunas integrales contienen radicales como √(a²−x²), √(a²+x²) o √(x²−a²). Una sustitución algebraica ordinaria puede trasladar el radical sin eliminarlo. La sustitución trigonométrica elige x de modo que una identidad pitagórica convierta la raíz en una función trigonométrica simple.

El método cambia una expresión algebraica por una trigonométrica, integra en θ y luego vuelve a x. Su valor no consiste en «hacer desaparecer una raíz» mágicamente, sino en usar una parametrización adaptada a su geometría.

02 · Las tres formas clásicas

Tabla de correspondencias

Las expresiones de la última columna suponen intervalos angulares elegidos para que coseno, secante o tangente tengan el signo compatible con la raíz principal, que siempre es no negativa.

Escribir simplemente a cosθ requiere haber elegido un intervalo donde cosθ≥0. Las restricciones angulares son parte del método, no un detalle decorativo.

03 · Primer modelo

Para √(a²−x²), usar x=a senθ

Sustituimos:

Entonces:

Si elegimos θ∈[−π/2,π/2], se cumple cosθ≥0 y queda a cosθ. En ese intervalo, senθ recorre de −1 a 1, exactamente el dominio real −a≤x≤a del radical.

04 · Segundo modelo

Para √(a²+x²), usar x=a tanθ

Sustituimos:

El radical se transforma:

Tomando θ∈(−π/2,π/2), tenemos cosθ>0 y por tanto secθ>0. Así:

La tangente recorre todos los números reales en ese intervalo, de modo que la sustitución cubre cualquier x∈ℝ.

05 · Tercer modelo

Para √(x²−a²), usar x=a secθ

En la rama positiva x≥a, elegimos:

Entonces:

Con θ∈[0,π/2), secθ≥1 y tanθ≥0, por lo que el radical se convierte en a tanθ.

La rama negativa x≤−a requiere otra elección de intervalo o una parametrización con signo adaptado. No se debe usar automáticamente la misma simplificación sin revisar el signo.

06 · Procedimiento completo

Cómo aplicar una sustitución trigonométrica

1. 1
   Normalizá el radical

   Identificá a², x² y cualquier coeficiente que deba extraerse.

2. 2
   Elegí la sustitución

   Usá seno, tangente o secante según el signo y el orden de los cuadrados.

3. 3
   Calculá dx

   Derivá la expresión de x respecto de θ.

4. 4
   Transformá toda la integral

   Reemplazá x, el radical y el diferencial.

5. 5
   Integrá en θ

   Simplificá mediante identidades trigonométricas antes de integrar.

6. 6
   Volvé a x

   Usá una relación inversa o un triángulo rectángulo.

7. 7
   Revisá dominio y signo

   Verificá la rama elegida y derivá la respuesta.

La elección angular debe registrarse porque justifica la eliminación de los valores absolutos.

07 · Una raíz en el denominador

Integrar 1/√(9−x²)

El radical tiene la forma √(3²−x²). Tomamos:

En θ∈[−π/2,π/2]:

La integral se simplifica por completo:

Como senθ=x/3:

La fórmula vale en el interior |x|<3, donde el integrando es finito.

08 · La raíz aparece en el numerador

Integrar √(a²−x²)

Con x=a senθ, dx=a cosθdθ y √(a²−x²)=a cosθ:

Usamos cos²θ=(1+cos2θ)/2:

Como senθ=x/a, cosθ=√(a²−x²)/a y sen2θ=2senθcosθ:

Para a=3, la integral definida de 0 a 3 representa el área de un cuarto de círculo:

09 · Suma de cuadrados

Integrar 1/(x²+4)³⁄²

Usamos x=2tanθ:

Entonces:

Del triángulo asociado a tanθ=x/2, el cateto opuesto es x, el adyacente es 2 y la hipotenusa es √(x²+4). Por tanto:

El resultado es:

10 · Diferencia con x² primero

Integrar 1/√(x²−9)

En la rama x>3, tomamos x=3secθ:

La integral se reduce a:

Usando secθ=x/3 y tanθ=√(x²−9)/3:

El término −ln3 es constante y se absorbe en C:

La expresión puede extenderse con el debido análisis de signos a cada componente del dominio |x|>3.

11 · Preparar y deshacer el cambio

Normalización, triángulos y regreso a x

Los coeficientes pueden ocultar la forma estándar. Por ejemplo:

Puede usarse 3x=2senθ, es decir, x=(2/3)senθ. No corresponde tomar x=2senθ, porque el término cuadrático es (3x)².

Para regresar desde θ, un triángulo rectángulo codifica las razones:

Las funciones inversas como arcsen(x/a) o arctan(x/a) también permiten volver, pero el triángulo suele simplificar las demás funciones trigonométricas presentes.

12 · Exploración interactiva

Laboratorio: del radical al triángulo

Elegí una forma radical, cambiá a y mové x. El panel superior muestra el radical algebraico; el inferior construye el triángulo que relaciona x, a, θ y la raíz.

El panel superior representa el radical en función de x. El inferior muestra un triángulo rectángulo con los lados correspondientes.

Preguntas para explorar

1. En √(a²−x²), acercá x a ±a. ¿Qué ocurre con el radical y con cosθ?
2. En √(a²+x²), compará la hipotenusa con los dos catetos.
3. En √(x²−a²), ubicá x=a. ¿Qué valor toma θ?
4. Cambiá a. ¿Qué relaciones permanecen proporcionales?

13 · Verificación con JavaScript

Comprobar las identidades y las ramas

Las tres transformaciones pueden representarse con funciones que devuelven θ y el radical reconstruido.

function sustitucionDiferencia(x, a) {
  if (Math.abs(x) > a) throw new RangeError('|x| debe ser ≤ a');
  const theta = Math.asin(x / a);
  return {
    theta,
    original: Math.sqrt(a ** 2 - x ** 2),
    transformado: a * Math.cos(theta)
  };
}

console.log(sustitucionDiferencia(2, 3));

Suma de cuadrados

function sustitucionSuma(x, a) {
  const theta = Math.atan(x / a);
  const secante = 1 / Math.cos(theta);
  return {
    theta,
    original: Math.sqrt(a ** 2 + x ** 2),
    transformado: a * secante
  };
}

console.log(sustitucionSuma(3, 2));

Diferencia con x² primero

function sustitucionExteriorPositiva(x, a) {
  if (x < a) throw new RangeError('Esta rama requiere x ≥ a');
  const theta = Math.acos(a / x);
  return {
    theta,
    original: Math.sqrt(x ** 2 - a ** 2),
    transformado: a * Math.tan(theta)
  };
}

console.log(sustitucionExteriorPositiva(5, 3));

14 · Comprensión y práctica

Errores frecuentes

Ejercicios de comprensión

Ejercicio 1: elegir la sustitución

Indicá una sustitución adecuada para √(25−x²).

Ejercicio 2: normalizar

Indicá una sustitución para √(16+9x²).

Ejercicio 3: forma inmediata de arcoseno

Calculá ∫dx/√(16−x²).

Ejercicio 4: suma de cuadrados

Calculá ∫dx/(x²+9)³⁄².

Ejercicio 5: integral definida geométrica

Calculá ∫₋₂²√(4−x²)dx.

Ejercicio 6: construir el triángulo

Si tanθ=x/5, expresá senθ y cosθ mediante x.

Ejercicio 7: revisar el signo

¿Por qué se restringe θ al usar x=a senθ?

15 · Síntesis

Ideas para recordar