Límites al infinito

01 · Una nueva forma de aproximarse

Ahora la entrada no se acerca a un punto

En los límites estudiados hasta aquí, x se aproximaba a un número concreto. En un límite al infinito, observamos la función para entradas cuya magnitud aumenta sin cota.

Esta expresión afirma que podemos conseguir que f(x) esté tan cerca de L como queramos tomando valores positivos de x suficientemente grandes.

Por ejemplo:

La función nunca necesita valer cero. Lo importante es que la distancia |1/x − 0| se vuelve arbitrariamente pequeña.

02 · Dos colas independientes

Hacia más infinito y hacia menos infinito

Una función puede comportarse de maneras completamente diferentes en sus dos extremos:

Para f(x) = x³:

En cambio, para g(x) = x², ambos extremos suben:

La abreviatura x → ±∞ solo debe usarse cuando las dos direcciones producen el comportamiento indicado.

03 · Evidencia numérica

Leer la cola de una tabla

Una tabla puede sugerir el límite de f(x) = 3 + 2/x:

Una tabla es evidencia, no una demostración: siempre contiene una cantidad finita de muestras. La fórmula explica por qué 2/x puede hacerse tan pequeño como se necesite.

04 · Clasificación

Finito, infinito u oscilatorio

Al recorrer una cola pueden aparecer varios patrones:

05 · Escalas de crecimiento

Los términos de mayor crecimiento dominan

Para valores grandes de |x|, algunos términos se vuelven insignificantes en comparación con otros. Consideremos:

Si dividimos todo por x³, obtenemos:

Esto muestra que p(x) se comporta principalmente como 4x³. Por tanto:

No estamos reemplazando la función por otra idéntica: estamos identificando el término que decide su comportamiento final.

06 · Signo en ambas colas

Grado, paridad y coeficiente principal

En un polinomio, el término de mayor grado permite anticipar los extremos del gráfico.

Por ejemplo, −2x⁴ + x² − 8 tiende a −∞ en ambas direcciones porque domina −2x⁴.

07 · Partes que desaparecen

Una perturbación pequeña no cambia el destino

Si r(x) → 0 cuando x → +∞, entonces sumar r(x) a una función con límite finito solo introduce una corrección que desaparece:

Ejemplos:

• 7 − 4/x → 7
• 2 + 1/x² → 2
• sen(x)/x → 0, porque |sen(x)/x| ≤ 1/|x|

En el último caso, el numerador sigue oscilando, pero el factor 1/x comprime la amplitud.

08 · Formas que requieren reescritura

Evitar la resta de cantidades casi iguales

La expresión √(x² + x) − x parece enfrentar dos cantidades que crecen sin cota. Para x → +∞, racionalizamos:

Luego dividimos numerador y denominador por x —que es positivo en esta dirección—:

La reescritura también mejora el cálculo numérico: evita restar números enormes y muy próximos, operación que puede perder cifras significativas.

09 · Funciones elementales

Reconocer comportamientos conocidos

Estas referencias ayudan a analizar expresiones compuestas sin depender únicamente de tablas.

10 · Cambios de escala y posición

Transformar un comportamiento conocido

Si conocemos que f(x) → L, podemos anticipar transformaciones sencillas:

• f(x) + c → L + c: desplazamiento vertical.
• k·f(x) → kL: cambio de escala y posible reflexión.
• f(x − a) → L: un desplazamiento horizontal finito no cambia la cola.

Como 1/x → 0, resulta:

Estas reglas se aplican cuando las operaciones involucradas están bien definidas en la cola estudiada.

11 · Aproximación computacional

«Un número grande» no es infinito

Evaluar una función en 1e6 puede aportar evidencia, pero nunca representa todo el proceso. Además, el tipo Number de JavaScript introduce límites prácticos:

• los enteros dejan de representarse exactamente después de Number.MAX_SAFE_INTEGER;
• una operación demasiado grande puede producir Infinity por desbordamiento;
• las correcciones pequeñas pueden redondearse y desaparecer;
• una sucesión de muestras mal elegida puede ocultar oscilaciones.

Por ejemplo, muestrear sen(x) solo en múltiplos de 2π produciría siempre valores cercanos a cero y sugeriría falsamente un límite.

Una exploración responsable utiliza varias escalas, compara ambas direcciones cuando corresponde y contrasta la tabla con un argumento matemático.

12 · Exploración interactiva

Laboratorio: recorrer las colas

Elegí una función y aumentá la escala. El laboratorio evalúa en x = ±10ᵏ, muestra ambas colas y dibuja puntos en una escala horizontal logarítmica.

Cada columna del gráfico corresponde a una potencia de diez. La serie violeta representa entradas negativas y la naranja, entradas positivas.

Preguntas para explorar

1. ¿Qué modelos tienen el mismo comportamiento en las dos colas?
2. ¿En cuál influye la paridad de la potencia?
3. ¿Por qué sen(x)/x se aproxima a cero aunque el seno continúe oscilando?
4. ¿Por qué la expresión con raíz se aproxima a 1/2 a la derecha, pero crece a la izquierda?

13 · Implementación

Generar muestras en varias escalas

Las potencias de diez permiten recorrer órdenes de magnitud sin crear una tabla enorme:

function explorarColas(funcion, maxExponente = 6) {
  const muestras = [];

  for (let k = 1; k <= maxExponente; k++) {
    const magnitud = 10 ** k;
    muestras.push({
      k,
      izquierda: funcion(-magnitud),
      derecha: funcion(magnitud)
    });
  }
  return muestras;
}

const f = x => 3 + 2 / x;
console.log(explorarColas(f));

Comparar con un candidato finito

function erroresHacia(funcion, limite, exponentes) {
  return exponentes.map(k => {
    const x = 10 ** k;
    const valor = funcion(x);
    return { x, valor, error: Math.abs(valor - limite) };
  });
}

const datos = erroresHacia(x => 5 - 1 / x, 5, [1, 2, 3, 4]);
console.log(datos);

Usar una fórmula numéricamente estable

const inestable = x => Math.sqrt(x * x + x) - x;
const estable = x => x / (Math.sqrt(x * x + x) + x);

for (const x of [1e2, 1e6, 1e12, 1e16]) {
  console.log({ x, inestable: inestable(x), estable: estable(x) });
}

El resultado numérico no prueba el límite, pero puede revelar tendencias, errores de implementación y problemas de estabilidad.

14 · Comprensión

Confusiones frecuentes

15 · Práctica guiada

Ejercicios de comprensión

Ejercicio 1: corrección decreciente

Calculá limx → +∞ (8 − 3/x).

Ejercicio 2: dos direcciones

Describí los límites de −2x⁵ + 4x² cuando x → +∞ y cuando x → −∞.

Ejercicio 3: oscilación

¿Por qué cos(x) no tiene límite cuando x → +∞?

Ejercicio 4: oscilación amortiguada

Justificá que cos(x)/x² → 0 cuando x → ±∞.

Ejercicio 5: racionalización

Calculá limx → +∞ (√(x² + 6x) − x).

Ejercicio 6: pensar como programador

El siguiente código intenta decidir si una función tiene límite finito. Indicá dos motivos por los que no es confiable.

function posibleLimite(funcion) {
  return funcion(1e9);
}

console.log(posibleLimite(Math.sin));

16 · Síntesis

Ideas para recordar

En el próximo tema aplicaremos estas ideas específicamente a las funciones racionales al infinito, comparando grados y términos dominantes.