Sucesiones recursivas y puntos fijos

01 · Punto de partida

El próximo valor depende del estado actual

Muchos algoritmos no calculan una respuesta mediante una fórmula directa. Comienzan con una estimación, aplican una transformación y repiten:

Este patrón aparece al aproximar raíces, simular sistemas dinámicos, ajustar parámetros, suavizar datos y buscar equilibrios.

• ¿La regla produce un término válido en cada paso?
• ¿Los valores permanecen en una región controlada?
• ¿La sucesión aumenta, disminuye u oscila?
• ¿Existe un límite y qué ecuación debe satisfacer?
• ¿Con qué rapidez disminuye el error?
• ¿Cuándo debe detenerse el programa?

02 · Definición recursiva

Condición inicial y regla de actualización

Una sucesión de primer orden queda definida mediante un valor inicial y una función de iteración:

Ambos datos son indispensables. La misma función produce órbitas diferentes según el punto inicial.

Si f contiene raíces, logaritmos o divisiones, también debemos garantizar que cada término permanece en su dominio.

03 · Equilibrios

Qué es un punto fijo

Un número L es punto fijo de f si:

Si una iteración alcanza exactamente L, permanece allí. Si aₙ→L y f es continua en L, entonces:

Por eso todo límite convergente debe ser un punto fijo. Para f(x)=(x+3)/2:

04 · Iteración bien definida

Intervalos invariantes

Un conjunto I es invariante si f(I)⊆I. Si a₀∈I, todos los términos permanecen dentro de I.

Para f(x)=(x+3)/2, el intervalo [0,3] es invariante:

Esta propiedad cumple dos tareas: garantiza que la recurrencia sigue definida y proporciona cotas. En problemas con f(x)=√(2+x), demostrar que los términos permanecen no negativos es indispensable antes de estudiar el límite.

05 · Convergencia monótona

Probar dirección y acotación

Sea a₀=0 y aₙ₊₁=(aₙ+3)/2. Ya sabemos que 0≤aₙ≤3. Además:

La sucesión es creciente y está acotada superiormente por 3. El teorema de convergencia monótona asegura la existencia del límite. La ecuación de punto fijo lo identifica como 3.

1. 1
   Invariancia.

   Probar que los términos permanecen en un intervalo.

2. 2
   Monotonía.

   Estudiar aₙ₊₁−aₙ.

3. 3
   Existencia.

   Aplicar convergencia monótona.

4. 4
   Identificación.

   Resolver L=f(L).

06 · Contracciones

Una transformación que reduce distancias

Supongamos que en un intervalo invariante existe 0≤q<1 tal que:

Entonces f es una contracción. Si L=f(L):

Repitiendo:

La existencia de un punto fijo único y la convergencia desde cualquier punto del intervalo se reúnen en el teorema de punto fijo de Banach. Aquí utilizamos su idea central sin desarrollar toda la teoría métrica.

07 · Estabilidad local

La derivada cerca del punto fijo

Si f es derivable y L es punto fijo, el valor |f'(L)| orienta la estabilidad:

Un signo negativo con magnitud menor que uno suele producir aproximación alternada; un signo positivo produce acercamiento desde un mismo lado, si la órbita permanece en la región estable.

08 · Velocidad de convergencia

Cómo evoluciona el error

Para la iteración afín aₙ₊₁=(aₙ+3)/2 y L=3:

Por lo tanto:

Cada iteración reduce el error a la mitad. Para exigir error menor que ε, buscamos n tal que qⁿ|a₀−L|<ε. Usando logaritmos:

function iteracionesNecesarias(errorInicial, razon, tolerancia) {
  if (!(razon > 0 && razon < 1)) throw new RangeError("La razón debe estar entre 0 y 1");
  return Math.ceil(Math.log(tolerancia / errorInicial) / Math.log(razon));
}

console.log(iteracionesNecesarias(3, 0.5, 1e-6));

09 · Aproximar raíces

La iteración de Herón para √2

La recurrencia

es el método de Newton aplicado a x²−2=0. Sus puntos fijos satisfacen L²=2. Si comenzamos con a₀>0, la iteración permanece positiva y converge a √2.

function aproximarRaizDos(inicial, pasos) {
  let x = inicial;
  const datos = [{ paso: 0, valor: x, error: Math.abs(x - Math.SQRT2) }];
  for (let n = 1; n <= pasos; n += 1) {
    x = (x + 2 / x) / 2;
    datos.push({ paso: n, valor: x, error: Math.abs(x - Math.SQRT2) });
  }
  return datos;
}

console.log(aproximarRaizDos(1, 5));

Los errores caen mucho más rápido que en una contracción lineal simple. El curso de cálculo numérico estudiará esta velocidad y sus condiciones de forma sistemática.

10 · Cuando la iteración no converge

Ciclos, escape y sensibilidad

La función f(x)=1−x tiene el punto fijo 1/2, pero si a₀≠1/2, la órbita alterna entre a₀ y 1−a₀. Resolver L=f(L) no predice esa falta de convergencia.

function iterar(regla, inicial, pasos) {
  const valores = [inicial];
  for (let n = 0; n < pasos; n += 1) valores.push(regla(valores.at(-1)));
  return valores;
}

console.log(iterar(x => 1 - x, 0.2, 8));

11 · Algoritmo confiable

Criterios de parada y diagnósticos

Una implementación debe limitar iteraciones, rechazar resultados no finitos y registrar por qué terminó.

function iterarHasta(regla, inicial, tolerancia, maxIteraciones = 1000) {
  let anterior = inicial;
  for (let iteracion = 1; iteracion <= maxIteraciones; iteracion += 1) {
    const actual = regla(anterior);
    if (!Number.isFinite(actual)) return { estado: "no-finito", iteracion, valor: actual };
    const cambio = Math.abs(actual - anterior);
    if (cambio <= tolerancia) return { estado: "tolerancia", iteracion, valor: actual, cambio };
    anterior = actual;
  }
  return { estado: "maximo", iteracion: maxIteraciones, valor: anterior };
}

console.log(iterarHasta(Math.cos, 1, 1e-10));

El cambio entre iteraciones no siempre estima el error verdadero. Cuando sea posible, agregamos un residuo como |f(x)−x| o verificamos la ecuación original.

Aplicaciones del mismo patrón iterativo

Compartir la estructura no significa compartir las garantías. Cada aplicación necesita demostrar que su transformación conserva el dominio y reduce alguna medida apropiada del error.

12 · Exploración interactiva

Laboratorio: órbitas y puntos fijos

Elegí una transformación, el valor inicial y la cantidad de iteraciones. Observá convergencia, alternancia o ciclos.

Cada punto representa el valor después de una iteración. La línea punteada indica el punto fijo de referencia.

13 · Comprensión

Confusiones frecuentes

14 · Práctica y síntesis

Ejercicios de comprensión

Ejercicio 1: candidato de límite

Para aₙ₊₁=√(2+aₙ), encontrá los puntos fijos reales.

Ejercicio 2: prueba monótona

Para a₀=0 y aₙ₊₁=(aₙ+5)/2, demostrá convergencia y calculá el límite.

Ejercicio 3: punto fijo inestable

Analizá aₙ₊₁=2aₙ. ¿Qué punto fijo tiene y qué sucede si a₀≠0?

Ejercicio 4: implementar y diagnosticar

Generá diez iteraciones de cos(x) desde x₀=1 e imprimí valores y cambios.

let anterior = 1;
const datos = [];
for (let n = 1; n <= 10; n += 1) {
  const actual = Math.cos(anterior);
  datos.push({ n, valor: actual, cambio: Math.abs(actual - anterior) });
  anterior = actual;
}
console.log(datos);

Ideas para recordar

En el próximo tema estudiaremos sucesiones de Cauchy, que permiten detectar convergencia comparando términos sin conocer previamente el límite.