19. Otras formas indeterminadas | Límites y Continuidad para Programadores

01 · Significado

Indeterminada no significa imposible

Una forma indeterminada aparece cuando sustituir informalmente los comportamientos de las partes no alcanza para decidir el comportamiento del conjunto.

\infty/\infty, \infty-\infty, 0\cdot\infty, 1 \infty, 0 0, \infty 0

El símbolo describe la información disponible, no el resultado. Por ejemplo, dos cocientes con forma ∞/∞ pueden tender a valores diferentes:

x/x \to 1, x/x² \to 0, x²/x \to +\infty

02 · Diagnóstico

Cada forma sugiere una estrategia

Transformaciones habituales sin utilizar derivadas.
Forma	Pregunta	Estrategias
`∞/∞`	¿Qué parte crece más rápido?	Normalizar, factorizar o comparar términos dominantes.
`∞−∞`	¿Qué queda después de la cancelación?	Unificar fracciones o racionalizar.
`0·∞`	¿Gana el factor pequeño o el grande?	Reescribir el producto como cociente.
`1^∞`	¿Cómo se acumulan cambios pequeños?	Aplicar logaritmos y el límite exponencial fundamental.
`0⁰`, `∞⁰`	¿Qué ocurre con exponente·logaritmo?	Estudiar `g(x)·ln(f(x))`.

Antes de transformar, siempre comprobamos la dirección del límite, el dominio y los signos de las expresiones.

03 · Forma ∞/∞

Normalizar por la escala dominante

Consideremos:

lim x \to +\infty (3x² + x)/(x² + 1)

Numerador y denominador crecen sin cota, pero escribir ∞/∞ no resuelve el límite. Dividimos todo por x²:

(3 + 1/x)/(1 + 1/x²) \to 3

La normalización revela la relación entre las velocidades de crecimiento. Si las potencias dominantes fueran diferentes, el resultado podría ser cero o crecer sin cota.

Este procedimiento resume el análisis de funciones racionales del tema 17 y también mejora la estabilidad numérica.

04 · Forma ∞−∞

Hacer visible lo que no se cancela

La diferencia:

lim x \to +\infty [\sqrt(x² + x) - x]

presenta dos términos que crecen sin cota. Racionalizamos con el conjugado:

\sqrt(x² + x) - x = x/[\sqrt(x² + x) + x]

Para x > 0, dividimos arriba y abajo por x:

1/[\sqrt(1 + 1/x) + 1] \to 1/2

La cancelación entre dos cantidades enormes deja un resultado finito. Evaluar la resta original con números muy grandes puede perder precisión.

05 · Forma 0·∞

Convertir el producto en un cociente

En:

lim x \to 0⁺ x\cdot(1/x + 2)

el primer factor tiende a cero y el segundo a +∞. Podemos distribuir y simplificar:

x\cdot(1/x + 2) = 1 + 2x \to 1

En otros casos resulta útil escribir:

f(x)\cdotg(x) = f(x)/(1/g(x)) o g(x)/(1/f(x))

Así obtenemos una forma de cociente que puede analizarse mediante álgebra y límites conocidos.

06 · Potencias variables

El logaritmo baja el exponente

Para estudiar:

y = f(x) g(x)

suponemos f(x) > 0 cerca del punto y aplicamos logaritmo:

ln(y) = g(x)\cdotln(f(x))

Si el producto de la derecha tiene límite A, entonces:

y \to e A

Este método convierte una potencia difícil en un producto. Luego tratamos ese producto con las técnicas algebraicas apropiadas.

La condición de base positiva es esencial para trabajar con el logaritmo real.

07 · Forma 1^∞

Pequeñas variaciones acumuladas

El ejemplo fundamental es:

lim x \to +\infty (1 + 1/x) x = e

La base se aproxima a 1, mientras el exponente crece. Tomando logaritmo:

ln(y) = x\cdotln(1 + 1/x) \to 1

Por continuidad de la exponencial, y → e¹ = e.

Una generalización útil es:

lim x \to +\infty (1 + a/x) x = e a

para valores suficientemente grandes de x, donde la base es positiva.

08 · Forma 0⁰

Una base pequeña y un exponente pequeño

Consideremos el límite por la derecha:

lim x \to 0⁺ x x

La base tiende a cero y el exponente también. Si y = xˣ:

ln(y) = x\cdotln(x)

Reescribimos el producto:

x\cdotln(x) = ln(x)/(1/x) \to 0

Equivalentemente, con t = 1/x, obtenemos −ln(t)/t; el logaritmo crece más lentamente que la función lineal cuando t → +∞.

Por tanto:

xˣ \to e⁰ = 1

Esto no significa que toda forma 0⁰ tienda a uno; otras relaciones entre base y exponente pueden producir resultados diferentes.

09 · Forma ∞⁰

El crecimiento compite con un exponente que desaparece

Para:

lim x \to +\infty x 1/x

la base crece sin cota y el exponente tiende a cero. Aplicamos logaritmo:

ln(y) = ln(x)/x \to 0

Entonces:

x 1/x \to e⁰ = 1

Otra vez, el símbolo ∞⁰ no decide el resultado: debemos analizar el producto entre el exponente y el logaritmo de la base.

10 · Método general

Un flujo de resolución sin derivadas

1
Comprobar el dominio.
Determinar desde qué lado puede aproximarse la variable y qué signos tienen las partes.
2
Identificar la forma.
Sustituir solo para diagnosticar, no para concluir.
3
Elegir una transformación.
Normalizar, factorizar, racionalizar, unificar, convertir producto en cociente o aplicar logaritmo.
4
Resolver la nueva forma.
Usar límites conocidos y propiedades válidas.
5
Volver a la expresión original.
Si se aplicó logaritmo, exponenciar el límite obtenido.
6
Verificar numéricamente.
Comparar varias escalas sin confundir evidencia con demostración.

11 · Computación numérica

La forma transformada suele ser más estable

Las formas indeterminadas también anuncian riesgos de punto flotante:

∞/∞ puede surgir por desbordar numerador y denominador antes de dividir;
∞−∞ puede cancelar cifras significativas;
una potencia cercana a 1^∞ puede perder la pequeña diferencia de la base;
un valor numérico aislado puede ocultar una convergencia muy lenta.

En JavaScript, Math.log1p(u) calcula ln(1 + u) con mayor precisión cuando u es pequeño. Por eso:

(1 + 1/x)ˣ = exp[x\cdotlog1p(1/x)]

es preferible para explorar entradas grandes.

12 · Exploración interactiva

Laboratorio: transformar la forma

Elegí un modelo y aumentá la precisión. El laboratorio muestra la forma inicial, la expresión estable y cómo los valores se aproximan al límite.

EXPERIMENTO 19

De la forma al límite

(3x² + x)/(x² + 1), x → +∞

Forma Nivel: k = 1

Entradax = 10

Forma detectada∞/∞

Valor estable3,069307

Límite3

Forma estable: (3 + 1/x)/(1 + 1/x²).

La línea punteada representa el límite y los puntos muestran el valor transformado para ocho niveles sucesivos.

Preguntas para explorar

¿Qué modelos se aproximan al límite desde arriba?
¿Cuál usa entradas que tienden a cero en vez de crecer sin cota?
¿Por qué las tres potencias se calculan mediante exponencial y logaritmo?
¿Qué forma converge más lentamente durante los primeros niveles?

13 · Implementación

Normalizar antes de evaluar

const cocienteDirecto = x =>
  (3 * x ** 2 + x) / (x ** 2 + 1);

const cocienteNormalizado = x =>
  (3 + 1 / x) / (1 + 1 / x ** 2);

for (const x of [10, 1e4, 1e8]) {
  console.log({ x, valor: cocienteNormalizado(x) });
}

Racionalizar una diferencia

const diferenciaDirecta = x => Math.sqrt(x * x + x) - x;
const diferenciaEstable = x =>
  1 / (Math.sqrt(1 + 1 / x) + 1);

for (const x of [10, 1e6, 1e12]) {
  console.log({
    x,
    directa: diferenciaDirecta(x),
    estable: diferenciaEstable(x)
  });
}

Evaluar una potencia mediante logaritmos

function potenciaUnoInfinito(x) {
  const logaritmo = x * Math.log1p(1 / x);
  return Math.exp(logaritmo);
}

for (const x of [10, 1e3, 1e6]) {
  console.log({ x, aproximacion: potenciaUnoInfinito(x) });
}

Las tres implementaciones siguen la misma idea: reformular la expresión antes de pedirle al sistema numérico que la evalúe.

14 · Comprensión

Confusiones frecuentes

«Indeterminada significa que el límite no existe»

Solo significa que la forma inicial no decide. Después de transformar, el límite puede ser finito, infinito o no existir.

«∞/∞ vale 1»

Depende de las velocidades de crecimiento. Puede dar cero, una constante, crecer sin cota u oscilar.

«∞−∞ vale 0»

La diferencia residual depende de cuánto se parecen las dos expresiones. Puede tener resultados muy distintos.

«0·∞ vale 0»

El factor creciente puede compensar o superar al que tiende a cero.

«Toda potencia con exponente que tiende a cero vale 1»

Cuando la base también varía hacia cero o infinito, el producto g(x)ln(f(x)) puede tener distintos límites.

«Si JavaScript devuelve NaN, el límite no existe»

NaN puede provenir de operaciones intermedias inestables. La expresión transformada puede tener un límite perfectamente definido.

15 · Práctica guiada

Ejercicios de comprensión

Ejercicio 1: cociente de infinitos

Calculá lim_{x → +∞} (5x³ − x)/(2x³ + 4).

Ver solución

Dividiendo por x³ queda (5 − 1/x²)/(2 + 4/x³), cuyo límite es 5/2.

Ejercicio 2: diferencia de infinitos

Calculá lim_{x → +∞} [√(x² + 6x) − x].

Ver solución

Racionalizando queda 6x/[√(x² + 6x) + x]. Al dividir por x, el límite es 6/(1 + 1) = 3.

Ejercicio 3: producto indeterminado

Calculá lim_{x → 0⁺} x·(4/x − 3).

Ver solución

Distribuyendo obtenemos 4 − 3x, que tiende a 4.

Ejercicio 4: uno elevado a infinito

Calculá lim_{x → +∞} (1 + 3/x)^x.

Ver solución

Usando el límite exponencial fundamental con a = 3, el resultado es e³.

Ejercicio 5: infinito elevado a cero

Calculá lim_{x → +∞} (x²)^1/x.

Ver solución

El logaritmo es ln(y) = 2ln(x)/x → 0. Por tanto, el límite original es e⁰ = 1.

Ejercicio 6: pensar como programador

Explicá por qué el cálculo directo puede devolver NaN y escribí una forma estable.

const x = 1e200;
const valor = (3 * x ** 2 + x) / (x ** 2 + 1);

console.log(valor);

Ver solución

Las potencias desbordan antes de dividir y aparece Infinity/Infinity. Podemos evaluar (3 + 1/x)/(1 + 1/x²), que se aproxima de forma estable a 3.

16 · Síntesis

Ideas para recordar

Una forma indeterminada es un diagnóstico, no un resultado.
∞/∞ requiere comparar velocidades mediante normalización o términos dominantes.
∞−∞ suele resolverse unificando expresiones o racionalizando.
0·∞ puede convertirse en un cociente o simplificarse algebraicamente.
Las potencias variables se estudian con ln(y) = g(x)ln(f(x)).
La base debe ser positiva para aplicar el método logarítmico en los números reales.
Después de transformar, todavía debemos calcular y justificar el nuevo límite.
Las formas estables también mejoran la confiabilidad del cálculo con JavaScript.

En el próximo tema comenzaremos el estudio de la continuidad en un punto, reuniendo límite y valor de la función.