Propiedades de los límites

01 · Reutilizar información

De límites simples a expresiones complejas

Supongamos que conocemos el comportamiento de dos funciones cerca del mismo punto:

Las propiedades de los límites permiten deducir qué sucede al sumar, restar, multiplicar o dividir esas funciones. En lugar de comenzar cada problema desde cero, reutilizamos los límites L y M.

La idea es natural: si f(x) está cerca de L y g(x) está cerca de M, entonces f(x) + g(x) debería estar cerca de L + M. Las leyes convierten esta intuición en reglas matemáticas.

02 · Antes de aplicar una regla

Las hipótesis forman parte de la propiedad

Las reglas algebraicas habituales suponen que los límites involucrados existen como números reales finitos. Algunas operaciones agregan condiciones particulares, como evitar una división por cero o exigir que una raíz esté definida.

1. 1
   Separar la expresión.

   Identificar funciones y operaciones que la componen.

2. 2
   Comprobar los límites básicos.

   Verificar que cada tendencia necesaria existe.

3. 3
   Revisar restricciones.

   Controlar denominadores, raíces y dominios.

4. 4
   Aplicar la propiedad.

   Combinar los valores límite con la misma operación.

5. 5
   Interpretar el resultado.

   Confirmar que sea coherente con tablas, gráficos y dominio.

03 · Bloques elementales

Constantes, identidad y múltiplos

Las dos propiedades más simples sirven como puntos de partida:

Una función constante mantiene siempre el mismo valor. La función identidad devuelve la entrada, por lo que sus salidas se acercan a a cuando x se acerca a a.

Si multiplicamos una función por una constante c, el límite también queda multiplicado:

Por ejemplo, si lim f(x) = 4, entonces lim [3f(x)] = 12 y lim [−f(x)] = −4.

04 · Operaciones aditivas

Suma y resta de límites

Si f(x) se acerca a L y g(x) se acerca a M, entonces:

Supongamos que cerca de x = 2, f(x) → 3 y g(x) → 4. Podemos deducir:

• f(x) + g(x) → 3 + 4 = 7.
• f(x) − g(x) → 3 − 4 = −1.
• 2f(x) − 3g(x) → 2 · 3 − 3 · 4 = −6.

Combinando múltiplos, sumas y restas obtenemos la propiedad de una combinación lineal:

05 · Operaciones multiplicativas

Producto y cociente

La tendencia de un producto es el producto de las tendencias:

Para un cociente, podemos dividir los límites únicamente cuando el límite del denominador no es cero:

Con L = 3 y M = 4, el producto tiende a 12 y el cociente a 3/4.

Si M = 0, la ley del cociente no puede aplicarse. Esto no determina automáticamente el resultado: la expresión podría tener un límite después de una transformación, crecer sin cota o no tener límite. Es necesario continuar el análisis.

06 · Funciones elementales

Potencias, raíces y valor absoluto

Para un exponente entero positivo n:

Esta regla puede verse como un producto repetido. Para raíces:

Si el índice n es par, necesitamos que la expresión esté definida en los valores cercanos considerados y que L ≥ 0. Para índices impares no aparece esa restricción de signo en los números reales.

El valor absoluto también conserva los límites finitos:

07 · Una función dentro de otra

Propiedad de composición

Una composición tiene la forma g(f(x)). Primero evaluamos la función interior f y luego usamos su salida como entrada de g.

Si f(x) → L cuando x → a y g(u) → M cuando u → L, entonces, bajo las condiciones apropiadas:

Un caso especialmente práctico ocurre cuando g es continua en L. Entonces podemos trasladar el límite al interior:

Por ejemplo, si f(x) → 3 y g(u) = u² + 1, entonces g(f(x)) → 3² + 1 = 10.

08 · Cuando una regla se detiene

Una expresión indefinida no es el resultado del límite

Al combinar límites podemos encontrar formas como 0/0. Esto no significa que el límite sea cero, infinito o inexistente. Significa que la propiedad del cociente no alcanza para decidir.

Dos expresiones con forma 0/0 pueden tener resultados completamente distintos. Las técnicas de factorización, racionalización y denominador común se desarrollarán en temas posteriores.

09 · Aplicación encadenada

Combinar varias propiedades

Supongamos que:

Queremos calcular el límite de:

1. 1
   Numerador interior.

   2f(x) − g(x) → 2 · 2 − 3 = 1.

2. 2
   Potencia.

   [2f(x) − g(x)]² → 1² = 1.

3. 3
   Denominador.

   f(x) + g(x) → 2 + 3 = 5.

4. 4
   Cociente.

   Como 5 ≠ 0, el límite es 1/5.

Escribir los pasos permite ver qué propiedad se utiliza y dónde se verifica la condición del denominador.

10 · Exploración interactiva

Laboratorio: combinar límites conocidos

Usaremos f(x) = x + 1 y g(x) = x² cerca de x = 2. Sus límites son 3 y 4. Elegí una operación y reducí la distancia.

La curva representa la operación seleccionada. Los puntos violeta y coral corresponden a entradas ubicadas a la misma distancia de 2.

Preguntas para explorar

1. ¿Qué valor predice cada propiedad antes de reducir h?
2. En la resta, ¿por qué las muestras se aproximan a un número negativo?
3. En el cociente, verificá que el límite del denominador sea distinto de cero.
4. En la composición, identificá qué función se aplica primero.

11 · Implementación

Combinar funciones en JavaScript

Las funciones de orden superior permiten representar las mismas operaciones sin mezclar la lógica de cada modelo:

const sumar = (f, g) => x => f(x) + g(x);
const restar = (f, g) => x => f(x) - g(x);
const multiplicar = (f, g) => x => f(x) * g(x);
const multiplicarPor = (c, f) => x => c * f(x);
const componer = (exterior, interior) => x => exterior(interior(x));

const f = x => x + 1;
const g = x => x ** 2;

console.log("Suma en x = 1.999:", sumar(f, g)(1.999));
console.log("Producto en x = 2.001:", multiplicar(f, g)(2.001));
console.log("Composición en x = 2:", componer(f, g)(2));

Validar un cociente

En código debemos controlar el denominador en cada evaluación. Una tolerancia ayuda a detectar valores numéricamente cercanos a cero:

function dividirFunciones(numerador, denominador, tolerancia = 1e-12) {
  return x => {
    const valorDenominador = denominador(x);
    if (Math.abs(valorDenominador) < tolerancia) {
      throw new Error("Denominador nulo o demasiado cercano a cero");
    }
    return numerador(x) / valorDenominador;
  };
}

const f = x => x + 1;
const g = x => x ** 2;
const cociente = dividirFunciones(f, g);

console.log(cociente(2.001));

Esta validación protege la ejecución, pero no sustituye la condición matemática: para usar la ley del cociente necesitamos que el límite del denominador sea distinto de cero.

12 · Comprensión

Confusiones frecuentes

13 · Práctica guiada

Ejercicios de comprensión

En los primeros cuatro ejercicios suponé que lim f(x) = 2 y lim g(x) = −3 cuando x → a.

Ejercicio 1: combinación lineal

Calculá el límite de 4f(x) − 2g(x).

Ejercicio 2: producto y potencia

Calculá los límites de f(x)g(x) y [g(x)]².

Ejercicio 3: cociente

¿Puede aplicarse la ley del cociente a f(x)/g(x)? Calculá el resultado.

Ejercicio 4: revisar una raíz

¿Podemos deducir un límite real para √g(x) usando directamente estas propiedades?

Ejercicio 5: expresión encadenada

Calculá el límite de [f(x) + g(x)]² / [f(x) − g(x)] e indicá por qué el cociente está permitido.

Ejercicio 6: implementar una combinación

Construí en JavaScript la función h(x) = 2f(x) + g(x) para f(x) = x + 1 y g(x) = x², y evaluála cerca de x = 2.

const f = x => x + 1;
const g = x => x ** 2;
const h = x => 2 * f(x) + g(x);

for (const x of [1.9, 1.99, 2.01, 2.1]) {
  console.log(`h(${x}) = ${h(x)}`);
}

console.log("Límite esperado:", 2 * 3 + 4);

14 · Síntesis

Ideas para recordar

En el próximo tema aplicaremos estas propiedades al cálculo de límites por sustitución directa.