Continuidad en un punto

01 · Idea intuitiva

La tendencia llega al valor correcto

Decimos que una función es continua en x = a cuando las salidas cercanas a a se aproximan al mismo valor que la función toma en a.

Para f(x) = x² + 1 en a = 2:

El valor puntual y el comportamiento vecino encajan. No aparece un hueco, un salto ni una salida inesperada en ese punto.

02 · Definición

Las tres condiciones deben cumplirse

Una función f es continua en a si y solo si:

1. 1
   Existe f(a).

   El punto pertenece al dominio y tiene una salida definida.

2. 2
   Existe limx → a f(x).

   Los límites laterales existen y coinciden.

3. 3
   El límite coincide con el valor.

   limx → a f(x) = f(a).

Si falla una sola condición, la función no es continua en ese punto.

03 · Dos fuentes de información

El valor puntual no determina el límite

El límite ignora lo que ocurre exactamente en a; observa valores arbitrariamente próximos. Por eso podemos tener:

aunque la expresión original no esté definida en x = 1.

También podríamos definir artificialmente f(1) = 7. El límite seguiría siendo 2, porque cambiar un único punto no altera la tendencia de sus vecinos. En ese caso existirían el valor y el límite, pero no coincidirían.

04 · Acercamiento bilateral

Los dos lados deben llegar al mismo valor

Para que exista el límite bilateral utilizado en la definición, necesitamos:

Consideremos una función cuyo valor es −1 para x < 0 y 1 para x ≥ 0. En a = 0:

Aunque f(0) = 1 exista, el límite bilateral no existe. Por tanto, la función no es continua en 0.

Más adelante clasificaremos con detalle las distintas formas en que puede fallar la continuidad.

05 · Sustitución directa

Cuando evaluar también calcula el límite

Los polinomios son continuos en todos los números reales. Para verificar p(x) = 2x³ − 5x + 4 en a = −1:

La sustitución directa funciona porque sumar, restar y multiplicar funciones continuas conserva el comportamiento esperado en el punto.

También son continuas en sus dominios las funciones exponenciales, logarítmicas, trigonométricas usuales y las raíces donde están definidas. Las condiciones de dominio siguen siendo obligatorias.

06 · Funciones racionales

Continuidad donde el denominador no se anula

Una función racional P(x)/Q(x) es continua en todo punto donde Q(a) ≠ 0.

Para:

el denominador es siempre positivo, por lo que la función es continua en cada número real. En a = 3:

En cambio, para 1/(x − 2) no existe f(2), de modo que no puede ser continua en 2.

07 · Extensión continua

Un hueco puede repararse con el valor correcto

Definamos inicialmente:

Como g(x) = x + 1 para x ≠ 1, sabemos que:

Podemos completar la función con:

Ahora existen el valor y el límite, y coinciden. Esta asignación crea una extensión continua en el punto faltante.

Elegir cualquier otro valor, como g(1) = 5, no repararía la continuidad.

08 · Lenguaje de distancias

Entradas próximas producen salidas próximas

La igualdad limx → a f(x) = f(a) puede leerse en términos de tolerancias:

Si exigimos que la salida esté dentro de una tolerancia alrededor de f(a), podemos restringir suficientemente la distancia entre x y a para garantizarlo.

Para f(x) = 2x + 3 en a = 4:

Si queremos un error de salida menor que 0,01, alcanza con exigir |x − 4| < 0,005.

Esta lectura convierte la continuidad en una garantía local sobre la sensibilidad de la salida.

09 · Interpretación computacional

Continuidad no significa igualdad de salidas

En programación, dos entradas próximas normalmente producen salidas diferentes. La continuidad afirma que la diferencia puede controlarse, no que las salidas deban ser idénticas.

Tampoco debemos comprobar continuidad con una igualdad exacta entre números de punto flotante:

Las aproximaciones numéricas contienen redondeos. Es preferible observar si los errores disminuyen al reducir h y comparar con una tolerancia explícita.

Además, una cantidad finita de muestras no demuestra continuidad: puede omitir un comportamiento problemático entre dos entradas evaluadas.

10 · Diagnóstico

Un algoritmo conceptual en cinco pasos

1. 1
   Comprobar el dominio.

   Determinar si a es una entrada válida y calcular f(a).

2. 2
   Calcular el límite izquierdo.

   Estudiar f(x) cuando x → a⁻.

3. 3
   Calcular el límite derecho.

   Estudiar f(x) cuando x → a⁺.

4. 4
   Decidir si existe el límite.

   Los dos resultados laterales deben coincidir.

5. 5
   Comparar con el valor.

   La función es continua si el límite común es igual a f(a).

Este procedimiento identifica exactamente qué condición falla, en lugar de responder solamente «no es continua».

11 · Evidencia con muestras

Acercarse desde ambos lados

Una exploración numérica utiliza entradas a − h y a + h con valores de h cada vez menores:

Registramos tres errores:

• |f(a − h) − L| para el lado izquierdo;
• |f(a + h) − L| para el lado derecho;
• |f(a) − L| para el valor puntual.

Los dos primeros deben tender a cero y el tercero debe ser exactamente cero desde el punto de vista matemático.

12 · Exploración interactiva

Laboratorio: probar las tres condiciones

Elegí un caso y reducí h. El laboratorio muestra los valores laterales, el valor puntual y el diagnóstico de continuidad.

La línea vertical punteada marca x = a. Un círculo vacío representa el valor sugerido por la tendencia y un punto lleno representa el valor asignado.

Preguntas para explorar

1. ¿Qué cambia entre el hueco, el hueco reparado y el valor incorrecto?
2. ¿Por qué modificar f(a) no cambia los valores laterales?
3. ¿Qué caso es continuo aunque su gráfico forme una punta?
4. ¿En cuál falla la existencia del límite bilateral?

13 · Implementación

Construir una tabla lateral

function explorarPunto(funcion, a, niveles = 5) {
  const muestras = [];
  for (let n = 1; n <= niveles; n++) {
    const h = 10 ** -n;
    muestras.push({
      h,
      izquierda: funcion(a - h),
      derecha: funcion(a + h)
    });
  }
  return muestras;
}

console.log(explorarPunto(x => x ** 2 + 1, 2));

Comparar con una tolerancia

function aproximadamenteIguales(a, b, tolerancia = 1e-9) {
  return Math.abs(a - b) <= tolerancia;
}

console.log(aproximadamenteIguales(0.1 + 0.2, 0.3)); // true

Representar cada condición por separado

function diagnosticarContinuidad({ valorExiste, limiteExiste, valor, limite }) {
  const coinciden = valorExiste && limiteExiste && valor === limite;
  return {
    valorExiste,
    limiteExiste,
    coinciden,
    continua: coinciden
  };
}

console.log(diagnosticarContinuidad({
  valorExiste: true,
  limiteExiste: true,
  valor: 2,
  limite: 2
}));

En un cálculo aproximado, el campo coinciden debería usar una tolerancia; en un resultado simbólico puede compararse la igualdad matemática exacta.

14 · Comprensión

Confusiones frecuentes

15 · Práctica guiada

Ejercicios de comprensión

Ejercicio 1: polinomio

Verificá la continuidad de f(x) = x³ − 2x en a = 2.

Ejercicio 2: función racional

¿Es continua (x + 1)/(x − 3) en a = 2?

Ejercicio 3: punto excluido

Analizá (x² − 4)/(x − 2) en a = 2 sin agregar una definición especial.

Ejercicio 4: elegir el valor

¿Qué valor debe asignarse en x = 2 al ejercicio anterior para obtener continuidad?

Ejercicio 5: laterales

Una función tiene límite izquierdo 3, límite derecho 5 y f(a) = 3. ¿Es continua?

Ejercicio 6: pensar como programador

Indicá dos problemas del siguiente supuesto comprobador de continuidad:

function pareceContinua(funcion, a) {
  return funcion(a - 0.001) === funcion(a + 0.001);
}

console.log(pareceContinua(x => x ** 2, 0));

16 · Síntesis

Ideas para recordar

En el próximo tema extenderemos esta idea para estudiar la continuidad en intervalos.