Teoremas de convergencia

01 · Punto de partida

Garantizar antes de calcular

No siempre podemos obtener una fórmula explícita o calcular un límite mediante simplificación directa. A veces resulta más sencillo demostrar que los términos están atrapados entre sucesiones conocidas, o que avanzan en una sola dirección sin poder escapar.

Los teoremas de convergencia separan dos tareas:

• Existencia: demostrar que algún límite real debe existir.
• Identificación: determinar después cuál es ese número.
• Control: obtener cotas para el error o intervalos que contienen el límite.
• Aplicación: justificar algoritmos iterativos y aproximaciones.

02 · Teorema del encaje

Una sucesión atrapada comparte el límite

Sean (aₙ), (bₙ) y (cₙ). Si desde algún índice:

y además

entonces bₙ→L. También se conoce como teorema del sándwich o de compresión.

Las desigualdades pueden comenzar después de algunos términos. Como la convergencia depende de la cola, las excepciones iniciales no afectan la conclusión.

03 · Idea de demostración

Las dos paredes entran en la misma banda

Dado ε>0, las convergencias externas proporcionan índices N₁ y N₂ tales que:

para índices suficientemente grandes. Elegimos N=max(N₁,N₂) y lo combinamos con el índice desde el que vale el orden. Entonces:

Por lo tanto |bₙ−L|<ε. La prueba muestra por qué ambas sucesiones exteriores deben converger al mismo número.

04 · Versión práctica

Encajar mediante el valor absoluto

Si podemos probar

entonces bₙ→L, pues −dₙ≤bₙ−L≤dₙ. Esta versión es frecuente con factores oscilantes.

Ejemplo: sen(n)/n

Por el encaje, sen(n)/n→0, aunque sen(n) no converge.

const termino = n => Math.sin(n) / n;
console.log([10, 100, 1000].map(n => ({
  n,
  termino: termino(n),
  cotaDelError: 1 / n,
  cumple: Math.abs(termino(n)) <= 1 / n
})));

05 · Aplicaciones del encaje

Factores acotados por cantidades pequeñas

El factor oscilante no necesita converger si permanece acotado y se multiplica por una cantidad que tiende a cero.

Cómo inventar las cotas

La dificultad suele estar en elegir sucesiones exteriores útiles. Buscamos reemplazar factores complicados por límites uniformes sencillos:

• |sen(x)|≤1 y |cos(x)|≤1.
• Si 0≤uₙ≤1, entonces 0≤uₙ/n≤1/n.
• Para n≥1, n²+1≥n², por lo que 1/(n²+1)≤1/n².
• Si |vₙ|≤M y wₙ→0, entonces |vₙwₙ|≤M|wₙ|→0.

La cota no necesita parecerse mucho al término; necesita ser válida y tener un límite útil.

const termino = n => Math.cos(n ** 2) / Math.sqrt(n);
const cota = n => 1 / Math.sqrt(n);

console.log([10, 100, 1000].map(n => ({
  n,
  absoluto: Math.abs(termino(n)),
  cota: cota(n),
  cumple: Math.abs(termino(n)) <= cota(n)
})));

06 · Teorema de convergencia monótona

Avanzar sin poder escapar

El teorema afirma:

Más precisamente, una sucesión creciente converge al supremo de sus términos; una decreciente converge al ínfimo.

07 · Idea de demostración

El supremo actúa como límite

Sea (aₙ) creciente y acotada superiormente. El conjunto de sus términos posee supremo L. Como L−ε es menor que el supremo, no puede ser una cota superior; existe algún N con:

Por monotonía, para todo n≥N, se cumple aₙ ≥ aN y, por ser L cota superior, aₙ≤L. Entonces:

Así |aₙ−L|<ε. La demostración decreciente es análoga usando el ínfimo.

08 · Ejemplo completo

La sucesión n/(n+1)

Ya calculamos:

Por tanto es creciente. Además, 0<n/(n+1)<1, de modo que está acotada superiormente. El teorema garantiza convergencia. Finalmente:

El teorema prueba primero que el límite existe; la transformación identifica su valor.

Qué información proporciona la prueba

La monotonía y la cota aseguran existencia, pero no siempre ofrecen una velocidad de convergencia. En este ejemplo la identidad 1−aₙ=1/(n+1) aporta además una cota exacta del error. Son dos niveles diferentes:

Un algoritmo útil necesita ambas cuando se desea un criterio de parada certificado.

09 · Preparación para recurrencias

Monotonía y cotas por inducción

Sea a₁=0 y aₙ₊₁=(aₙ+3)/2. Podemos demostrar inductivamente 0≤aₙ<3. Luego:

Es creciente y acotada superiormente por 3, así que converge. Si llamamos L a su límite y usamos continuidad:

const terminos = [0];
for (let n = 1; n < 10; n += 1) {
  terminos.push((terminos[n - 1] + 3) / 2);
}
console.log(terminos);
console.log("Creciente:", terminos.slice(1).every((v, i) => v > terminos[i]));
console.log("Acotada por 3:", terminos.every(v => v < 3));

10 · Intervalos encajados

Dos sucesiones que encierran un número

Supongamos intervalos cerrados [aₙ,bₙ] tales que cada uno contiene al siguiente:

Los extremos izquierdos crecen y están acotados por cualquier extremo derecho; los derechos decrecen y están acotados por los izquierdos. Ambos convergen, y como su diferencia tiende a cero, comparten límite.

Esta idea sustenta el método de bisección: cada paso conserva la solución dentro de un intervalo cuya longitud se reduce a la mitad.

let izquierda = 1;
let derecha = 2;
for (let paso = 1; paso <= 8; paso += 1) {
  const medio = (izquierda + derecha) / 2;
  if (medio ** 2 < 2) izquierda = medio;
  else derecha = medio;
}
console.log({ izquierda, derecha, ancho: derecha - izquierda, aproximacion: (izquierda + derecha) / 2 });

Error garantizado en bisección

Si el valor buscado permanece dentro de [aₙ,bₙ], el punto medio tiene error a lo sumo la mitad del ancho:

Después de k bisecciones, el ancho inicial se divide por 2ᵏ. Para garantizar error menor que ε, basta elegir k con (b₀−a₀)/2k+1<ε.

11 · Existencia de subsucesiones

Teorema de Bolzano–Weierstrass

Toda sucesión real acotada posee al menos una subsucesión convergente. La sucesión completa puede divergir, como (−1)ⁿ, pero su confinamiento garantiza algún comportamiento convergente parcial.

Una idea de la prueba divide repetidamente un intervalo acotado en dos y conserva una mitad que contiene infinitos términos. Los intervalos resultantes se encajan y sus longitudes tienden a cero; seleccionando índices crecientes dentro de ellos se obtiene una subsucesión convergente.

Por qué este resultado es sorprendente

La sucesión original puede saltar de forma irregular y no mostrar tendencia global. Sin embargo, al estar encerrada en un intervalo finito, alguna región debe contener infinitos términos. Repetir la división obliga a esos términos seleccionados a concentrarse en intervalos cada vez más pequeños.

El teorema conecta acotación con compactación de información: de un comportamiento global complejo podemos extraer una trayectoria parcial estable.

11 · Estrategia de resolución

Qué teorema conviene intentar

1. 1
   Formular las hipótesis.

   No nombrar el teorema hasta identificar qué debe probarse.

2. 2
   Demostrar cada condición.

   Una gráfica no sustituye monotonía ni acotación.

3. 3
   Concluir existencia.

   Separar esta conclusión del cálculo del valor.

4. 4
   Identificar y verificar.

   Usar álgebra, continuidad o una ecuación de punto fijo.

12 · Exploración interactiva

Laboratorio: encaje y monotonía

Alterná entre un encaje y una sucesión monótona acotada. Modificá la cantidad de términos para observar cómo se estrecha el control.

Las líneas auxiliares representan cotas o el límite garantizado por el teorema.

13 · Comprensión

Confusiones frecuentes

14 · Práctica y síntesis

Ejercicios de comprensión

Ejercicio 1: aplicar el teorema del encaje

Usá el teorema del encaje para demostrar que cos(n)/√n→0.

Ejercicio 2: monotonía y acotación

Probá que aₙ=2−1/n es creciente, está acotada superiormente y determiná su límite.

Ejercicio 3: sucesión recursiva

Sea a₁=1 y aₙ₊₁=(aₙ+4)/2. Conjeturá el límite y justificá su existencia.

Ejercicio 4: Bolzano–Weierstrass

Explicá por qué la divergencia de (−1)ⁿ no contradice el teorema de Bolzano–Weierstrass.

Ideas para recordar

En el próximo tema estudiaremos sucesiones recursivas y puntos fijos, aplicando estos teoremas a procesos iterativos.