Límites de funciones definidas por partes

01 · Distintas reglas

Una función puede cambiar de fórmula

Una función definida por partes utiliza expresiones diferentes según el valor de la entrada. Este tipo de modelo aparece en tarifas por tramos, impuestos, animaciones con estados, validaciones, descuentos y algoritmos que contienen condiciones.

Para estudiar el límite cerca de x = 1 no elegimos una única fórmula para todos los valores. Las entradas menores utilizan x + 1; las mayores utilizan 2x.

Como las dos tendencias coinciden, el límite bilateral existe y vale 2.

02 · Leer la definición

Fórmulas y condiciones forman una unidad

Cada parte contiene dos elementos: una expresión y una condición que indica dónde se aplica.

El símbolo de igualdad incluido en x ≥ 1 determina cuál fórmula calcula f(1). No determina por sí solo el límite derecho: para ese límite usamos valores x > 1, aunque estén gobernados por la misma rama.

03 · Método de análisis

Resolver un límite por partes paso a paso

1. 1
   Ubicar el punto de separación.

   Verificar si el límite se pide donde cambia la fórmula.

2. 2
   Elegir la rama izquierda.

   Usar la condición válida para valores menores que el punto.

3. 3
   Calcular el límite izquierdo.

   Analizar esa expresión cuando la entrada se aproxima desde abajo.

4. 4
   Elegir la rama derecha.

   Usar la condición válida para valores mayores que el punto.

5. 5
   Calcular el límite derecho.

   Analizar la segunda expresión desde arriba.

6. 6
   Comparar.

   Si ambos resultados existen y coinciden, establecer el límite bilateral.

7. 7
   Consultar f(a) por separado.

   Solo cuando el problema también pregunte por el valor puntual.

04 · Unión sin salto

Dos fórmulas con una misma tendencia

Consideremos:

Desde la izquierda usamos x²:

Desde la derecha usamos 2x:

Las fórmulas son distintas, pero sus valores se encuentran en la misma altura al acercarse a 2. Por lo tanto:

Que cambie la fórmula no implica automáticamente que exista un salto. Debemos comparar los resultados.

05 · Tendencias incompatibles

Cuando las ramas no coinciden

Modifiquemos la segunda rama:

Como 2 ≠ 5, el límite bilateral no existe. El gráfico presenta dos ramas que se aproximan a alturas diferentes.

El hecho de que h(1) = 5 no favorece al límite derecho ni corrige el salto. El límite bilateral exige acuerdo entre ambos lados.

06 · Valor excepcional

Una rama puede definir solamente el punto

Una función también puede separar un único valor:

A izquierda y derecha de 1 usamos x + 1, porque todas las entradas cercanas son distintas de 1:

Entonces lim(x → 1) p(x) = 2, aunque p(1) = 10. En el gráfico aparece un círculo abierto en (1, 2) y un punto lleno en (1, 10).

Este ejemplo vuelve visible la diferencia entre la tendencia cercana y el valor puntual.

07 · Puntos ordinarios

No siempre necesitamos las dos fórmulas

Si el punto estudiado está completamente dentro de uno de los intervalos, usamos solamente la rama correspondiente. Para:

el límite cuando x → 0 utiliza x² desde ambos lados, porque todos los valores suficientemente cercanos a cero cumplen x < 2:

La segunda fórmula no participa. Antes de separar en límites laterales, preguntamos si el punto coincide con una frontera entre tramos.

08 · Más de una frontera

Funciones con tres o más partes

Una función puede tener varios puntos de cambio:

El análisis se realiza localmente:

No necesitamos estudiar todas las ramas para cada límite; solo las que aparecen arbitrariamente cerca del punto.

09 · Tramos ausentes

Una condición puede representar el extremo del dominio

Supongamos que un modelo solo está definido para entradas no negativas:

En x = 0 no existe una rama izquierda dentro de los números reales. Podemos afirmar:

pero no construir el límite bilateral elemental a partir de dos lados. Una condición ausente no debe inventarse ni reemplazarse por cero.

En programación, una rama que lanza un error o devuelve un valor centinela tampoco forma automáticamente una función matemática sobre esa región. Debemos decidir qué dominio modela realmente el programa.

10 · Exploración interactiva

Laboratorio: elegir la rama correcta

Seleccioná un modelo y reducí la distancia h. El gráfico y los resultados distinguen las dos tendencias laterales del valor puntual.

Los círculos abiertos muestran las alturas a las que se aproxima cada rama. El punto lleno representa el valor que la función toma exactamente en la frontera.

Preguntas para explorar

1. ¿En qué modelos coinciden las dos tendencias?
2. ¿Cuál muestra un límite diferente del valor puntual?
3. En la función con salto, ¿reducir h acerca las dos ramas entre sí?
4. ¿Por qué el extremo del dominio solo muestra una aproximación?

11 · Implementación

Representar funciones por partes en JavaScript

Las condiciones deben ser mutuamente excluyentes y cubrir exactamente el dominio deseado:

function funcionPorPartes(x) {
  if (x < 1) {
    return x + 1;
  }
  return 2 * x;
}

const h = 0.001;
console.log("Izquierda:", funcionPorPartes(1 - h));
console.log("Punto:", funcionPorPartes(1));
console.log("Derecha:", funcionPorPartes(1 + h));

Separar ramas y definición completa

Para analizar y probar el programa conviene conservar cada fórmula por separado:

const ramaIzquierda = x => x + 1;
const ramaDerecha = x => 2 * x + 3;

function funcionConSalto(x) {
  return x < 1 ? ramaIzquierda(x) : ramaDerecha(x);
}

const a = 1;
console.log("Tendencia izquierda:", ramaIzquierda(a));
console.log("Tendencia derecha:", ramaDerecha(a));
console.log("Valor puntual:", funcionConSalto(a));

Evaluar las fórmulas laterales en a es una forma algebraica de obtener sus tendencias cuando esas fórmulas son continuas. No significa que ambas ramas estén definidas allí dentro de la función original.

Validar un dominio parcial

function raizNoNegativa(x) {
  if (x < 0) {
    throw new RangeError("La función solo está definida para x ≥ 0");
  }
  return Math.sqrt(x);
}

console.log("Desde la derecha:", raizNoNegativa(0.001));

try {
  console.log(raizNoNegativa(-0.001));
} catch (error) {
  console.log("Desde la izquierda:", error.message);
}

12 · Comprensión

Confusiones frecuentes

13 · Práctica guiada

Ejercicios de comprensión

Ejercicio 1: ramas coincidentes

Sea f(x) = 3x − 1 si x < 2 y f(x) = x + 3 si x ≥ 2. Calculá el límite cuando x → 2.

Ejercicio 2: salto

Sea g(x) = x² si x < 1 y g(x) = x + 2 si x ≥ 1. Diagnosticá el límite en x = 1.

Ejercicio 3: valor puntual aislado

Sea h(x) = 2x si x ≠ 3 y h(3) = −10. Determiná el límite y el valor puntual.

Ejercicio 4: punto interior

Para la función del ejercicio 1, calculá lim(x → 0) f(x).

Ejercicio 5: tres tramos

Sea p(x) = −x si x < 0, p(x) = x + 1 si 0 ≤ x < 2 y p(x) = 3 si x ≥ 2. Analizá los límites en 0 y 2.

Ejercicio 6: implementar y probar

Programá la función del ejercicio 1 y mostrá evaluaciones a ambos lados de 2.

function f(x) {
  return x < 2 ? 3 * x - 1 : x + 3;
}

for (const h of [0.1, 0.01, 0.001]) {
  console.log({
    h,
    izquierda: f(2 - h),
    derecha: f(2 + h)
  });
}

14 · Síntesis

Ideas para recordar

En el próximo tema estudiaremos los límites trigonométricos fundamentales que servirán como base para resolver expresiones con seno, coseno y tangente.