Integrales impropias introductorias

01 · Extender la integral definida

Una integral es impropia cuando falla una condición ordinaria

La integral definida estudiada hasta aquí supone un intervalo cerrado y acotado [a,b] y, en los casos elementales, una función continua o al menos acotada en ese intervalo. Una integral impropia aparece cuando alguno de esos requisitos deja de cumplirse.

Los símbolos ∞ y −∞ no son números reales que puedan sustituirse en una primitiva. Tampoco se evalúa una primitiva directamente donde el integrando no está definido. En ambos casos se trabaja con integrales ordinarias sobre intervalos truncados y luego se toma un límite.

02 · Dos resultados posibles

Converger significa alcanzar un límite real finito

Una integral impropia converge si el límite que la define existe y es un número real finito. Su valor es precisamente ese límite. Si el límite es infinito, no existe u oscila sin estabilizarse, la integral diverge.

Decir que una integral divergente “vale infinito” confunde una descripción de crecimiento con un valor. En el cálculo real, +∞ indica divergencia hacia arriba, no el resultado numérico de la integral.

03 · Tipo I

Un extremo infinito se reemplaza por una variable

Si f es integrable en cada intervalo finito [a,R], definimos:

Para un intervalo que se extiende hacia la izquierda:

El extremo variable R o L siempre es finito durante la integración. Solo después de obtener una expresión para el área truncada se estudia qué sucede al alejarlo.

04 · Área infinita en extensión, finita en valor

La exponencial decreciente produce una integral convergente

Estudiemos:

Truncamos el extremo superior:

Como e⁻ᴿ→0 cuando R→∞:

El intervalo tiene longitud infinita, pero la altura decrece con suficiente rapidez para que el área total sea finita. Esto muestra que “base infinita” no implica automáticamente “área infinita”.

La diferencia entre el valor límite y la truncación en R es exactamente:

Por ejemplo, al truncar en R=10, el área omitida es aproximadamente 0,0000454.

05 · Modelo de comparación en el infinito

La integral p determina cuán rápido debe decrecer una potencia

Para p∈ℝ, consideramos:

Si p≠1, la integral truncada es:

Cuando p>1, el exponente 1−p es negativo y R¹⁻ᵖ→0. Por tanto:

Si p<1, la potencia R¹⁻ᵖ crece sin cota y la integral diverge. Falta el caso frontera p=1:

06 · Toda la recta real

Dos extremos infinitos exigen dos límites independientes

Para definir una integral sobre toda la recta se elige un punto finito c y se separa:

La integral completa converge solamente si las dos integrales laterales convergen por separado. El resultado no depende del punto c elegido cuando ambas convergen.

Por ejemplo, para f(x)=e⁻|ˣ| y c=0:

No alcanza con calcular un límite simétrico lim[R→∞]∫₋ᴿᴿf(x)dx. Esa expresión puede existir por cancelación aun cuando las dos partes impropias diverjan.

07 · Tipo II

Una singularidad en un extremo se aproxima desde el interior

Si f(x) no está acotada cuando x→a⁺, pero es integrable en cada [t,b] con t>a, definimos:

El signo + en t→a⁺ indica que t se aproxima a a usando valores del interior del intervalo. Si la singularidad está en b, se usa un límite por la izquierda:

La dirección lateral no es un detalle: fuera del intervalo el integrando podría tener otro comportamiento o ni siquiera estar definido en los números reales.

08 · Una altura infinita puede encerrar área finita

Integrar 1/√x cerca de cero

La función 1/√x crece sin cota cuando x→0⁺. Definimos:

La integral truncada es ordinaria:

Al acercar t a cero:

Aunque la gráfica tiene una asíntota vertical, la región cercana a cero se hace suficientemente angosta para mantener un área finita. Una altura no acotada no implica por sí sola divergencia.

09 · Modelo de comparación cerca de cero

El criterio p se invierte en un intervalo finito

Analizamos:

Para p≠1:

Si p<1, el exponente 1−p es positivo y t¹⁻ᵖ→0. Entonces:

Para p>1, t¹⁻ᵖ crece sin cota. Si p=1, aparece −lnt, que también crece sin cota al aproximarse a cero.

En el infinito necesitamos decrecimiento rápido; cerca de cero necesitamos que la explosión sea suficientemente suave. Por eso las desigualdades apuntan en direcciones opuestas.

10 · Dividir en el punto problemático

Una singularidad interior exige convergencia a ambos lados

Si f no está acotada en c∈(a,b), se define:

Cada término es una integral impropia con su propio límite lateral. La integral original converge solamente si ambos términos convergen.

Consideremos ∫₋₁¹1/x²dx. A la derecha de cero:

Ya basta esta divergencia para concluir que la integral completa diverge. A la izquierda ocurre lo mismo.

El caso ∫₋₁¹1/x dx merece especial cuidado. Las áreas simétricas se cancelan:

Sin embargo, la integral izquierda tiende a −∞ y la derecha a +∞. Por definición ordinaria, la integral impropia diverge. El valor cero corresponde a otro concepto, el valor principal de Cauchy, que no reemplaza la convergencia impropia.

11 · Decidir sin hallar una primitiva

La comparación traslada un comportamiento conocido

Muchas funciones no tienen primitivas elementales sencillas. Aun así, puede decidirse convergencia comparándolas con modelos conocidos. Para funciones no negativas en una región problemática:

• Si 0≤f(x)≤g(x) y la integral de g converge, entonces la de f también converge.
• Si 0≤g(x)≤f(x) y la integral de g diverge, entonces la de f también diverge.

Por ejemplo, para x≥1:

Como ∫₁∞1/x²dx converge, también converge ∫₁∞1/(x²+1)dx.

Para x≥1 también se cumple:

La integral de 1/(2x) diverge, de modo que ∫₁∞1/(x+1)dx diverge.

12 · Algoritmo de trabajo

Cómo analizar una integral impropia

1. 1
   Localizá la dificultad

   Buscá extremos infinitos y puntos donde el integrando no esté definido o no sea acotado.

2. 2
   Dividí el intervalo

   Separá toda singularidad interior y los dos extremos infinitos.

3. 3
   Escribí la definición

   Reemplazá cada punto impropio por una variable y el límite lateral correspondiente.

4. 4
   Calculá la integral truncada

   Integrá sobre un intervalo ordinario manteniendo visible el parámetro.

5. 5
   Evaluá cada límite

   No combines límites que deben ser independientes.

6. 6
   Clasificá

   Convergencia requiere que todos los límites necesarios sean reales y finitos.

7. 7
   Comprobá la interpretación

   Revisá signos, monotonicidad del área si f≥0 y comportamiento asintótico.

13 · Exploración interactiva

Laboratorio: observar cómo evoluciona una truncación

Elegí una familia, modificá p y desplazá el corte. El panel superior muestra el integrando y la región truncada; el inferior registra cómo cambia el valor parcial al acercarse al punto impropio.

El panel superior representa el integrando hasta un corte finito. El panel inferior muestra el valor acumulado mientras el corte se acerca al infinito o a cero.

Preguntas para explorar

1. En la potencia hacia infinito, compará p=0,9, p=1 y p=1,1. ¿Cómo cambia la estabilización?
2. Cambiá a la familia cercana a cero. ¿Por qué ahora convergen los exponentes menores que 1?
3. En la exponencial, aumentá el corte. ¿Con qué rapidez disminuye el área restante?
4. Elegí un valor de p muy próximo a 1. Aunque la integral converja, ¿parece rápida su aproximación al límite?

14 · Aproximación con JavaScript

Programar la definición mediante truncaciones

Las integrales p permiten calcular exactamente cada truncación y observar su comportamiento sin confundir un número grande con el infinito.

function potenciaHaciaInfinito(p, R) {
  if (R < 1) throw new RangeError('R debe ser ≥ 1');

  const parcial = p === 1
    ? Math.log(R)
    : (R ** (1 - p) - 1) / (1 - p);

  return {
    parcial,
    converge: p > 1,
    limite: p > 1 ? 1 / (p - 1) : Infinity
  };
}

console.log(potenciaHaciaInfinito(2, 100));
// { parcial: 0.99, converge: true, limite: 1 }

Singularidad en cero

function potenciaCercaDeCero(p, epsilon) {
  if (epsilon <= 0 || epsilon >= 1) {
    throw new RangeError('epsilon debe pertenecer a (0, 1)');
  }

  const parcial = p === 1
    ? -Math.log(epsilon)
    : (1 - epsilon ** (1 - p)) / (1 - p);

  return {
    parcial,
    converge: p < 1,
    limite: p < 1 ? 1 / (1 - p) : Infinity
  };
}

const resultado = potenciaCercaDeCero(0.5, 0.0001);
console.log(resultado);
// { parcial: 1.98, converge: true, limite: 2 }

Detectar estabilización numérica

function potenciaHaciaInfinito(p, R) {
  if (R < 1) throw new RangeError('R debe ser ≥ 1');

  const parcial = p === 1
    ? Math.log(R)
    : (R ** (1 - p) - 1) / (1 - p);

  return {
    parcial,
    converge: p > 1,
    limite: p > 1 ? 1 / (p - 1) : Infinity
  };
}

function explorarCortes(evaluar, cortes, tolerancia = 1e-6) {
  const valores = cortes.map(evaluar);
  const ultimo = valores.at(-1);
  const anterior = valores.at(-2);

  return {
    valores,
    cambioFinal: Math.abs(ultimo - anterior),
    pareceEstable: Math.abs(ultimo - anterior) < tolerancia
  };
}

const prueba = explorarCortes(
  R => potenciaHaciaInfinito(2, R).parcial,
  [10, 100, 1000, 10000]
);
console.log(prueba);

15 · Comprensión y práctica

Errores frecuentes

Ejercicios de comprensión

Ejercicio 1: escribir la definición

Expresá ∫₂∞f(x)dx mediante un límite.

Ejercicio 2: exponencial

Calculá ∫₀∞e⁻²ˣdx.

Ejercicio 3: potencia en el infinito

Determiná si ∫₁∞x⁻³⁄²dx converge y calculá su valor.

Ejercicio 4: caso frontera

Clasificá ∫₁∞dx/x.

Ejercicio 5: singularidad integrable

Calculá ∫₀⁴x⁻¹⁄²dx.

Ejercicio 6: singularidad no integrable

Clasificá ∫₀¹x⁻⁵⁄⁴dx.

Ejercicio 7: punto interior

¿Converge ∫₀²dx/(x−1)²?

Ejercicio 8: comparación

Justificá la convergencia de ∫₁∞dx/(x²+4) sin calcular su primitiva.

16 · Síntesis

Ideas para recordar