Límites por sustitución directa

01 · La primera estrategia

Probar el punto antes de transformar

Cuando queremos calcular lim(x → a) f(x), la primera acción razonable es reemplazar x por a en la expresión. Si obtenemos un número real bien definido y la función conserva su comportamiento alrededor del punto, ese número es el límite.

En este ejemplo no aparece ninguna división inválida, raíz fuera del dominio ni cambio de fórmula. La sustitución produce 7 y las salidas cercanas también se aproximan a 7.

02 · Por qué funciona

Funciones que no rompen la tendencia

Muchas funciones elementales son continuas en los puntos de su dominio. Intuitivamente, esto significa que entradas cercanas producen salidas cercanas y que el comportamiento alrededor del punto coincide con el valor puntual:

Los polinomios tienen esta propiedad en todos los números reales. Las funciones racionales la tienen donde su denominador no es cero. Las raíces, logaritmos y otras funciones elementales permiten sustitución en los puntos interiores de sus respectivos dominios.

Más adelante estudiaremos la continuidad de manera formal. Por ahora utilizaremos este principio operativo:

03 · Método de trabajo

Sustitución directa paso a paso

1. 1
   Identificar el punto.

   Leer con cuidado el valor a en x → a.

2. 2
   Reemplazar todas las apariciones.

   Sustituir cada x por a, usando paréntesis si el valor es negativo.

3. 3
   Respetar el orden de operaciones.

   Calcular potencias y raíces antes de productos, cocientes, sumas y restas.

4. 4
   Revisar la validez.

   Comprobar denominadores, radicandos y demás restricciones del dominio.

5. 5
   Interpretar el resultado.

   Si es un número real válido, escribir el límite; si no, clasificar la dificultad.

04 · Caso fundamental

Límites de polinomios

Los polinomios admiten sustitución directa en cualquier número real porque se construyen mediante constantes, potencias enteras no negativas, sumas y productos.

Calculemos:

Como el punto es negativo, usamos paréntesis al reemplazar:

Por lo tanto, el límite vale −43. Los paréntesis son esenciales: (−2)² = 4, mientras que −2² = −4 según la precedencia habitual.

05 · Cocientes

Funciones racionales con denominador no nulo

Una función racional es un cociente de polinomios. Podemos sustituir directamente si el denominador evaluado en el punto es distinto de cero:

La condición se verifica porque 1 + 3 = 4 ≠ 0. En cambio:

produce 3/0 al sustituir. La división no está definida, por lo que la propiedad del cociente no puede aplicarse. Esto no es todavía una respuesta sobre el límite: debemos analizar el comportamiento lateral, que en este caso es no acotado.

06 · Dominio y signo

Raíces y valor absoluto

Para una raíz impar podemos sustituir cualquier número real. Para una raíz par, el radicando debe permanecer dentro del dominio real.

El valor absoluto también admite sustitución directa:

Si una raíz par recibe un valor negativo al sustituir, debemos revisar el dominio y la dirección disponible. Por ejemplo, √(x − 3) no tiene valores reales alrededor de x = 2, por lo que no existe el límite real allí.

07 · Evaluación desde adentro

Sustitución en funciones compuestas

En una composición resolvemos primero la expresión interior. Para:

1. 1
   Sustituir en el interior.

   x² + 5 → 2² + 5 = 9.

2. 2
   Aplicar la función exterior.

   √9 = 3.

3. 3
   Comprobar el dominio.

   El radicando es positivo cerca de x = 2.

Otro ejemplo:

Los paréntesis hacen visible el alcance de cada operación y reducen errores al trasladar la expresión a código.

08 · Leer el resultado de la sustitución

Cuatro resultados que no deben confundirse

Esta clasificación transforma la sustitución directa en una herramienta de diagnóstico. Incluso cuando no entrega el límite, indica qué tipo de análisis necesitaremos.

09 · Matemática y representación digital

El resultado exacto y el resultado de JavaScript

JavaScript utiliza números de punto flotante. Una sustitución matemáticamente exacta puede mostrarse con una pequeña diferencia de representación:

const f = x => x / 10 + 0.2;
const resultado = f(1);

console.log(resultado);            // 0.30000000000000004
console.log(Math.abs(resultado - 0.3) < 1e-12); // true

La diferencia no invalida el límite matemático. Indica que 0.1 y 0.2 no tienen representación binaria finita. Para mostrar resultados podemos redondear, pero conviene conservar la precisión interna.

También debemos distinguir Infinity y NaN de números reales válidos. Son valores especiales del lenguaje que señalan desbordamiento, división por cero u operaciones indeterminadas; no constituyen automáticamente una respuesta matemática.

10 · Exploración interactiva

Laboratorio: probar, validar e interpretar

Elegí una expresión. El laboratorio realiza la sustitución, clasifica el resultado y compara con evaluaciones cercanas desde ambos lados cuando están disponibles.

Preguntas para explorar

1. ¿Qué ejemplos terminan inmediatamente con un valor real?
2. En la división por cero, ¿qué signos tienen las muestras de cada lado?
3. En el ejemplo fuera del dominio, ¿hay valores reales en alguno de los lados?
4. ¿Por qué una salida especial de JavaScript no debe copiarse como respuesta matemática?

11 · Implementación

Evaluar de forma segura en JavaScript

Una función auxiliar puede distinguir números finitos, infinitos y resultados inválidos:

function sustitucionDirecta(funcion, punto) {
  const valor = funcion(punto);

  if (Number.isNaN(valor)) {
    return { tipo: "invalido", valor, mensaje: "Resultado NaN" };
  }
  if (!Number.isFinite(valor)) {
    return { tipo: "no-finito", valor, mensaje: "Resultado no finito" };
  }
  return { tipo: "real", valor, mensaje: "Valor real válido" };
}

const polinomio = x => x ** 2 - 3 * x + 4;
console.log(sustitucionDirecta(polinomio, 2));

Validar el dominio explícitamente

Math.sqrt devuelve NaN para entradas negativas. Podemos detectar el problema antes de evaluar:

function raizDeDiferencia(x, desplazamiento) {
  const radicando = x - desplazamiento;
  if (radicando < 0) {
    throw new RangeError("El radicando debe ser no negativo");
  }
  return Math.sqrt(radicando);
}

console.log("√(5 − 3) =", raizDeDiferencia(5, 3));

try {
  console.log(raizDeDiferencia(2, 3));
} catch (error) {
  console.log("No se puede evaluar:", error.message);
}

12 · Comprensión

Confusiones frecuentes

13 · Práctica guiada

Ejercicios de comprensión

Ejercicio 1: polinomio

Calculá lim(x → 3) (2x² − 5x + 1).

Ejercicio 2: punto negativo

Calculá lim(x → −2) (x³ + 4x) mostrando los paréntesis.

Ejercicio 3: función racional

Calculá lim(x → 2) (x² + 1)/(3x − 1) y verificá la condición del denominador.

Ejercicio 4: composición

Calculá lim(x → 1) √(x² + 8).

Ejercicio 5: clasificar sin resolver

Sustituí y clasificá el resultado, sin intentar todavía otra técnica:

1. lim(x → 1) (x² − 1)/(x − 1)
2. lim(x → 0) (x + 2)/x
3. lim(x → 1) √(x − 2)

Ejercicio 6: implementar y comprobar

Programá f(x) = (x² + 1)/(3x − 1), evaluála en x = 2 y compará con dos valores cercanos.

const f = x => (x ** 2 + 1) / (3 * x - 1);
const a = 2;
const h = 0.001;

console.log("Sustitución:", f(a));
console.log("Desde la izquierda:", f(a - h));
console.log("Desde la derecha:", f(a + h));

14 · Síntesis

Ideas para recordar

En el próximo tema aprenderemos a resolver la indeterminación 0/0 mediante factorización y simplificación algebraica.