Límites exponenciales y logarítmicos

01 · Dos funciones relacionadas

La exponencial y el logaritmo son inversas

Una función exponencial coloca la variable en el exponente. Para una base a > 0 y a ≠ 1:

Su función inversa es el logaritmo en base a:

La base natural e ≈ 2.718281828... ocupa un lugar especial en análisis. Escribimos eˣ para la exponencial natural y ln(x) para su inversa.

02 · Antes de calcular

Dominio, base y comportamiento

Si a > 1, aˣ crece y logₐ(x) también. Si 0 < a < 1, ambas funciones invierten ese sentido. En todos los casos permitidos son continuas dentro de sus dominios.

03 · Puntos ordinarios

Sustitución directa dentro del dominio

Las funciones exponenciales admiten sustitución directa en todo punto real:

Los logaritmos admiten sustitución cuando el argumento límite es positivo:

En una composición, primero calculamos el límite del argumento. Si ese resultado queda dentro del dominio del logaritmo, aplicamos la función exterior.

04 · Forma fundamental

El límite de (eˣ − 1)/x

La sustitución directa produce 0/0, pero el cociente tiene una tendencia fundamental:

Este límite expresa que, cerca de cero, el incremento de eˣ es comparable con el incremento x. La base e está normalizada precisamente de manera que la razón tienda a 1.

05 · Argumentos compuestos

El factor interno permanece

Si aparece ekx − 1, hacemos visible el argumento kx:

Cuando x → 0, también kx → 0. Por lo tanto:

Ejemplo:

También podemos trasladar el punto:

Lo importante es que el exponente completo tienda a cero.

06 · Exponenciales generales

El límite de (aˣ − 1)/x

Para a > 0, podemos escribir aˣ = ex ln(a). Entonces:

Si a ≠ 1, el cociente fundamental tiende a 1, de modo que:

Para a = 2, el resultado es ln(2) ≈ 0.693147. Para una base entre cero y uno, ln(a) es negativo, coherente con una exponencial decreciente.

07 · Forma inversa

El límite de ln(1 + x)/x

La forma logarítmica fundamental es:

El dominio exige 1 + x > 0, condición satisfecha en un entorno suficientemente pequeño de cero. La sustitución produce 0/0, pero el logaritmo natural y la exponencial se compensan como funciones inversas.

Con un factor interno:

Ejemplo:

08 · Trasladar el punto

El límite de ln(x)/(x − 1)

Cuando x → 1, definimos u = x − 1. Entonces x = 1 + u y u → 0:

Aplicando el límite fundamental:

La misma idea permite resolver:

Usamos la propiedad ln(x) − ln(a) = ln(x/a) y reorganizamos el argumento para acercarlo a 1.

09 · Cambio de base

Límites con logaritmos de otras bases

La fórmula de cambio de base es:

Por lo tanto:

y:

Las condiciones son a > 0 y a ≠ 1. En JavaScript, Math.log calcula ln; para otra base usamos el cociente de logaritmos.

function logaritmoBase(x, base) {
  if (x <= 0 || base <= 0 || base === 1) {
    throw new RangeError("Argumento o base no válidos");
  }
  return Math.log(x) / Math.log(base);
}

console.log(logaritmoBase(8, 2));  // 3
console.log(logaritmoBase(100, 10)); // 2

10 · Cerca del dominio

El logaritmo al aproximarse a cero

El logaritmo natural solo está definido para entradas positivas. Cuando x se acerca a cero desde la derecha, sus valores disminuyen sin cota:

El símbolo −∞ describe un decrecimiento sin cota, no un valor real. No existe aproximación real por la izquierda. En el próximo tema estudiaremos formalmente este tipo de límites infinitos.

11 · Perspectiva computacional

expm1 y log1p evitan restas problemáticas

Para x pequeño, calcular Math.exp(x) - 1 resta dos números casi iguales. JavaScript ofrece Math.expm1(x), que calcula directamente eˣ − 1 con mejor precisión.

Del mismo modo, Math.log1p(x) calcula ln(1 + x) sin perder la pequeña variación al formar primero 1 + x.

for (const x of [1e-4, 1e-8, 1e-12, 1e-16]) {
  console.log({
    x,
    expDirecta: Math.exp(x) - 1,
    expEstable: Math.expm1(x),
    logDirecto: Math.log(1 + x),
    logEstable: Math.log1p(x)
  });
}

Estas funciones no cambian la matemática; implementan fórmulas especializadas para reducir errores de redondeo.

12 · Exploración interactiva

Laboratorio: crecimiento, inversas y precisión

Seleccioná una expresión y reducí h. El laboratorio utiliza la forma estable para las muestras y compara el comportamiento con el límite esperado.

La línea vertical marca el punto de aproximación y la horizontal el límite esperado. Los puntos representan evaluaciones simétricas.

Preguntas para explorar

1. ¿Qué modelos tienen límite 1?
2. ¿Por qué el modelo de base 2 se aproxima a ln(2)?
3. ¿En qué nivel la evaluación directa de eˣ − 1 perdería precisión?
4. ¿Qué cambio de variable conecta ln(x)/(x − 1) con ln(1 + u)/u?

13 · Implementación reusable

Extensiones estables de los límites fundamentales

Podemos completar el hueco en cero y usar las operaciones especializadas:

function razonExponencial(x) {
  if (x === 0) return 1;
  return Math.expm1(x) / x;
}

function razonLogaritmica(x) {
  if (x === 0) return 1;
  if (x <= -1) throw new RangeError("Se requiere 1 + x > 0");
  return Math.log1p(x) / x;
}

console.log(razonExponencial(1e-12));
console.log(razonLogaritmica(1e-12));

Una base exponencial configurable

function razonExponencialBase(x, base) {
  if (base <= 0) {
    throw new RangeError("La base debe ser positiva");
  }
  const logBase = Math.log(base);
  if (x === 0) return logBase;
  return Math.expm1(x * logBase) / x;
}

console.log("Base 2:", razonExponencialBase(1e-8, 2));
console.log("Límite esperado:", Math.log(2));

14 · Comprensión

Confusiones frecuentes

15 · Práctica guiada

Ejercicios de comprensión

Ejercicio 1: sustitución exponencial

Calculá lim(x → 3) 2ˣ.

Ejercicio 2: composición logarítmica

Calculá lim(x → 2) ln(x² + 5).

Ejercicio 3: exponencial escalada

Calculá lim(x → 0) [e5x − 1]/(2x).

Ejercicio 4: base general

Calculá lim(x → 0) (10ˣ − 1)/x.

Ejercicio 5: logaritmo escalado

Calculá lim(x → 0) ln(1 + 6x)/(3x).

Ejercicio 6: cambio de base

Calculá lim(x → 1) log₂(x)/(x − 1).

Ejercicio 7: implementación estable

Compará Math.exp(x) - 1 con Math.expm1(x) para x = 1e-16.

const x = 1e-16;
const directa = Math.exp(x) - 1;
const estable = Math.expm1(x);

console.log("Directa:", directa);
console.log("Estable:", estable);
console.log("Valor esperado cercano a:", x);

16 · Síntesis

Ideas para recordar

En el próximo tema estudiaremos los límites infinitos y cómo describir funciones que crecen o decrecen sin cota cerca de un punto.