10. Cálculo de límites | Sucesiones y Series

01 · Punto de partida

Calcular no es sustituir infinito

El símbolo n→∞ describe que el índice crece sin cota; no autoriza reemplazar n por un número llamado infinito. Para calcular un límite transformamos la expresión y comparamos ritmos de crecimiento.

¿Pueden aplicarse directamente las reglas algebraicas?
¿Qué potencia de n domina?
¿Una resta de cantidades grandes oculta un resultado finito?
¿Un factor exponencial crece o decae?
¿La expresión converge, diverge o presenta una forma indeterminada?

02 · Método de trabajo

Una estrategia antes de operar

1
Identificar la familia.
Polinomio, cociente, raíz, potencia o combinación.
2
Probar reglas conocidas.
Solo si los límites y denominadores cumplen las condiciones.
3
Transformar.
Factorizar, dividir por la potencia dominante o racionalizar.
4
Comparar órdenes.
Constantes, logaritmos, potencias y exponenciales crecen a ritmos distintos.
5
Comprobar.
Usar tablas como control, no como demostración.

02 · Profundización

Elegir la transformación adecuada

Antes de calcular conviene clasificar la forma y anotar qué impide aplicar directamente las reglas algebraicas.

Árbol de decisiones inicial.
Forma	Primera acción	Objetivo
Polinomio	Factorizar el término de mayor grado.	Separar escala y coeficiente dominante.
Cociente de polinomios	Dividir por la potencia principal.	Comparar grados.
Resta de raíces	Multiplicar por el conjugado.	Eliminar cancelación oculta.
Potencia `qⁿ`	Clasificar `\|q\|`.	Distinguir los comportamientos.
Potencia sobre exponencial	Comparar términos consecutivos.	Mostrar dominancia geométrica.

Una expresión puede requerir varias etapas. Un cociente con raíces puede necesitar primero racionalización y después normalización.

03 · Polinomios

Domina el término de mayor grado

Para p(n)=aₖnᵏ+…+a₀, con aₖ≠0, el término principal determina magnitud y signo eventual. Factorizamos:

p(n)=n k (a k +a k-1 /n+\cdot\cdot\cdot+a₀/n k)

El paréntesis tiende a aₖ. Si k>0, el polinomio suele divergir con el signo de su coeficiente principal.

const p = n => 3 * n ** 3 - 5 * n + 2;
console.log([10, 100, 1000].map(n => ({ n, valor: p(n), normalizado: p(n) / n ** 3 })));

04 · Cocientes de polinomios

Comparar los grados

Dividimos numerador y denominador por la mayor potencia relevante.

Para p(n)/q(n).
Grados	Comportamiento
`grado p < grado q`	El límite es 0.
`grado p = grado q`	Cociente de coeficientes principales.
`grado p > grado q`	Magnitud sin cota; analizar signo.

Ejemplo:

(3n²-n+4)/(2n²+5) = (3-1/n+4/n²)/(2+5/n²) \to 3/2

04 · Profundización

Tres relaciones entre grados

Numerador de menor grado: (2n+1)/(n²+3) se normaliza como (2/n+1/n²)/(1+3/n²) y tiende a cero.
Grados iguales: (−4n³+n)/(2n³−5) tiende a −4/2=−2.
Numerador de mayor grado: (n³+1)/(2n²) se comporta como n/2 y tiende a +∞.

El signo forma parte del resultado

Cuando el numerador domina, debemos estudiar los coeficientes principales. −n³/(2n²+1) tiende a −∞, no simplemente a «infinito».

const casos = {
  menor: n => (2 * n + 1) / (n ** 2 + 3),
  igual: n => (-4 * n ** 3 + n) / (2 * n ** 3 - 5),
  mayor: n => (n ** 3 + 1) / (2 * n ** 2)
};

console.log(Object.fromEntries(
  Object.entries(casos).map(([nombre, regla]) => [nombre, regla(10000)])
));

05 · Formas indeterminadas

∞/∞ y 0/0 no son resultados

Una forma indeterminada informa que las reglas directas no deciden el límite. Por ejemplo:

n/n→1.
n/n²→0.
n²/n→+∞.

Las tres parecen ∞/∞, pero difieren por sus tasas de crecimiento. De manera análoga, 0/0 requiere simplificar o comparar velocidades de aproximación.

06 · Radicales

Extraer la potencia dominante

Para raíces de expresiones polinómicas, factorizamos la mayor potencia dentro del radical:

\sqrt(n²+3n)/n = \sqrt(1+3/n) \to 1

Como n≥1, √(n²)=n. En un contexto con variables de signo desconocido sería |n|.

La continuidad de la raíz permite pasar al límite cuando el argumento permanece en su dominio.

07 · Restas con raíces

Racionalizar para revelar cancelaciones

En √(n²+n)−n, ambos términos crecen, pero su diferencia puede ser finita. Multiplicamos por el conjugado:

\sqrt(n²+n)-n = n/[\sqrt(n²+n)+n] = 1/[\sqrt(1+1/n)+1] \to 1/2

const original = n => Math.sqrt(n * n + n) - n;
const estable = n => 1 / (Math.sqrt(1 + 1 / n) + 1);
console.log([10, 1e4, 1e8].map(n => ({ n, original: original(n), racionalizada: estable(n) })));

La forma racionalizada también suele ser numéricamente más estable, pues evita restar números grandes casi iguales.

07 · Profundización

Normalizar exponentes dentro de raíces

En √(4n⁴+n)/n² extraemos n⁴ y obtenemos √(4+1/n³)→2. En cambio, √(n²+n)/√n=√(n+1) crece sin cota.

Normalizaciones típicas.
Expresión	Forma útil	Límite
`√(9n²+1)/n`	`√(9+1/n²)`	3
`√n/n`	`1/√n`	0
`∛(8n³+n)/n`	`∛(8+1/n²)`	2

08 · Exponenciales geométricas

El papel de la base

Comportamiento de qⁿ.
Base q	Comportamiento
`\|q\|<1`	`qⁿ→0`; puede alternar si q es negativo.
`q=1`	Vale siempre 1.
`q=−1`	Oscila y diverge.
`q>1`	Crece hacia `+∞`.
`q<−1`	Oscila con magnitud creciente.

Una exponencial con base mayor que uno domina cualquier potencia fija: nᵏ/qⁿ→0 para q>1.

09 · Comparación de crecimientos

Potencias, exponenciales y factoriales

Como guía asintótica:

log n ≪ n p ≪ q n ≪ n! (p>0, q>1)

El símbolo ≪ indica crecimiento mucho más lento. Por ejemplo, en n²/2ⁿ la exponencial termina dominando aunque los primeros términos puedan aumentar.

const a = n => n ** 2 / 2 ** n;
console.log([2, 5, 10, 20, 50].map(n => ({ n, valor: a(n) })));

09 · Profundización

Por qué una exponencial domina una potencia

Para aₙ=n²/2ⁿ estudiamos:

a n+1 /a n = ((n+1)/n)²/2 \to 1/2

Eventualmente el cociente es menor que 3/4. Desde allí, cada término es como máximo tres cuartos del anterior, por lo que la cola queda dominada por una geométrica que tiende a cero.

El argumento se extiende a nᵖ/qⁿ, con p>0 fijo y q>1: el cociente tiende a 1/q<1.

const termino = n => n ** 2 / 2 ** n;
const cociente = n => termino(n + 1) / termino(n);

console.log([5, 10, 20, 50].map(n => ({
  n,
  termino: termino(n),
  cocienteSiguiente: cociente(n)
})));

10 · Simplificación

Dividir por el comportamiento dominante

En lugar de manipular valores enormes, normalizamos. Para (5n³+2n)/(n³−7), dividir por n³ produce términos que permanecen cerca de constantes:

(5+2/n²)/(1-7/n³) \to 5

La técnica combina tres ideas: identificar el orden dominante, convertir términos menores en potencias de 1/n y aplicar reglas algebraicas solo cuando el denominador límite no es cero.

11 · Exploración interactiva

Laboratorio: observar la transformación

Elegí una familia. El gráfico muestra la sucesión y su candidato finito cuando existe.

EXPERIMENTO 10

Calculador visual

(3n²−n+4)/(2n²+5) → 3/2

ExpresiónÍndice máximo: 30

TipoConvergente

Límite1,5

Último valor≈ 1,477

Error≈ 0,023

Los grados iguales producen el cociente 3/2.

La línea punteada representa el límite cuando es finito.

12 · Evaluación segura

Comparar fórmula original y transformada

const original = n => (3 * n ** 2 - n + 4) / (2 * n ** 2 + 5);
const normalizada = n => (3 - 1 / n + 4 / n ** 2) / (2 + 5 / n ** 2);

console.log([10, 1000, 1e7].map(n => ({ n, original: original(n), normalizada: normalizada(n) })));
console.log("Límite:", 3 / 2);

Las expresiones son algebraicamente equivalentes, pero la normalizada comunica mejor el límite y puede evitar magnitudes intermedias excesivas.

12 · Estrategias combinadas

Ejemplos resueltos paso a paso

(n+√n)/n

Dividimos por n: 1+1/√n→1. La raíz crece, pero más lentamente que n.

√(n²+2n)−n

Racionalizamos:

2n/[\sqrt(n²+2n)+n] = 2/[\sqrt(1+2/n)+1] \to 1

3ⁿ/n⁴

El recíproco n⁴/3ⁿ→0 por dominancia exponencial. Como los términos son positivos, 3ⁿ/n⁴→+∞.

La forma racionalizada evita restar números grandes casi iguales y reduce la pérdida de cifras significativas.

13 · Comprensión

Confusiones frecuentes

«Se reemplaza n por infinito»

Infinito no es un número real; analizamos qué ocurre al crecer n.

«∞/∞ vale 1»

Es indeterminada; depende de los órdenes de crecimiento.

«Siempre domina el término con mayor coeficiente»

Domina primero el mayor grado; el coeficiente decide dentro del mismo grado.

«√(n²)=n siempre»

En general es |n|; aquí n es natural positivo.

«Si los primeros términos crecen, diverge»

n²/2ⁿ primero crece y luego tiende a cero.

«Racionalizar cambia la sucesión»

Multiplicar por el conjugado sobre sí mismo produce una expresión equivalente donde esté definida.

14 · Práctica y síntesis

Ejercicios de comprensión

Ejercicio 1: cociente de polinomios con grados iguales

Calculá el límite de (4n²+3)/(n²−2n).

Ver solución

Dividimos numerador y denominador por n²:

(4+3/n²)/(1-2/n) \to 4/1 = 4

Los grados son iguales, por lo que también puede obtenerse el resultado dividiendo los coeficientes principales.

Ejercicio 2: denominador de mayor grado

Calculá el límite de (2n+1)/(n³+1).

Ver solución

Dividimos por n³:

(2/n²+1/n³)/(1+1/n³) \to 0

El denominador tiene mayor grado y crece más rápidamente que el numerador.

Ejercicio 3: racionalización

Calculá lim [√(n²+4n)−n] racionalizando la expresión.

Ver solución

Multiplicamos y dividimos por el conjugado:

\sqrt(n²+4n)-n = 4n/[\sqrt(n²+4n)+n] = 4/[\sqrt(1+4/n)+1] \to 2

Ejercicio 4: sucesiones geométricas

Clasificá (−0.7)ⁿ y (−1.2)ⁿ, indicando si convergen y cómo se comportan sus signos.

Ver solución

Como |−0.7|<1, (−0.7)ⁿ→0 alternando signos. Como |−1.2|>1, (−1.2)ⁿ alterna con magnitud creciente y diverge.

Ideas para recordar

En polinomios domina el mayor grado.
En cocientes se comparan grados y coeficientes principales.
0/0 e ∞/∞ requieren transformar la expresión.
Racionalizar revela diferencias ocultas y mejora estabilidad numérica.
qⁿ→0 si |q|<1.
Las exponenciales dominan potencias fijas.
Una tabla comprueba; el álgebra justifica.

En el próximo tema estudiaremos teoremas de convergencia: encaje y sucesiones monótonas acotadas.