Propiedades de los límites

01 · Punto de partida

De la definición a una caja de herramientas

La definición ε–N permite demostrar cada límite directamente, pero repetirla para una expresión compleja sería poco práctico. Si conocemos aₙ→A y bₙ→B, ciertas operaciones producen nuevas sucesiones cuyos límites pueden deducirse.

Estas propiedades permiten:

• Garantizar que un límite, si existe, es único.
• Concluir que una sucesión convergente no puede escapar sin cota.
• Combinar límites mediante operaciones algebraicas.
• Comparar sucesiones y preservar desigualdades.
• Reconocer cuándo una regla no puede aplicarse.

02 · Unicidad

Una sucesión no puede tener dos límites

Supongamos que aₙ→L y aₙ→M, con L≠M. Elegimos ε=|L−M|/3. Para índices suficientemente grandes, el mismo término debería estar a distancia menor que ε de ambos números.

Por la desigualdad triangular:

Esto es imposible. Por tanto, L=M. La unicidad permite hablar de el límite y no de un límite entre varios.

03 · Acotación necesaria

Toda sucesión convergente está acotada

Si aₙ→L, usamos ε=1. Existe N tal que para n≥N, |aₙ−L|<1; entonces |aₙ|<|L|+1. Esa cota controla la cola.

Los términos anteriores a₁,…,aₙ₋₁ son finitos en cantidad, por lo que sus valores absolutos tienen máximo. Tomando el mayor entre ese máximo y |L|+1, acotamos toda la sucesión.

Separación eventual de cero

Si aₙ→A y A≠0, la cola no solo está acotada: también queda separada de cero. Tomando ε=|A|/2, eventualmente:

Esta propiedad garantiza que los recíprocos 1/aₙ quedan bien definidos y acotados en la cola. Es la pieza central de la regla del cociente.

04 · Suma y resta

Combinar errores aditivamente

Si aₙ→A y bₙ→B, entonces:

La razón aparece al separar el error:

Para lograr error menor que ε, hacemos que cada sumando sea menor que ε/2 y elegimos el mayor de los dos umbrales.

const a = n => 2 + 1 / n;
const b = n => -3 + 2 / n;
const suma = n => a(n) + b(n);

console.log([10, 100, 1000].map(n => ({ n, valor: suma(n), error: Math.abs(suma(n) - (-1)) })));

05 · Múltiplos constantes

Escalar una sucesión

Si aₙ→A y c es constante:

Porque |caₙ−cA|=|c||aₙ−A|. Si c≠0, para obtener error menor que ε basta pedir |aₙ−A|<ε/|c|. Si c=0, la sucesión resultante es constantemente cero.

Combinando esta propiedad con la suma, cualquier combinación lineal satisface:

06 · Productos

Controlar factores y errores

Si aₙ→A y bₙ→B, entonces aₙbₙ→AB. Sumamos y restamos Abₙ:

Como (bₙ) converge, está acotada. Así podemos controlar el primer producto y el segundo término. La acotación no es un detalle: permite que un error pequeño no se multiplique por valores arbitrariamente grandes.

const a = n => 2 + 1 / n;
const b = n => 3 - 1 / n;
const producto = n => a(n) * b(n);

console.log([10, 100, 1000].map(n => ({ n, producto: producto(n), errorRespectoA6: Math.abs(producto(n) - 6) })));

Cómo repartir una tolerancia

Si |bₙ|≤M en la cola, obtenemos:

Cuando A≠0, podemos exigir que el primer error sea menor que ε/(2M) y el segundo menor que ε/(2|A|). Si A=0, desaparece el segundo término. La demostración ilustra un patrón común: descomponer el error y asignar a cada parte una fracción de la tolerancia total.

07 · Cocientes

El denominador no debe aproximarse a cero

Si aₙ→A, bₙ→B y B≠0, entonces:

Como bₙ→B≠0, la cola queda separada de cero: eventualmente |bₙ|≥|B|/2. El cociente queda bien definido y su denominador controlado.

La regla del recíproco

Primero se demuestra que 1/bₙ→1/B:

Como eventualmente |bₙ|≥|B|/2, el denominador queda por debajo controlado. Luego el cociente se trata como el producto aₙ·(1/bₙ).

08 · Potencias y valor absoluto

Funciones continuas aplicadas a límites

De las reglas de producto se obtiene, para entero positivo p:

También |aₙ|→|A|, porque la desigualdad triangular inversa da:

Para raíces pares debe garantizarse que los términos estén en el dominio real. Estas reglas son casos de un principio más general: si f es continua en A y aₙ→A, entonces f(aₙ)→f(A).

09 · Orden

Las desigualdades eventuales pasan al límite

Si aₙ≤bₙ para todo índice suficientemente grande, aₙ→A y bₙ→B, entonces A≤B.

No podemos concluir necesariamente A<B aunque aₙ<bₙ siempre. Por ejemplo, 0<1/n, pero ambas sucesiones convergen a cero.

10 · Subsucesiones y colas

El límite sobrevive a selecciones y cambios finitos

Si aₙ→A, toda subsucesión aₙₖ converge a A. Además, cualquier sucesión que coincida con (aₙ) desde cierto índice tiene el mismo límite.

Estas propiedades permiten simplificar expresiones, descartar excepciones iniciales y demostrar divergencia encontrando dos subsucesiones con límites distintos.

Estabilidad frente a perturbaciones que desaparecen

Si aₙ→A y una perturbación eₙ→0, entonces aₙ+eₙ→A. Esta consecuencia de la regla de la suma modela errores de medición o redondeo que se reducen con el índice.

Más generalmente, si dos sucesiones se vuelven indistinguibles en el sentido de que aₙ−bₙ→0 y una de ellas converge a L, la otra también converge a L:

const exacta = n => 2 + 1 / n;
const perturbada = n => exacta(n) + Math.sin(n) / n ** 2;

console.log([10, 100, 1000].map(n => ({
  n,
  exacta: exacta(n),
  perturbada: perturbada(n),
  diferencia: Math.abs(exacta(n) - perturbada(n))
})));

La perturbación puede oscilar; lo importante es que su magnitud tienda a cero.

11 · Exploración interactiva

Laboratorio: álgebra de límites

Combiná aₙ=A+c/n y bₙ=B+d/n. Compará la operación término a término con el valor predicho por las reglas.

Los puntos muestran la operación término a término y la línea horizontal su límite predicho.

12 · Composición programable

Funciones de orden superior para sucesiones

const combinar = (a, b, operacion) => n => operacion(a(n), b(n));
const a = n => 2 + 1 / n;
const b = n => 3 - 2 / n;
const suma = combinar(a, b, (x, y) => x + y);
const producto = combinar(a, b, (x, y) => x * y);

console.log("Suma en n=1000:", suma(1000));
console.log("Producto en n=1000:", producto(1000));

El código reproduce operaciones término a término. Que los valores parezcan acercarse a la predicción sirve como comprobación, pero las propiedades matemáticas justifican el límite.

Tabla de decisión para aplicar reglas

13 · Comprensión

Confusiones frecuentes

14 · Práctica y síntesis

Ejercicios de comprensión

Ejercicio 1

Si aₙ→2 y bₙ→−3, calculá los límites de 4aₙ−bₙ, aₙbₙ y aₙ/bₙ.

Ejercicio 2

Explicá por qué aₙ→4 implica aₙ²→16 y |aₙ|→4.

Ejercicio 3

Mostrá con ejemplos que una forma 0/0 puede producir distintos resultados.

Ejercicio 4 ejecutable

const a = n => 1 + 1 / n;
const expresion = n => 3 * a(n) ** 2 - 2 * a(n);
console.log([10, 100, 1000].map(n => ({ n, valor: expresion(n) })));
console.log("Límite predicho:", 3 * 1 ** 2 - 2 * 1);

Ejercicio 5: detectar una aplicación inválida

Un estudiante afirma que lim (1/n)/(2/n)=0/0=0. Identificá el error y calculá correctamente.

Ideas para recordar

En el próximo tema aplicaremos estas reglas al cálculo de límites con polinomios, cocientes, raíces y exponenciales.