Existencia de un límite

01 · La pregunta central

Una tendencia debe ser única

Explorar valores cercanos permite proponer un límite, pero todavía debemos decidir si esa propuesta describe realmente el comportamiento completo alrededor del punto. Para que exista un límite finito, las salidas deben poder acercarse a un único número desde todas las direcciones disponibles.

En una función de una variable, esto significa comparar los recorridos por la izquierda y por la derecha. Si ambos conducen al mismo valor L, podemos afirmar:

Si conducen a resultados diferentes, crecen sin cota o no se estabilizan, no existe un límite bilateral finito.

02 · Criterio lateral

La condición necesaria y suficiente

El límite bilateral de f(x) cuando x → a existe y vale L exactamente cuando existen los dos límites laterales y ambos valen L:

El símbolo ⇔ se lee «si y solo si». Expresa dos implicaciones:

• Si existe el límite bilateral, los dos límites laterales deben coincidir con él.
• Si los dos límites laterales existen y coinciden, existe el límite bilateral.

03 · Método de análisis

Un diagnóstico paso a paso

1. 1
   Identificar el punto y el dominio.

   Determinar dónde puede evaluarse la función alrededor de a.

2. 2
   Estudiar la izquierda.

   Observar la tendencia usando entradas menores que a.

3. 3
   Estudiar la derecha.

   Observar la tendencia usando entradas mayores que a.

4. 4
   Clasificar cada comportamiento.

   Decidir si se aproxima a un número, crece sin cota u oscila.

5. 5
   Comparar.

   Si ambos lados tienen la misma tendencia finita, establecer el límite bilateral.

Las tablas y los gráficos ayudan a formular el diagnóstico. Las transformaciones algebraicas, que estudiaremos en temas posteriores, permiten justificar muchos resultados de forma exacta.

04 · Existencia sin valor puntual

Un hueco no impide necesariamente el límite

Consideremos nuevamente:

La expresión no está definida en x = 1, pero para x ≠ 1 se comporta como x + 1. Desde ambos lados, las salidas se aproximan a 2:

El límite existe aunque f(1) no exista. También seguiría siendo 2 si definiéramos f(1) con cualquier otro valor, porque un punto aislado no altera la tendencia de sus vecinos.

05 · Primera causa de no existencia

Los límites laterales son diferentes

En una función con salto, cada lado puede tener una tendencia perfectamente definida, pero los valores no coinciden. Por ejemplo:

No hay un número único al que se acerquen todas las salidas próximas a 0. Por eso lim(x → 0) g(x) no existe.

Asignar g(0) = 1, 3 o cualquier otro valor no puede unir las dos tendencias. El problema no está en el punto, sino en el comportamiento de intervalos completos a sus lados.

06 · Segunda causa de no existencia finita

Las salidas crecen sin cota

Para f(x) = 1/x², las salidas son positivas y aumentan al acercarse x a 0 desde cualquiera de los lados:

No existe un límite real finito. Es habitual resumir el comportamiento escribiendo que el límite es +∞, pero esto no convierte al infinito en un número alcanzado por la función. Los límites infinitos se desarrollarán con precisión más adelante.

07 · Tercera causa de no existencia

La función oscila sin estabilizarse

La función f(x) = sen(1/x) cambia cada vez más rápido cuando x se acerca a 0. Sus salidas permanecen entre −1 y 1, pero no se concentran alrededor de un único valor.

Podemos encontrar entradas arbitrariamente cercanas a cero para las que la salida vale 1, otras para las que vale −1 y muchas con valores intermedios. El problema no es que la función se haga grande; es que mantiene comportamientos incompatibles dentro de cualquier entorno del punto.

08 · Direcciones disponibles

El dominio también participa del diagnóstico

Para un límite bilateral elemental necesitamos valores del dominio a ambos lados del punto. En f(x) = √x cerca de 0, no hay entradas reales negativas. Podemos estudiar el límite derecho, pero no construir un límite bilateral usando dos direcciones reales.

En aplicaciones, el dominio puede estar restringido por el modelo aunque la fórmula admita más valores: tiempo no negativo, porcentajes entre 0 y 100, o índices enteros. Antes de decidir si un límite existe, debemos declarar qué entradas son válidas.

Esta situación es diferente de un hueco. En un hueco hay valores válidos arbitrariamente cercanos desde ambos lados; solo falta el punto. En un extremo del dominio falta una dirección completa.

09 · Exploración interactiva

Laboratorio: diagnosticar la existencia

Seleccioná un modelo y acercá la ventana al punto. Compará el gráfico, las últimas muestras laterales y la clasificación explicada.

La línea vertical punteada marca el punto estudiado. Las muestras violeta y coral representan los acercamientos izquierdo y derecho.

Preguntas para explorar

1. En el modelo con hueco, ¿qué sucede con la diferencia entre las dos muestras?
2. En el salto, ¿reducir h hace que los dos lados coincidan?
3. ¿En qué se diferencia el gráfico sin cota del gráfico oscilatorio?
4. En el extremo del dominio, ¿qué información falta para un límite bilateral?

10 · Implementación

Reunir evidencia numérica con JavaScript

El siguiente procedimiento conserva muestras de ambos lados y la diferencia entre ellas:

function explorarExistencia(funcion, a, niveles = 6) {
  const muestras = [];

  for (let n = 1; n <= niveles; n++) {
    const h = 10 ** -n;
    const izquierda = funcion(a - h);
    const derecha = funcion(a + h);

    muestras.push({
      h,
      izquierda,
      derecha,
      diferencia: Math.abs(izquierda - derecha)
    });
  }
  return muestras;
}

const f = x => (x ** 2 - 1) / (x - 1);
console.log(explorarExistencia(f, 1));

Un clasificador experimental y sus límites

Podemos detectar algunas señales básicas, pero ningún conjunto finito de muestras demuestra por sí solo la existencia:

function diagnosticoExperimental(funcion, a, h = 1e-6) {
  const izquierda = funcion(a - h);
  const derecha = funcion(a + h);

  if (!Number.isFinite(izquierda) || !Number.isFinite(derecha)) {
    return "Aparecieron valores no finitos";
  }

  const diferencia = Math.abs(izquierda - derecha);
  if (diferencia > 0.01) {
    return "Los lados no parecen coincidir";
  }

  return `Posible límite cercano a ${(izquierda + derecha) / 2}`;
}

const salto = x => x < 0 ? -1 : 1;
console.log(diagnosticoExperimental(salto, 0));

Este código puede equivocarse ante oscilaciones que casualmente producen valores parecidos en las muestras elegidas, picos estrechos o errores de punto flotante. Debe utilizarse como herramienta de exploración.

11 · Comprensión

Confusiones frecuentes

12 · Práctica guiada

Ejercicios de comprensión

Ejercicio 1: aplicar el criterio lateral

Se sabe que lim(x → 4⁻) f(x) = 7 y lim(x → 4⁺) f(x) = 7. ¿Existe el límite bilateral? ¿Importa conocer f(4)?

Ejercicio 2: diagnosticar un salto

Si el límite izquierdo vale −2 y el derecho vale 5, explicá por qué ningún valor asignado a f(a) puede crear un límite bilateral.

Ejercicio 3: clasificar comportamientos

Indicá la causa de no existencia finita en cada caso:

1. Las salidas izquierdas se acercan a 2 y las derechas a 8.
2. Las salidas alternan entre valores próximos a −1 y 1.
3. Las salidas superan 10, 1000 y 100000 al acercarse.

Ejercicio 4: elegir un parámetro

Sea g(x) = x + k si x < 2 y g(x) = 3x − 1 si x ≥ 2. Hallá k para que exista el límite en x = 2.

Ejercicio 5: comprobar con código

Construí muestras laterales para la función del ejercicio anterior usando k = 3.

const k = 3;
const g = x => x < 2 ? x + k : 3 * x - 1;

for (const h of [0.1, 0.01, 0.001]) {
  console.log({
    h,
    izquierda: g(2 - h),
    derecha: g(2 + h)
  });
}

13 · Síntesis

Ideas para recordar

En el próximo tema estudiaremos las propiedades de los límites, que permiten combinar límites conocidos mediante operaciones algebraicas.