Definición formal de límite

01 · Punto de partida

De la intuición a una garantía

Decir que los términos «parecen acercarse» a L es útil para formular una conjetura, pero no especifica qué significa cerca, desde cuándo debe cumplirse ni qué ocurre con los términos posteriores.

La definición formal responde esas preguntas mediante dos cantidades:

• ε representa cualquier tolerancia positiva alrededor de L.
• N es un índice a partir del cual exigimos la condición.
• N puede depender de ε.
• Después de N, todos los términos deben quedar dentro de la banda.
• La exigencia debe funcionar aunque la tolerancia sea extremadamente pequeña.

02 · Definición ε–N

La afirmación completa

Una sucesión (aₙ) converge a L si:

En símbolos:

ε

Radio positivo de la banda alrededor del límite.

N

Umbral que puede elegirse después de conocer ε.

n ≥ N

Representa toda la cola, no un único índice.

|aₙ−L|

Distancia del término al candidato.

03 · Orden lógico

Primero la tolerancia, después el índice

El orden de los cuantificadores es esencial. Un adversario elige cualquier ε>0; nosotros respondemos con un N apropiado. Luego debemos superar el desafío para cada n≥N.

No se exige un único N que funcione para todas las tolerancias. Al pedir mayor precisión normalmente necesitamos avanzar más.

04 · Lectura geométrica

Una banda horizontal alrededor de L

La desigualdad de distancia equivale a una doble desigualdad:

En el gráfico, L−ε y L+ε forman una banda horizontal. Puede haber puntos fuera antes de N; desde N, ninguno puede escapar. Al reducir ε, la banda se estrecha y quizá debamos elegir un umbral mayor.

05 · Primera demostración

Probar que 1/n converge a 0

Sea ε>0. Queremos:

Como todo es positivo, esto equivale a n>1/ε. Elegimos

Entonces, si n≥N, tenemos n≥⌊1/ε⌋+1>1/ε y por tanto 1/n<ε. Como la construcción funciona para cualquier tolerancia positiva, 1/n→0.

06 · Elegir un entero seguro

Piso, techo y desigualdad estricta

Podría tentarnos usar N=⌈1/ε⌉. Si 1/ε es entero, en n=N obtendríamos igualdad 1/n=ε, pero la definición exige <ε. La elección ⌊1/ε⌋+1 siempre produce un entero estrictamente mayor.

function indiceParaReciproca(epsilon) {
  if (!(epsilon > 0)) throw new RangeError("ε debe ser positivo");
  return Math.floor(1 / epsilon) + 1;
}

for (const epsilon of [0.1, 0.03, 0.001]) {
  const N = indiceParaReciproca(epsilon);
  console.log({ epsilon, N, terminoEnN: 1 / N, cumple: 1 / N < epsilon });
}

No necesitamos encontrar el menor N. Cualquier umbral que garantice la condición es válido.

07 · Generalización

Demostrar que L + C/n converge a L

Para aₙ=L+C/n:

Queremos |C|/n<ε, lo cual se garantiza con n>|C|/ε. Podemos elegir:

Este argumento incluye valores positivos o negativos de C; el valor absoluto elimina la dependencia del lado desde el cual se acerca la sucesión.

function certificado(L, C, epsilon) {
  const N = Math.floor(Math.abs(C) / epsilon) + 1;
  const termino = L + C / N;
  return { N, termino, error: Math.abs(termino - L), cumple: Math.abs(termino - L) < epsilon };
}

console.log(certificado(3, -2, 0.001));

De la estimación de error a la función N(ε)

En problemas más generales buscamos primero una cota de la forma |aₙ−L|≤g(n), donde g(n)→0. Después resolvemos g(n)<ε. No es necesario trabajar con el error exacto si una cota más sencilla permite construir el umbral.

Una condición suficiente puede producir un N mayor que el mínimo, pero sigue siendo una demostración válida.

08 · Oscilación convergente

Probar que (−1)ⁿ/n converge a 0

El signo cambia, pero la distancia al límite no:

La misma elección N=⌊1/ε⌋+1 funciona. Este ejemplo muestra por qué la definición usa distancia: no importa si el término está por encima o debajo del límite.

También ilustra que convergencia no exige monotonía. Lo que debe quedar controlado es el tamaño del error, no la dirección del movimiento.

09 · Transformación algebraica

Probar que n/(n+1) converge a 1

Calculamos la distancia:

Necesitamos 1/(n+1)<ε, equivalente a n>1/ε−1. Podemos reutilizar una elección más fuerte y sencilla:

No es la elección mínima, pero si n≥N, entonces n+1>1/ε y la condición queda garantizada. En demostraciones suele preferirse claridad antes que optimización del umbral.

10 · Demostrar divergencia

Negar correctamente la definición

Decir que (aₙ) no converge a L significa:

Para refutar un candidato basta encontrar una banda fija de la que aparecen términos fuera, sin importar cuánto avancemos.

En aₙ=(−1)ⁿ, ningún L puede funcionar. En particular, para L=0 elegimos ε₀=1/2: todos los términos tienen distancia 1. Para un candidato general, al menos una de las distancias |1−L| y |−1−L| es mayor o igual que 1, y la paridad correspondiente aparece infinitamente.

Cómo leer la negación como un juego

Para probar convergencia, el adversario entrega ε y nosotros respondemos con N. Para probar que el candidato falla, nosotros fijamos una tolerancia ε₀; el adversario puede elegir cualquier N, y aun así encontramos un índice posterior que sale de la banda.

Cambiar el orden de estos cuantificadores cambia la afirmación. Esta lectura lógica evita confundir «hay términos cercanos» con «todos los términos posteriores son cercanos».

11 · Código y lógica

Verificar una cola finita no es probar el infinito

function verificarRango(regla, limite, epsilon, desde, hasta) {
  for (let n = desde; n <= hasta; n += 1) {
    const error = Math.abs(regla(n) - limite);
    if (error >= epsilon) return { cumple: false, primerFallo: n, error };
  }
  return { cumple: true, desde, hasta };
}

console.log(verificarRango(n => 1 / n, 0, 0.01, 101, 10000));

El resultado significa «no encontramos fallos entre 101 y 10000». La prueba matemática aporta la garantía para todos los índices sin un límite superior.

Otro patrón: errores que decrecen como 1/n²

Para aₙ=L+C/n², la condición es |C|/n²<ε. Como n>0, basta exigir:

Una elección segura es N=⌊√(|C|/ε)⌋+1. Comparada con una sucesión cuyo error es proporcional a 1/n, necesita muchos menos términos para la misma precisión.

function indiceParaErrorCuadratico(C, epsilon) {
  if (!(epsilon > 0)) throw new RangeError("ε debe ser positivo");
  return Math.floor(Math.sqrt(Math.abs(C) / epsilon)) + 1;
}

for (const epsilon of [1e-2, 1e-4, 1e-6]) {
  const N = indiceParaErrorCuadratico(3, epsilon);
  console.log({ epsilon, N, error: 3 / N ** 2 });
}

La función N(ε) no solo demuestra convergencia: también cuantifica una velocidad suficiente de aproximación.

12 · Exploración interactiva

Laboratorio: responder a cada ε

Elegí una sucesión convergente y una tolerancia. El laboratorio propone un N demostrado y permite observar la cola dentro de la banda.

La banda horizontal va de L−ε a L+ε. Se muestran términos comenzando en el índice construido.

13 · Comprensión

Confusiones frecuentes

14 · Práctica y síntesis

Ejercicios de comprensión

Ejercicio 1

Demostrá que 5+3/n→5 y construí un N para ε=0.002.

Ejercicio 2

Para aₙ=(2n+1)/n, identificá el límite y demostralo.

Ejercicio 3: generar certificados

function NparaCobreN(C, epsilon) {
  return Math.floor(Math.abs(C) / epsilon) + 1;
}

console.log([0.1, 0.01, 0.001].map(epsilon => ({
  epsilon,
  N: NparaCobreN(4, epsilon)
})));

Ejercicio 4

Escribí con palabras la negación de «aₙ→L».

Ideas para recordar

En el próximo tema estudiaremos las propiedades de los límites de sucesiones: unicidad, acotación y operaciones algebraicas.