Límites trigonométricos fundamentales

01 · Una indeterminación especial

El seno se parece a su ángulo cerca de cero

Consideremos el cociente:

La sustitución directa produce 0/0, pero las evaluaciones cercanas muestran una tendencia clara:

Cuando el ángulo es pequeño, su seno y el propio ángulo son muy próximos. El cociente se acerca a 1, aunque la expresión no esté definida exactamente en x = 0.

02 · La unidad importa

El límite vale 1 solamente en radianes

Un radián relaciona la longitud de un arco con el radio de la circunferencia. Esta definición hace que, para ángulos pequeños, la medida del ángulo y las longitudes geométricas asociadas tengan la misma escala.

Si la variable estuviera medida en grados, deberíamos convertirla antes de aplicar el seno:

Por eso:

JavaScript también utiliza radianes en Math.sin, Math.cos y Math.tan.

const gradosARadianes = grados => grados * Math.PI / 180;

console.log(Math.sin(Math.PI / 2));       // 1
console.log(Math.sin(gradosARadianes(90))); // 1

03 · Por qué funciona

Una comparación geométrica

Para un ángulo positivo pequeño x, medido en radianes, la geometría de la circunferencia unidad permite establecer:

Al dividir por x y reorganizar, obtenemos:

Cuando x → 0, cos(x) → 1. El cociente sen(x)/x queda atrapado entre dos cantidades que se acercan a 1, por lo que también se acerca a 1.

Para valores negativos ocurre la misma tendencia porque sen(−x)/(−x) = sen(x)/x. La razón es una función par alrededor de cero.

04 · Argumento multiplicado

El límite de sen(kx)/x

Para utilizar el límite fundamental, hacemos aparecer el argumento completo en el denominador:

Cuando x → 0, también kx → 0. Entonces:

Por ejemplo:

El factor k no puede desaparecer. Mide cuánto más rápido cambia el argumento interno respecto de x.

05 · Dos argumentos

El límite de sen(ax)/sen(bx)

Si b ≠ 0, podemos introducir dos cocientes fundamentales:

Los dos primeros factores tienden a 1. Por lo tanto:

Ejemplo:

Esta regla depende de que ambos argumentos tiendan a cero y de que los ángulos estén expresados en radianes.

06 · Un segundo límite fundamental

El límite de tan(x)/x

Usamos la identidad tan(x) = sen(x)/cos(x):

Cuando x → 0, el primer factor tiende a 1 y cos(x) → 1. Entonces:

También obtenemos:

y, siempre que los coeficientes sean adecuados, cocientes como tan(ax)/tan(bx) tienden a a/b.

07 · Expresiones con coseno

Los límites de 1 − cos(x)

La sustitución en [1 − cos(x)]/x produce 0/0. Racionalizamos el numerador con 1 + cos(x):

El primer factor tiende a 1 y el segundo a 0/2 = 0. Por lo tanto:

Si el denominador es x², obtenemos otro límite notable:

Puede deducirse usando 1 − cos(x) = 2sen²(x/2).

08 · Reconocer la estructura

Hacer aparecer el límite fundamental

Muchas expresiones no tienen exactamente la forma sen(x)/x, pero pueden transformarse. El método consiste en identificar el argumento trigonométrico y construir el cociente correspondiente.

1. 1
   Identificar el argumento.

   Si aparece sen(4x), el argumento completo es 4x.

2. 2
   Verificar que tienda a cero.

   El límite fundamental se aplica alrededor de argumento cero.

3. 3
   Multiplicar por el factor faltante.

   Construir sen(u)/u sin cambiar la expresión.

4. 4
   Aplicar identidades si hace falta.

   Convertir tangente o coseno en expresiones con seno.

5. 5
   Calcular los factores restantes.

   Usar propiedades de límites y sustitución directa.

Ejemplo:

09 · Trasladar el punto

El argumento, no la variable, debe tender a cero

El límite fundamental también aparece cerca de otros puntos si una expresión interna tiende a cero. Consideremos:

Definimos mentalmente u = x − 2. Cuando x → 2, u → 0, por lo que el límite vale 1.

Otro ejemplo:

No hace falta desarrollar una teoría nueva: buscamos una cantidad que tienda a cero y reorganizamos la expresión alrededor de ella.

10 · Perspectiva computacional

Evaluar cerca de cero sin perder información

La expresión sen(x)/x produce NaN exactamente en cero, aunque su límite sea 1. Podemos programar su extensión continua definiendo explícitamente ese valor:

function sinc(x) {
  if (x === 0) return 1;
  return Math.sin(x) / x;
}

for (const x of [-0.01, -0.001, 0, 0.001, 0.01]) {
  console.log(`sinc(${x}) = ${sinc(x)}`);
}

La función programada ya no es exactamente el cociente original: es una extensión que completa el hueco con su límite.

Una forma estable para 1 − cos(x)

Restar cos(x) de 1 pierde precisión para ángulos muy pequeños. La identidad

permite una evaluación más estable:

const directa = x => (1 - Math.cos(x)) / x ** 2;
const estable = x => 2 * (Math.sin(x / 2) / x) ** 2;

for (const x of [1e-4, 1e-6, 1e-8]) {
  console.log({ x, directa: directa(x), estable: estable(x) });
}

11 · Exploración interactiva

Laboratorio: reconocer límites trigonométricos

Seleccioná una expresión y reducí h. El gráfico muestra el comportamiento alrededor de cero y las tarjetas comparan ambos lados con el valor esperado.

La línea vertical marca x igual a cero y la horizontal marca el límite esperado. Los puntos representan evaluaciones simétricas.

Preguntas para explorar

1. ¿Qué expresiones se aproximan a 1?
2. ¿Por qué sen(3x)/x se aproxima a 3?
3. ¿Cuál de las formas con coseno pierde precisión antes al usar la evaluación directa?
4. ¿Los valores izquierdo y derecho coinciden exactamente o solo se aproximan?

12 · Implementación reusable

Explorar cocientes trigonométricos

Podemos comparar una función con el límite teórico y medir el error:

function explorarTrigonometrico(funcion, limite, niveles = 6) {
  const muestras = [];

  for (let n = 1; n <= niveles; n++) {
    const h = 10 ** -n;
    const izquierda = funcion(-h);
    const derecha = funcion(h);
    muestras.push({
      h,
      izquierda,
      derecha,
      errorMaximo: Math.max(
        Math.abs(izquierda - limite),
        Math.abs(derecha - limite)
      )
    });
  }
  return muestras;
}

const razonSeno = x => Math.sin(x) / x;
console.log(explorarTrigonometrico(razonSeno, 1));

Evitar mezclar grados y radianes

const senoRadianes = x => Math.sin(x);
const senoGrados = grados => Math.sin(grados * Math.PI / 180);

console.log("sen(1 radián):", senoRadianes(1));
console.log("sen(1 grado):", senoGrados(1));
console.log("No representan el mismo ángulo");

13 · Comprensión

Confusiones frecuentes

14 · Práctica guiada

Ejercicios de comprensión

Ejercicio 1: factor interno

Calculá lim(x → 0) sen(5x)/x.

Ejercicio 2: factor exterior

Calculá lim(x → 0) 4sen(2x)/(3x).

Ejercicio 3: cociente de senos

Calculá lim(x → 0) sen(7x)/sen(3x).

Ejercicio 4: tangente

Calculá lim(x → 0) tan(4x)/(2x).

Ejercicio 5: coseno

Calculá lim(x → 0) [1 − cos(3x)]/x².

Ejercicio 6: trasladar el punto

Calculá lim(x → 4) sen[3(x − 4)]/(x − 4).

Ejercicio 7: implementación

Programá una versión de [1 − cos(x)]/x² que use la forma estable y complete el valor en cero.

function limiteCosenoEstable(x) {
  if (x === 0) return 0.5;
  return 2 * (Math.sin(x / 2) / x) ** 2;
}

for (const x of [-0.001, 0, 0.001]) {
  console.log(x, limiteCosenoEstable(x));
}

15 · Síntesis

Ideas para recordar

En el próximo tema estudiaremos los límites exponenciales y logarítmicos y el papel de sus dominios y tendencias características.