17. Funciones racionales al infinito | Límites y Continuidad para Programadores

01 · Punto de partida

Un cociente entre polinomios

Una función racional tiene la forma:

R(x) = P(x)/Q(x), Q(x) \neq 0

Para estudiar su comportamiento cuando x → ±∞, no necesitamos expandir una tabla interminable. Los términos de mayor grado de P y Q terminan dominando a los demás.

Si:

P(x) \approx aₘxᵐ y Q(x) \approx bₙxⁿ

entonces, en las colas:

P(x)/Q(x) \approx (aₘ/bₙ)x m-n

02 · Justificación

Dividir por la mayor potencia del denominador

Consideremos:

R(x) = (3x² - x + 2)/(x² + 4)

Dividimos cada término por x², la mayor potencia del denominador:

R(x) = (3 - 1/x + 2/x²)/(1 + 4/x²)

Cuando x → ±∞, los términos con 1/x y 1/x² tienden a cero:

lim x \to \pm\infty R(x) = 3/1 = 3

Así se demuestra por qué sobreviven los coeficientes principales; no se trata de borrar términos arbitrariamente.

03 · Regla central

Comparar el grado del numerador y del denominador

Clasificación inicial para R(x) = P(x)/Q(x).
Comparación	Forma dominante	Comportamiento
`m < n`	`(aₘ/bₙ)/x^n−m`	Tiende a `0`.
`m = n`	`aₘ/bₙ`	Tiende al cociente de coeficientes principales.
`m > n`	`(aₘ/bₙ)x^m−n`	Crece como una potencia; hay que analizar su signo.

Esta regla vale en ambas direcciones. Cuando el resultado dominante contiene una potencia de x, la paridad de la diferencia m − n permite distinguir la cola izquierda de la derecha.

04 · Numerador menor

El denominador gana la carrera

Sea:

f(x) = (2x + 1)/(x² + 3)

El numerador tiene grado 1 y el denominador grado 2. Dividiendo por x²:

f(x) = (2/x + 1/x²)/(1 + 3/x²) \to 0/1 = 0

Por tanto:

lim x \to +\infty f(x) = 0 y lim x \to -\infty f(x) = 0

Las salidas pueden acercarse a cero con signos diferentes, pero el límite de las dos colas sigue siendo cero.

05 · Grados iguales

Sobrevive el cociente de coeficientes

Para:

g(x) = (-6x³ + 2x)/(3x³ - x² + 5)

numerador y denominador tienen grado 3. Los términos dominantes producen:

(-6x³)/(3x³) = -2

En consecuencia:

lim x \to \pm\infty g(x) = -2

Los signos de x³ cambian en la cola negativa, pero cambian simultáneamente arriba y abajo y se cancelan en el cociente.

06 · Numerador mayor

El cociente conserva crecimiento

Consideremos:

h(x) = (x³ + 2)/(2x² + 1)

La diferencia de grados es 3 − 2 = 1, por lo que:

h(x) \approx x/2

Así:

lim x \to +\infty h(x) = +\infty y lim x \to -\infty h(x) = -\infty

Decir solamente «el numerador tiene mayor grado, entonces da infinito» es incompleto: hay que informar el signo y la dirección.

07 · Colas y signos

Usar la paridad de la diferencia de grados

Cuando m > n, usamos el modelo dominante:

R(x) \approx c\cdotxᵈ, c = aₘ/bₙ, d = m - n

Signos del comportamiento dominante.
d	c	x → −∞	x → +∞
Par	Positivo	`+∞`	`+∞`
Par	Negativo	`−∞`	`−∞`
Impar	Positivo	`−∞`	`+∞`
Impar	Negativo	`+∞`	`−∞`

Por ejemplo, (−3x⁵ + 1)/(x³ + 2) se comporta como −3x²: ambas colas tienden a −∞.

08 · Separar tendencia y residuo

La división polinómica muestra qué permanece

Si el numerador tiene mayor grado, la división permite escribir:

P(x)/Q(x) = C(x) + R(x)/Q(x)

donde el grado del residuo R es menor que el de Q. Por ejemplo:

(x² + 1)/(x + 1) = x - 1 + 2/(x + 1)

Como 2/(x + 1) → 0, el cociente se comporta como x − 1 para entradas de gran magnitud.

Esta descomposición brinda más información que limitarse a escribir ±∞. En el tema siguiente interpretaremos geométricamente esas tendencias.

09 · Factores comunes

Los huecos finitos no cambian las colas

En:

r(x) = (x² - 1)/(x² + x)

podemos factorizar:

r(x) = [(x - 1)(x + 1)]/[x(x + 1)] = (x - 1)/x, x \neq -1, 0

La exclusión puntual en x = −1 no altera lo que ocurre cuando |x| crece:

(x - 1)/x = 1 - 1/x \to 1

10 · Método de resolución

Un algoritmo en cinco pasos

1
Identificar los grados.
Registrar m = grado(P) y n = grado(Q).
2
Tomar los coeficientes principales.
Determinar aₘ y bₙ, incluidos sus signos.
3
Comparar m y n.
Elegir entre cero, cociente constante o potencia dominante.
4
Separar las dos direcciones.
Si queda una potencia, usar su paridad para decidir los signos.
5
Justificar.
Dividir por una potencia adecuada o efectuar la división polinómica.

Finalmente, una tabla puede utilizarse como comprobación, nunca como sustituto de la justificación.

11 · Cálculo estable

Evitar potencias enormes antes de dividir

Evaluar directamente polinomios de alto grado puede producir Infinity aunque el cociente tenga un límite finito. Por ejemplo, x ** 200 desborda rápidamente.

Para grados iguales, conviene evaluar la forma normalizada. En lugar de:

(3x² - x + 2)/(x² + 4)

usamos:

(3 - 1/x + 2/x²)/(1 + 4/x²)

La segunda forma evita construir números enormes y conserva directamente los términos relevantes para la cola.

12 · Exploración interactiva

Laboratorio: comparar grados

Elegí un cociente y aumentá k. Se evaluará en x = ±10ᵏ y se mostrará el modelo dominante correspondiente.

EXPERIMENTO 17

Observar el cociente en ambas colas

(2x + 1)/(x² + 3)

Función Escala: k = 1

f(−10ᵏ)−0,184466

f(10ᵏ)0,203883

Modelo dominante2/x

Conclusión0 en ambas colas

El denominador tiene mayor grado y domina al numerador.

El eje horizontal representa potencias de diez. La línea violeta usa entradas negativas y la naranja entradas positivas; para crecimientos sin cota se aplica una escala logarítmica con signo.

Preguntas para explorar

¿En qué casos las dos colas se aproximan al mismo número?
¿Cómo cambia el signo cuando la diferencia de grados es impar?
¿Qué ocurre con una diferencia de grados par y coeficiente positivo?
¿Por qué el factor cancelable no modifica el límite al infinito?

13 · Implementación

Clasificar a partir de los términos principales

Podemos representar el resultado simbólico sin evaluar números enormes:

function clasificarRacional(gradoP, coefP, gradoQ, coefQ) {
  const diferencia = gradoP - gradoQ;
  const coeficiente = coefP / coefQ;

  if (diferencia < 0) {
    return { tipo: "finito", limite: 0 };
  }
  if (diferencia === 0) {
    return { tipo: "finito", limite: coeficiente };
  }
  return {
    tipo: "crecimiento",
    modelo: `${coeficiente} * x^${diferencia}`
  };
}

console.log(clasificarRacional(3, -6, 3, 3));

Evaluar un polinomio con el método de Horner

function horner(coeficientes, x) {
  return coeficientes.reduce(
    (acumulado, coeficiente) => acumulado * x + coeficiente,
    0
  );
}

// 3x² - x + 2
console.log(horner([3, -1, 2], 10)); // 292

Comparar evaluación directa y normalizada

const directa = x => (3 * x ** 2 - x + 2) / (x ** 2 + 4);
const normalizada = x =>
  (3 - 1 / x + 2 / x ** 2) / (1 + 4 / x ** 2);

for (const x of [10, 1e4, 1e8]) {
  console.log({ x, directa: directa(x), normalizada: normalizada(x) });
}

El método de Horner reduce operaciones para valores ordinarios; la normalización es especialmente útil cuando interesa el comportamiento al infinito.

14 · Comprensión

Confusiones frecuentes

«Solo comparo los coeficientes principales»

El cociente de coeficientes es el límite únicamente cuando los grados son iguales. Primero hay que comparar los grados.

«Si el numerador tiene mayor grado, el límite es +∞»

Puede ser −∞ y las dos colas pueden diferir. Hay que analizar el coeficiente y la paridad de m − n.

«Los términos menores son exactamente cero»

No lo son para entradas finitas. Sus cocientes con la potencia dominante tienden a cero durante el proceso.

«Un cero del denominador decide el límite al infinito»

Un cero finito afecta el dominio cerca de ese punto, pero no determina el comportamiento de las colas.

«Si JavaScript devuelve Infinity/Infinity, el límite no existe»

Probablemente ocurrió un desbordamiento intermedio. La expresión puede tener un límite finito y debe normalizarse antes de evaluarla.

«Los límites hacia +∞ y −∞ siempre coinciden»

Coinciden en los casos de límite finito tratados aquí, pero un crecimiento con potencia impar cambia de signo entre las colas.

15 · Práctica guiada

Ejercicios de comprensión

Ejercicio 1: denominador dominante

Calculá los límites de (5x − 2)/(x³ + 1) cuando x → ±∞.

Ver solución

Los grados son 1 y 3. El denominador domina y ambos límites valen 0.

Ejercicio 2: grados iguales

Calculá lim_{x → ±∞} (8x⁴ − x)/(−2x⁴ + 7).

Ver solución

Los grados coinciden. El cociente de coeficientes principales es 8/(−2) = −4, válido en ambas colas.

Ejercicio 3: diferencia impar

Analizá (3x⁴ + 1)/(x³ − 2) hacia +∞ y −∞.

Ver solución

Se comporta como 3x. El límite derecho es +∞ y el izquierdo −∞.

Ejercicio 4: diferencia par y signo negativo

Analizá (−2x⁵ + x)/(x³ + 4).

Ver solución

El modelo dominante es −2x². Como la potencia es par y el coeficiente negativo, ambas colas tienden a −∞.

Ejercicio 5: división

Reescribí (x² + 3x + 5)/(x + 1) como polinomio más residuo y describí su comportamiento.

Ver solución

La división produce x + 2 + 3/(x + 1). El residuo tiende a cero, de modo que la función se comporta como x + 2.

Ejercicio 6: pensar como programador

¿Por qué esta evaluación puede fallar aunque el límite sea 3? Proponé una mejora.

const x = 1e200;
const valor = (3 * x ** 2 + 1) / (x ** 2 + 4);

console.log(valor);

Ver solución

x² desborda y el cociente se convierte en Infinity/Infinity, cuyo resultado es NaN. Conviene dividir previamente por x² y evaluar (3 + 1/x²)/(1 + 4/x²).

16 · Síntesis

Ideas para recordar

Una función racional es un cociente de polinomios con denominador no nulo.
Los términos principales determinan el comportamiento en las colas.
Si grado(P) < grado(Q), el límite es cero.
Si los grados coinciden, el límite es el cociente de coeficientes principales.
Si grado(P) > grado(Q), queda un crecimiento cuya dirección depende del signo y la paridad.
La división polinómica separa una tendencia principal de un residuo que desaparece.
Las exclusiones en puntos finitos no modifican por sí solas el comportamiento al infinito.
La forma normalizada evita desbordamientos y refleja directamente el análisis matemático.

En el próximo tema interpretaremos estos resultados mediante asíntotas horizontales y oblicuas.