Asíntotas verticales

01 · Definición

Una recta que describe crecimiento sin cota

La recta vertical x = a es una asíntota vertical de f si la función crece o decrece sin cota al acercarse a a desde al menos uno de sus lados.

Para f(x) = 1/x, la recta x = 0 es una asíntota vertical:

La asíntota pertenece a la descripción geométrica del comportamiento. No es un segmento de la función ni un valor que esta deba alcanzar.

02 · Cuatro configuraciones

Los dos lados pueden comportarse de forma diferente

No exigimos que los dos límites laterales coincidan. Esa exigencia corresponde a un límite bilateral finito; una asíntota vertical registra un comportamiento no acotado.

03 · Funciones racionales

Los ceros del denominador son candidatos

Para una función racional f(x) = p(x)/q(x), comenzamos resolviendo:

Las soluciones quedan fuera del dominio y son candidatas a asíntotas verticales. Sin embargo, todavía debemos simplificar factores comunes y estudiar los límites laterales.

Ejemplo:

El denominador se anula en x = 2 y el numerador se aproxima a 3, un valor no nulo. El cociente crece sin cota:

Por tanto, x = 2 es una asíntota vertical.

04 · Candidato descartado

Un factor cancelable produce un hueco, no una asíntota

Consideremos:

El denominador se anula en x = 1, pero el numerador también contiene el factor x − 1:

Las salidas se aproximan a 2, no crecen sin cota. El gráfico tiene un hueco en (1, 2), pero x = 1 no es una asíntota vertical.

05 · Factores que permanecen

La multiplicidad determina el patrón lateral

Después de simplificar, observamos la potencia del factor x − a que permanece en el denominador.

• Si n es par, el factor tiene el mismo signo en ambos lados.
• Si n es impar, el factor cambia de signo al cruzar a.
• El signo de N(a) puede conservar o invertir el sentido final.

Ejemplo:

La potencia par es positiva a ambos lados y el numerador es negativo. Las dos ramas tienden a −∞; x = −1 es una asíntota vertical.

06 · Diagnóstico lateral

Construir una tabla de signos

Para:

los candidatos son x = −2 y x = 3. Analicemos x = 3:

El mismo procedimiento debe repetirse alrededor de cada candidato.

07 · El punto no corrige la tendencia

Asignar un valor en la asíntota no la elimina

Podemos definir artificialmente:

Aunque ahora exista h(0), las salidas vecinas continúan creciendo sin cota:

La recta x = 0 sigue siendo una asíntota vertical. Un único valor no modifica el comportamiento de intervalos enteros próximos al punto.

En el gráfico puede aparecer un punto aislado sobre la recta asintótica y, simultáneamente, dos ramas que escapan de la ventana.

08 · Asíntotas en fronteras del dominio

Un solo lado puede bastar

Para f(x) = ln(x), solo existen entradas positivas. Al acercarse a cero desde la derecha:

Por tanto, x = 0 es una asíntota vertical aunque no exista una rama real a la izquierda.

Otro ejemplo es:

La recta x = 2 es una asíntota vertical situada en el extremo del dominio.

09 · Patrones periódicos

Asíntotas verticales de la tangente

Como tan(x) = sen(x)/cos(x), la tangente no está definida donde cos(x) = 0:

Cada una de estas rectas es una asíntota vertical. Cerca de π/2:

La periodicidad genera infinitas asíntotas verticales separadas por una distancia π.

10 · Más de una asíntota

Factorizar para encontrarlas todas

Consideremos:

El denominador se anula en x = 1 y x = −2. El numerador no se anula en ninguno de esos puntos y no hay factores comunes. Ambas rectas son asíntotas verticales.

1. 1
   Factorizar numerador y denominador.

   Hacer visibles todos los factores.

2. 2
   Cancelar factores comunes.

   Clasificarlos como posibles huecos.

3. 3
   Resolver el denominador restante.

   Obtener los candidatos a asíntotas.

4. 4
   Analizar cada candidato.

   Calcular los dos límites laterales cuando estén disponibles.

11 · Representación computacional

Un gráfico no debe unir ramas separadas

Un graficador evalúa una cantidad finita de puntos y suele unirlos con segmentos. Si una muestra queda a cada lado de una asíntota, el segmento puede atravesar la pantalla y crear una línea falsa.

Para evitarlo, el algoritmo debe iniciar un nuevo trazo cuando:

• la función no está definida en una muestra;
• aparece un valor no finito;
• el salto vertical entre muestras supera un umbral;
• se cruza un punto candidato conocido.

También conviene recortar valores fuera de la ventana, sin confundir ese recorte visual con una cota matemática.

12 · Exploración interactiva

Laboratorio: asíntota o hueco

Elegí un modelo y reducí h. El laboratorio muestra los límites laterales, marca la recta candidata y separa las ramas al dibujar.

La línea vertical punteada representa la candidata. El gráfico se interrumpe en ella para no conectar ramas separadas.

Preguntas para explorar

1. ¿Qué diferencia visual existe entre el hueco y una asíntota?
2. ¿En qué modelos los signos laterales coinciden?
3. ¿Qué casos disponen de una sola rama?
4. ¿Por qué la tangente tiene más asíntotas fuera de la ventana mostrada?

13 · Implementación

Separar candidatos de diagnósticos

Un candidato racional surge de un cero del denominador, pero debe verificarse con muestras válidas:

function explorarCandidato(funcion, a, niveles = 6) {
  const muestras = [];

  for (let n = 1; n <= niveles; n++) {
    const h = 10 ** -n;
    muestras.push({
      h,
      izquierda: funcion(a - h),
      derecha: funcion(a + h)
    });
  }
  return muestras;
}

const racional = x => (x + 1) / (x - 2);
console.log(explorarCandidato(racional, 2));

Interrumpir trazos en una discontinuidad

function debeSepararTrazo(anterior, actual, umbral = 100) {
  if (!Number.isFinite(anterior) || !Number.isFinite(actual)) {
    return true;
  }
  return Math.abs(actual - anterior) > umbral;
}

console.log(debeSepararTrazo(-1000, 1000)); // true
console.log(debeSepararTrazo(2.1, 2.2));    // false

Representar el resultado explícitamente

const diagnostico = {
  candidato: 2,
  limiteIzquierdo: "-Infinity",
  limiteDerecho: "+Infinity",
  esAsintotaVertical: true,
  evidencia: "La magnitud aumenta y los signos son opuestos"
};

console.log(diagnostico);

Una estructura descriptiva conserva más información que un simple booleano y facilita explicar el gráfico o registrar pruebas.

14 · Comprensión

Confusiones frecuentes

15 · Práctica guiada

Ejercicios de comprensión

Ejercicio 1: candidata racional

Encontrá y clasificá la candidata de f(x) = 4/(x + 3).

Ejercicio 2: potencia par

Analizá g(x) = −2/(x − 1)².

Ejercicio 3: hueco o asíntota

Clasificá x = 2 para h(x) = (x² − 4)/(x − 2).

Ejercicio 4: dos candidatas

Encontrá las asíntotas verticales de (x + 1)/[(x − 2)(x + 4)].

Ejercicio 5: frontera del dominio

Explicá por qué x = 5 es una asíntota vertical de 1/√(x − 5).

Ejercicio 6: evitar una línea falsa

Generá muestras de 1/x y marcá cuándo debería interrumpirse el trazo.

const f = x => 1 / x;
const entradas = [-0.1, -0.01, 0, 0.01, 0.1];

for (const x of entradas) {
  const y = f(x);
  console.log({
    x,
    y,
    separarTrazo: !Number.isFinite(y)
  });
}

16 · Síntesis

Ideas para recordar

En el próximo tema cambiaremos la pregunta: estudiaremos los límites al infinito, donde la entrada crece sin cota.