Convergencia y divergencia

01 · Punto de partida

Lo importante ocurre en la cola

La sucesión 1, 1/2, 1/3, 1/4, … nunca alcanza cero, pero sus términos pueden hacerse tan pequeños como queramos si avanzamos lo suficiente. Decimos que converge a cero.

Converger no significa detenerse, volverse constante ni alcanzar el límite. Significa que, a partir de cierto índice, todos los términos posteriores permanecen tan cerca del límite como se solicite.

• ¿Hacia qué número parecen acercarse los términos?
• ¿La distancia a ese número disminuye de forma persistente?
• ¿Los términos posteriores permanecen cerca o vuelven a alejarse?
• ¿La sucesión crece sin cota, oscila o presenta otro tipo de divergencia?
• ¿Qué puede afirmar una exploración computacional finita?

02 · Interpretación

Acercarse y permanecer cerca

Escribimos

para indicar que (aₙ) converge a L. La distancia entre el término y el candidato es |aₙ−L|. La idea contiene tres elementos:

1. 1
   Elegir una cercanía.

   Por ejemplo, distancia menor que 0.1 o 0.001.

2. 2
   Avanzar lo suficiente.

   Encontrar un índice desde el cual se cumple.

3. 3
   Controlar toda la cola.

   No basta con un término cercano: ninguno posterior debe salir de la banda.

El tema siguiente reemplazará «tan cerca como queramos» y «lo suficiente» por una definición rigurosa con ε y N.

03 · Ejemplos convergentes

Diferentes caminos hacia un límite

La monotonía no es necesaria: (−1)ⁿ/n converge mientras oscila. Tampoco es necesario que el límite aparezca como término.

const termino = n => (-1) ** n / n;
const datos = [10, 100, 1000, 10000].map(n => ({
  n,
  termino: termino(n),
  distanciaACero: Math.abs(termino(n))
}));
console.log(datos);

04 · Formas de divergencia

No converger no significa una sola cosa

Una sucesión diverge cuando no converge a ningún número real. Puede hacerlo de distintas maneras:

Cuando aₙ crece sin cota escribimos informalmente aₙ→+∞. Esto describe divergencia infinita, no convergencia a un número llamado infinito. De forma análoga existe −∞.

05 · Evidencia numérica

Tablas y gráficos: útiles, pero finitos

Para explorar un candidato L, calculamos términos lejanos y errores |aₙ−L|. Conviene usar índices en diferentes escalas, no solo consecutivos al principio.

function explorarLimite(regla, candidato, indices) {
  return indices.map(n => {
    const valor = regla(n);
    return { n, valor, error: Math.abs(valor - candidato) };
  });
}

const resultado = explorarLimite(n => n / (n + 1), 1, [10, 100, 1000, 10000]);
console.log(resultado);

Ver errores decrecientes apoya la conjetura, pero un programa no examina infinitos términos. Una regla podría imitar el patrón durante millones de índices y cambiar después.

06 · Comportamiento eventual

Los primeros términos no deciden el límite

Consideremos 1000, −500, 20, 1/4, 1/5, 1/6, …. Los tres primeros valores son extremos, pero desde el cuarto la sucesión se comporta como 1/n y converge a cero.

Dos sucesiones que coinciden desde algún índice tienen el mismo comportamiento de convergencia. Esto permite:

• Ignorar una cantidad finita de excepciones.
• Comenzar un análisis desde un índice conveniente.
• Estudiar fórmulas válidas solo a partir de cierto punto.
• Distinguir comportamiento transitorio de comportamiento asintótico.

En programación, esta distinción se parece a separar el calentamiento inicial de un sistema de su régimen estable.

Una sucesión diseñada para engañar una muestra

Definamos aₙ=1/n hasta el índice un millón y aₙ=1 desde el término siguiente. Cualquier exploración limitada a los primeros miles de índices sugerirá convergencia a cero, pero la cola real es constante e igual a uno.

function sucesionConCambioTardio(n) {
  return n <= 1_000_000 ? 1 / n : 1;
}

console.log("Antes del cambio:", sucesionConCambioTardio(100_000));
console.log("En el cambio:", sucesionConCambioTardio(1_000_001));
console.log("Mucho después:", sucesionConCambioTardio(2_000_000));

El ejemplo no invalida la experimentación: muestra que su conclusión debe formularse como evidencia dentro de un horizonte, no como afirmación sobre infinitos términos.

07 · Consecuencias básicas

Qué debe cumplir una sucesión convergente

Límite único

Una sucesión no puede converger a dos números reales distintos.

Acotación

Toda sucesión convergente está acotada, incluidos sus términos iniciales.

Subsucesiones

Toda subsucesión converge al mismo límite.

Cola estable

Para cualquier tolerancia positiva, todos los términos suficientemente posteriores quedan dentro de ella.

Las recíprocas no valen en general. Estar acotada no garantiza convergencia, y tener alguna subsucesión convergente tampoco.

08 · Diagnóstico de divergencia

Dos comportamientos parciales incompatibles

Para aₙ=(−1)ⁿ+1/n:

Si la sucesión completa convergiera, ambas subsucesiones deberían compartir su límite. Como se aproximan a valores distintos, la original diverge.

Este método es especialmente efectivo para oscilaciones periódicas: se separa cada fase del ciclo y se comparan sus comportamientos.

09 · Un criterio fundamental

Monotonía más acotación

El teorema de convergencia monótona afirma:

Para aₙ=n/(n+1) ya vimos que es creciente y que aₙ<1. El teorema garantiza que converge. Reescribir aₙ=1−1/(n+1) permite además identificar el límite 1.

10 · Aproximación computacional

Buscar un índice para una tolerancia

Si conocemos el candidato, podemos buscar desde qué índice la muestra calculada permanece dentro de una tolerancia. Debemos informar un horizonte: no hemos comprobado términos más allá.

function buscarIndiceVisible(regla, limite, tolerancia, maxIndice) {
  let ultimaViolacion = 0;
  for (let n = 1; n <= maxIndice; n += 1) {
    if (Math.abs(regla(n) - limite) >= tolerancia) ultimaViolacion = n;
  }
  return ultimaViolacion < maxIndice ? ultimaViolacion + 1 : null;
}

const N = buscarIndiceVisible(n => 1 / n, 0, 0.01, 10000);
console.log("Índice verificado dentro del horizonte:", N);

Para 1/n, el análisis exacto muestra que 1/n<ε cuando n>1/ε. La fórmula ofrece garantía general; la búsqueda solo verifica un rango finito.

11 · Exploración interactiva

Laboratorio: bandas alrededor del límite

Elegí una sucesión y una tolerancia. La franja destaca los valores cuya distancia al candidato es menor que la tolerancia.

La banda representa L−ε < aₙ < L+ε. El resultado se limita a los términos visibles.

Preguntas para explorar

1. Reducí la tolerancia: ¿qué sucede con el índice necesario?
2. Compará 1/n y (−1)ⁿ/n.
3. ¿Por qué (−1)ⁿ sigue saliendo de una banda pequeña?
4. ¿Puede el gráfico finito certificar el comportamiento de todos los términos posteriores?

12 · Aplicaciones

Convergencia como estabilidad de un proceso

En la práctica se detiene un algoritmo cuando el error estimado o el cambio entre iteraciones es menor que una tolerancia. Esto no es idéntico a demostrar convergencia: también deben considerarse el modelo de error, la estabilidad y el número máximo de iteraciones.

Error respecto del límite y cambio entre iteraciones

Si conocemos el límite, podemos medir |aₙ−L|. En un problema real normalmente L es desconocido y solo observamos |aₙ−aₙ₋₁|. Un cambio pequeño no garantiza estar cerca de la respuesta: una sucesión puede avanzar muy lentamente lejos del límite o incluso estancarse por redondeo.

13 · Comprensión

Confusiones frecuentes

14 · Práctica y síntesis

Ejercicios de comprensión

Ejercicio 1: clasificar

Clasificá 3+1/n, (−0.5)ⁿ, n² y cos(nπ).

Ejercicio 2: términos iniciales

¿Cambia el límite de 1/n si reemplazamos sus primeros cien términos por el valor un millón?

Ejercicio 3: explorar errores

const termino = n => 2 + (-1) ** n / n;
const limite = 2;
const indices = [10, 100, 1000];

console.log(indices.map(n => ({
  n,
  valor: termino(n),
  error: Math.abs(termino(n) - limite)
})));

Ejercicio 4: usar subsucesiones

Demostrá que 2+(−1)ⁿ diverge.

Ideas para recordar

En el próximo tema formularemos la definición formal de límite mediante una tolerancia ε y un índice N.