Fracciones parciales en casos simples

01 · Invertir una suma de fracciones

Una función racional puede esconder términos integrables

Al sumar A/(x−a) y B/(x−b) obtenemos una sola función racional:

La técnica de fracciones parciales recorre ese proceso en sentido inverso. Parte de una fracción cuyo denominador está factorizado y busca constantes que la expresen como suma de fracciones más sencillas.

El integrando original quizá no coincida de inmediato con una fórmula conocida. Sus partes sí:

02 · Antes de descomponer

La fracción debe ser propia y el denominador debe factorizarse

Sea una función racional R(x)=P(x)/Q(x), donde P y Q son polinomios y Q no es el polinomio cero. Para aplicar directamente el caso de este tema deben cumplirse dos condiciones:

1. 1
   Fracción propia

   El grado del numerador debe ser menor que el grado del denominador: grado(P)<grado(Q).

2. 2
   Factores lineales distintos

   El denominador debe escribirse como producto de factores (x−r₁)(x−r₂)…, sin repeticiones.

Por ejemplo, (3x+7)/(x²−x−6) es propia y el denominador factoriza como (x−3)(x+2). En cambio, (x²+1)/(x²−x−6) es impropia porque ambos polinomios tienen grado 2: primero requiere división polinómica.

Los dos últimos esquemas se mencionan para reconocer el límite del método actual; su desarrollo completo necesita formas de descomposición más generales.

03 · El modelo fundamental

Dos factores lineales distintos producen dos términos

Si a≠b y el numerador tiene grado menor que 2, planteamos:

Al multiplicar toda la identidad por el denominador común:

Esta es una identidad polinómica: debe ser verdadera para todo valor de x, no solamente para un punto elegido. Al expandir el lado derecho:

Dos polinomios son idénticos cuando coinciden los coeficientes de las mismas potencias. Por lo tanto:

Resolver este sistema determina de manera única A y B porque a≠b.

04 · Primer método

Comparar coeficientes construye un sistema lineal

Descompongamos:

Primero factorizamos x²−x−2=(x−2)(x+1) y proponemos:

Eliminamos denominadores y expandimos:

Igualamos el coeficiente de x y el término independiente:

Al restar la segunda ecuación de la primera obtenemos 3B=4, de modo que B=4/3 y A=11/3. La descomposición es:

La comparación de coeficientes es sistemática y se generaliza bien: basta expandir, agrupar por potencias y resolver las ecuaciones resultantes.

05 · Segundo método

Evaluar en las raíces aísla cada constante

Desde la identidad sin denominadores:

elegimos valores que anulan uno de los términos. Para x=2:

Para x=−1:

Este procedimiento suele llamarse evaluación en las raíces o método de cobertura. Para el modelo general da fórmulas directas:

06 · De la descomposición a la primitiva

Integrar término a término produce logaritmos

Usamos la descomposición anterior y la linealidad de la integral:

Los valores absolutos son necesarios porque la fórmula d[ln|x−a|]/dx=1/(x−a) vale tanto a la izquierda como a la derecha de la raíz, siempre que x≠a.

La verificación por derivación reconstruye la fracción:

07 · Algoritmo de trabajo

Cómo resolver una integral por fracciones parciales

1. 1
   Compará los grados

   Si la fracción es impropia, hacé primero la división polinómica.

2. 2
   Factorizá el denominador

   Encontrá sus raíces y registrá los valores excluidos del dominio.

3. 3
   Planteá la forma parcial

   Para cada factor lineal distinto x−r, escribí un término A/(x−r).

4. 4
   Eliminá los denominadores

   Multiplicá la igualdad completa por el denominador factorizado.

5. 5
   Calculá las constantes

   Evaluá en las raíces o compará coeficientes.

6. 6
   Verificá la descomposición

   Recombiná los términos antes de integrar.

7. 7
   Integrá y revisá el intervalo

   Usá logaritmos con valor absoluto y no atravieses polos sin un análisis de límites.

08 · Un caso con una simplificación visible

Cuando el numerador es la derivada del denominador

Consideremos:

Como la derivada de x²−x−2 es 2x−1, la sustitución u=x²−x−2 da inmediatamente:

Fracciones parciales confirma el resultado. Al factorizar y descomponer:

Evaluando en x=2 y x=−1 resulta A=1 y B=1. Por tanto:

Las propiedades del logaritmo muestran que ambas primitivas son equivalentes en cada intervalo del dominio.

09 · Una identidad reutilizable

El caso 1/[(x−a)(x−b)]

Para a≠b, al evaluar el numerador constante en las raíces se obtiene:

En consecuencia:

Por ejemplo, para a=3 y b=−2:

Comprobar el signo es importante: intercambiar a y b cambia simultáneamente el factor exterior y el cociente del logaritmo, de modo que el resultado permanece igual.

10 · División antes de descomponer

Una fracción impropia contiene una parte polinómica

Consideremos:

Como los grados son iguales, dividimos. El cociente es 1 y el resto se calcula restando el denominador:

Entonces:

Ahora la fracción restante sí es propia. Evaluando en las raíces:

Integramos todas las partes, incluida la parte polinómica:

11 · Intervalos y singularidades

Una integral definida no debe atravesar un polo silenciosamente

La función del primer ejemplo tiene polos en x=−1 y x=2. El intervalo [0,1] no contiene ninguno, así que el teorema fundamental se aplica de forma ordinaria:

El signo negativo es coherente: en [0,1], el numerador es positivo y el denominador es negativo.

En cambio, un intervalo como [0,3] contiene el polo x=2. No se puede insertar los extremos en una primitiva y dar por terminado el cálculo. La integral debe separarse en el punto singular y definirse mediante límites laterales; ese análisis corresponde a las integrales impropias.

En una integral indefinida, la fórmula logarítmica representa primitivas en cada uno de esos intervalos. Las constantes pueden ser diferentes porque el dominio no es un único intervalo conectado.

12 · Exploración interactiva

Laboratorio: desarmar y recomponer una función racional

Modificá el numerador mx+n, las raíces a y b, y el punto de evaluación. El gráfico compara la función original con sus dos componentes parciales y verifica numéricamente la identidad.

Las líneas verticales señalan los polos. La curva celeste es la función original; las curvas amarilla y violeta son los dos términos parciales.

Preguntas para explorar

1. Mové x cerca de una raíz. ¿Qué término parcial domina la suma?
2. Cambiá m y n. ¿Se mueven los polos o solamente cambian los coeficientes?
3. Buscá valores que hagan A=0 o B=0. ¿Qué factor se cancela algebraicamente?
4. Hacé coincidir a y b. ¿Por qué deja de aplicarse el modelo de factores distintos?

13 · Implementación y verificación

Calcular coeficientes con JavaScript

La evaluación en las raíces se traduce directamente a código. La función siguiente representa (mx+n)/[(x−a)(x−b)] y rechaza raíces coincidentes:

function descomponerLineales(m, n, a, b) {
  if (a === b) {
    throw new RangeError('Las raíces deben ser distintas');
  }

  const A = (m * a + n) / (a - b);
  const B = (m * b + n) / (b - a);
  return { A, B };
}

console.log(descomponerLineales(5, 1, 2, -1));
// { A: 3.666666..., B: 1.333333... }

Comprobar la identidad en varios puntos

function descomponerLineales(m, n, a, b) {
  if (a === b) {
    throw new RangeError('Las raíces deben ser distintas');
  }
  return {
    A: (m * a + n) / (a - b),
    B: (m * b + n) / (b - a)
  };
}

function verificar(m, n, a, b, puntos, tolerancia = 1e-10) {
  const { A, B } = descomponerLineales(m, n, a, b);

  return puntos.map(x => {
    if (x === a || x === b) return { x, definida: false };

    const original = (m * x + n) / ((x - a) * (x - b));
    const parcial = A / (x - a) + B / (x - b);
    return {
      x,
      definida: true,
      error: Math.abs(original - parcial),
      coincide: Math.abs(original - parcial) < tolerancia
    };
  });
}

console.table(verificar(5, 1, 2, -1, [-3, 0, 1, 4]));

Evaluar una primitiva en un intervalo válido

function descomponerLineales(m, n, a, b) {
  if (a === b) {
    throw new RangeError('Las raíces deben ser distintas');
  }
  return {
    A: (m * a + n) / (a - b),
    B: (m * b + n) / (b - a)
  };
}

function primitivaParcial(x, A, B, a, b) {
  if (x === a || x === b) return NaN;
  return A * Math.log(Math.abs(x - a))
       + B * Math.log(Math.abs(x - b));
}

function integralDefinida(alpha, beta, m, n, a, b) {
  const minimo = Math.min(alpha, beta);
  const maximo = Math.max(alpha, beta);
  if ((a >= minimo && a <= maximo) ||
      (b >= minimo && b <= maximo)) {
    throw new RangeError('El intervalo contiene un polo');
  }
  const { A, B } = descomponerLineales(m, n, a, b);
  return primitivaParcial(beta, A, B, a, b)
       - primitivaParcial(alpha, A, B, a, b);
}

const resultado = integralDefinida(0, 1, 5, 1, 2, -1);
console.log('Valor de la integral:', resultado);
// Valor de la integral: -1.617343421306539

14 · Comprensión y práctica

Errores frecuentes

Ejercicios de comprensión

Ejercicio 1: plantear la forma

Escribí la forma de la descomposición de (3x−2)/[(x−4)(x+5)] sin calcular sus coeficientes.

Ejercicio 2: evaluar en las raíces

Descomponé (3x−2)/[(x−4)(x+5)].

Ejercicio 3: integrar

Calculá ∫(3x−2)/[(x−4)(x+5)]dx.

Ejercicio 4: numerador constante

Calculá ∫dx/[(x−1)(x−3)].

Ejercicio 5: división previa

Prepará (x²+x+1)/(x²−1) para una descomposición en factores lineales.

Ejercicio 6: integral definida

¿Puede evaluarse directamente ∫₀² dx/[(x−1)(x+3)] usando una primitiva en los extremos?

Ejercicio 7: verificar por recomposición

Comprobá que 2/(x−1)−1/(x+2)=(x+5)/[(x−1)(x+2)].

Ejercicio 8: detectar una cancelación

Descomponé (x+1)/[(x−2)(x+1)] y explicá el resultado.

15 · Síntesis

Ideas para recordar