Sucesiones de Cauchy

01 · Punto de partida

¿Cómo detectar convergencia sin conocer el destino?

La definición de límite compara cada término con un número L. Pero en muchos procesos iterativos sabemos generar aproximaciones y observamos que se estabilizan sin conocer todavía el valor exacto al que deberían llegar.

La idea de Cauchy reemplaza la comparación con un destino desconocido por comparaciones internas:

• ¿Los términos posteriores están cada vez más cerca entre sí?
• ¿Podemos encerrar toda la cola en un intervalo arbitrariamente pequeño?
• ¿La estabilidad persiste para cualquier par de índices posteriores?
• ¿El sistema numérico contiene el valor hacia el cual se concentran?
• ¿Una comprobación computacional finita puede certificar la propiedad?

02 · Definición formal

Controlar todos los pares posteriores

Una sucesión (aₙ) es de Cauchy si:

ε

Tolerancia elegida para comparar términos.

N

Inicio de una cola suficientemente concentrada.

m,n≥N

Dos índices cualesquiera dentro de esa cola.

|aₙ−aₘ|

Distancia interna, sin utilizar un límite conocido.

No basta comparar términos consecutivos. La definición exige cercanía entre términos posteriores que pueden estar arbitrariamente separados.

03 · Interpretación geométrica

El diámetro de la cola

Para un índice N, consideremos todos los términos aₙ con n≥N. El diámetro de esa cola es la mayor distancia posible entre dos de sus valores:

La sucesión es de Cauchy exactamente cuando Dₙ→0. En la recta real, esto significa que la cola cabe en intervalos de longitud arbitrariamente pequeña.

04 · Primera implicación

Toda sucesión convergente es de Cauchy

Supongamos aₙ→L. Dado ε>0, existe N tal que para n≥N:

Si m,n≥N, la desigualdad triangular da:

Dividir la tolerancia entre dos permite pagar las dos distancias al límite. Esta prueba no depende de propiedades especiales de los números reales.

05 · Completitud de ℝ

En los reales, Cauchy equivale a convergencia

La propiedad fundamental de completitud establece:

La dirección difícil afirma que una cola cada vez más concentrada no puede «apuntar a un hueco» en los reales. Una idea de demostración sigue estos pasos:

1. 1
   Acotación.

   Toda sucesión de Cauchy está acotada.

2. 2
   Extracción.

   Bolzano–Weierstrass proporciona una subsucesión convergente.

3. 3
   Propagación.

   La condición de Cauchy obliga a toda la cola a acompañar a esa subsucesión.

4. 4
   Conclusión.

   La sucesión completa converge al mismo límite.

06 · Propiedad necesaria

Toda sucesión de Cauchy está acotada

Tomamos ε=1. Existe N tal que si m,n≥N, entonces |aₙ−aₘ|<1. Fijando m=N:

Esto acota la cola. Los términos anteriores son finitos en cantidad, por lo que también poseen una cota conjunta.

La recíproca es falsa: (−1)ⁿ está acotada, pero no es de Cauchy porque términos pares e impares mantienen distancia 2.

07 · Ejemplo fundamental

Demostrar que 1/n es de Cauchy

Si m,n≥N, entonces 0<1/m≤1/N y 0<1/n≤1/N. Una cota directa es:

Para obtener una distancia menor que ε, basta elegir N>2/ε. Esta elección no es óptima, pero es simple y válida.

function umbralCauchyReciproca(epsilon) {
  return Math.floor(2 / epsilon) + 1;
}

for (const epsilon of [0.1, 0.01, 0.001]) {
  const N = umbralCauchyReciproca(epsilon);
  console.log({ epsilon, N, cota: 2 / N, cumple: 2 / N < epsilon });
}

Si usamos que la sucesión es decreciente, podemos mejorar la cota del diámetro, pero la definición solo exige encontrar algún N.

08 · Control geométrico

Sucesiones con errores contractivos

Para aₙ=qⁿ, con |q|<1, y m,n≥N:

Como |q|ᴺ→0, podemos hacer la cota menor que cualquier ε. El mismo patrón aparece en iteraciones contractivas: si los errores o incrementos están dominados por una geométrica, la sucesión suele ser de Cauchy.

function diametroMuestraGeometrica(q, desde, hasta) {
  const valores = Array.from({ length: hasta - desde + 1 }, (_, i) => q ** (desde + i));
  return Math.max(...valores) - Math.min(...valores);
}

console.log([5, 10, 20].map(N => ({ N, diametroVisible: diametroMuestraGeometrica(-0.6, N, 40) })));

09 · Negación

Cómo demostrar que no es de Cauchy

La negación formal es:

Para aₙ=(−1)ⁿ, elegimos ε₀=1. Dado cualquier N, existen un índice par y otro impar mayores que N; sus términos son 1 y −1, con distancia 2.

10 · El espacio importa

Una sucesión racional que apunta a √2

Podemos construir aproximaciones racionales de √2, por ejemplo truncando decimales:

Esta sucesión es de Cauchy. Converge en ℝ a √2, pero no converge dentro de ℚ porque ese límite no es racional. Por eso los racionales no son completos.

Los números reales pueden entenderse, en parte, como la completitud obtenida al llenar estos huecos.

11 · Diagnóstico computacional

Medir diámetros de ventanas finitas

Un programa no puede recorrer una cola infinita. Puede medir el diámetro de una ventana [N,M] y repetirlo para valores crecientes de N.

function diametroVentana(regla, desde, hasta) {
  const valores = [];
  for (let n = desde; n <= hasta; n += 1) {
    const valor = regla(n);
    if (!Number.isFinite(valor)) throw new RangeError(`Valor no finito en n=${n}`);
    valores.push(valor);
  }
  return Math.max(...valores) - Math.min(...valores);
}

const regla = n => 1 / n;
console.log([10, 100, 1000].map(N => ({ N, diametro: diametroVentana(regla, N, 2 * N) })));

Diámetros decrecientes son evidencia, no prueba. Una sucesión puede permanecer casi constante durante una ventana y cambiar mucho después.

12 · Exploración interactiva

Laboratorio: concentración de la cola

Elegí una sucesión, el inicio de la ventana y su longitud. El laboratorio muestra los valores y el diámetro observado.

La banda sombreada se extiende entre el mínimo y el máximo de la ventana calculada.

13 · Comprensión

Confusiones frecuentes

14 · Práctica y síntesis

Ejercicios de comprensión

Ejercicio 1: desde un límite conocido

Demostrá que si aₙ→5, entonces (aₙ) es de Cauchy.

Ejercicio 2: demostrar un fallo

Probá directamente que aₙ=n² no es de Cauchy.

Ejercicio 3: sucesión geométrica

Justificá que (1/3)ⁿ es de Cauchy sin utilizar directamente su límite.

Ejercicio 4: ventana computacional

Calculá los diámetros visibles de aₙ=(−1)ⁿ/n en las ventanas [N,2N] para varios valores de N.

function diametro(regla, desde, hasta) {
  const valores = Array.from({ length: hasta - desde + 1 }, (_, i) => regla(desde + i));
  return Math.max(...valores) - Math.min(...valores);
}

const regla = n => (-1) ** n / n;
console.log([10, 100, 1000].map(N => ({ N, diametro: diametro(regla, N, 2 * N) })));

Ideas para recordar

En el próximo tema comenzaremos el estudio de las series numéricas, interpretando una suma infinita mediante la sucesión de sus sumas parciales.