Subsucesiones y patrones internos

01 · Punto de partida

Mirar una parte para comprender el todo

La sucesión −1, 1, −1, 1, … parece oscilar sin descanso. Si observamos por separado los índices pares, obtenemos 1,1,1,…; con los impares obtenemos −1,−1,−1,…. Ambas selecciones revelan comportamientos estables que la lista completa mezcla.

Una subsucesión se obtiene eligiendo infinitos términos de una sucesión y conservando su orden original. Sirve para:

• Separar términos pares e impares.
• Detectar ciclos y oscilaciones.
• Analizar muestras cada cierta cantidad de pasos.
• Mostrar que una sucesión no puede converger a un único valor.
• Estudiar comportamientos que aparecen a lo largo de índices seleccionados.

02 · Definición formal

Una sucesión de índices crecientes

Sea (aₙ). Elegimos índices naturales

La sucesión formada por aₙ₁, aₙ₂, aₙ₃, … se denota (aₙₖ) y es una subsucesión. El nuevo índice k indica la posición dentro de la selección; nₖ indica qué posición de la sucesión original fue elegida.

La condición estrictamente creciente garantiza que no repetimos posiciones, no retrocedemos y los índices elegidos avanzan indefinidamente.

03 · Selecciones fundamentales

Términos pares e impares

Para seleccionar índices pares usamos nₖ=2k; para los impares, nₖ=2k−1, con k≥1.

Si aₙ=(−1)ⁿ+1/n:

La primera se aproxima a 1 y la segunda a −1. Esta diferencia anticipa que la sucesión completa no puede acercarse a un único valor.

const termino = n => (-1) ** n + 1 / n;
const pares = Array.from({ length: 5 }, (_, i) => termino(2 * (i + 1)));
const impares = Array.from({ length: 5 }, (_, i) => termino(2 * (i + 1) - 1));

console.log("Pares:", pares);
console.log("Impares:", impares);

04 · Reglas de selección

Cada m términos y otras elecciones

Una fórmula nₖ=mk+r selecciona una clase periódica de índices, ajustando r al índice inicial. También podemos usar índices cuadrados nₖ=k², potencias nₖ=2ᵏ o cualquier sucesión estrictamente creciente de naturales.

05 · Condiciones necesarias

Qué no es una subsucesión

Tampoco es subsucesión transformar valores. La lista a₁²,a₂²,a₃²,… es una nueva sucesión construida desde (aₙ), pero no selecciona términos originales salvo coincidencias particulares.

Una selección condicionada, como «índices donde aₙ>0», define una subsucesión solo si hay infinitos índices que cumplen la condición y se enumeran en orden creciente.

06 · Propiedades heredadas

Qué conservan las subsucesiones

• Una subsucesión de una sucesión acotada también está acotada por las mismas cotas.
• Una subsucesión de una sucesión creciente sigue siendo creciente.
• Una subsucesión de una decreciente sigue siendo decreciente.
• Si la sucesión original converge a L, toda subsucesión converge al mismo L.

La última propiedad será demostrada al formalizar límites. Intuitivamente, si todos los términos suficientemente posteriores están cerca de L, también lo están los términos posteriores de cualquier selección que avance indefinidamente.

07 · Comportamientos parciales

Valores de acumulación

Un número L es un valor de acumulación de (aₙ) si existe una subsucesión que converge a L. Por ejemplo, (−1)ⁿ tiene dos: 1 mediante índices pares y −1 mediante impares.

La sucesión sin(nπ/2) repite 1,0,−1,0,…. Seleccionando índices apropiados aparecen subsucesiones constantes con valores 1, 0 y −1.

La existencia de un único valor de acumulación no bastará por sí sola en todos los contextos sin hipótesis adicionales, pero encontrar dos diferentes sí demuestra divergencia.

08 · Implementación general

Extraer por una regla de índices

Podemos separar la regla de términos de la regla que selecciona índices:

function extraerSubsucesion(regla, indiceParaK, cantidad) {
  let anterior = -Infinity;
  return Array.from({ length: cantidad }, (_, posicion) => {
    const k = posicion + 1;
    const n = indiceParaK(k);
    if (!Number.isInteger(n) || n <= anterior) {
      throw new RangeError("Los índices deben ser enteros estrictamente crecientes");
    }
    anterior = n;
    return { k, n, valor: regla(n) };
  });
}

const cuadrados = extraerSubsucesion(n => 1 / n, k => k ** 2, 6);
console.log(cuadrados);

El objeto conserva k, nₖ y aₙₖ. Guardar los dos índices evita perder la relación con la sucesión original.

09 · Selección por condición

Buscar términos que cumplen una propiedad

Si no disponemos de una fórmula para nₖ, recorremos índices y conservamos los que satisfacen un predicado. El procedimiento debe imponer un límite de búsqueda para no quedar bloqueado si no aparecen suficientes resultados.

function seleccionarPorCondicion(regla, condicion, cantidad, maxIndice) {
  const resultado = [];
  for (let n = 1; n <= maxIndice && resultado.length < cantidad; n += 1) {
    const valor = regla(n);
    if (condicion(valor, n)) resultado.push({ n, valor });
  }
  return resultado;
}

const seleccion = seleccionarPorCondicion(
  n => Math.sin(n),
  valor => valor > 0.9,
  5,
  1000
);
console.log(seleccion);

Obtener cinco coincidencias computacionales no prueba que existan infinitas. Esa afirmación requiere estudiar la regla matemática.

10 · Aplicaciones

Muestreo, registros y depuración

El muestreo puede ocultar patrones. Una señal que alterna en cada paso parecerá constante si observamos solo índices pares. En procesamiento de señales, este efecto se relaciona con el aliasing; aquí sirve como advertencia general.

11 · Exploración interactiva

Laboratorio: revelar patrones internos

Elegí una sucesión y una regla de selección. Los puntos violetas representan la sucesión original; los puntos destacados forman la muestra de la subsucesión.

Los términos no seleccionados permanecen visibles para conservar el contexto. Seleccionar no significa reordenar.

Preguntas para explorar

1. Compará pares e impares en la primera sucesión.
2. ¿Qué valores constantes aparecen en el ciclo según la selección?
3. En 1/n, ¿cambia el comportamiento general al tomar cuadrados?
4. ¿Por qué cada tercer término puede ocultar parte de un ciclo?

12 · Puente hacia los límites

Subsucesiones como prueba de divergencia

Si (aₙ) converge a L, no podemos extraer una subsucesión que converja a otro número. Esto produce una estrategia:

Para aₙ=(−1)ⁿ, a₂ₖ=1 y a₂ₖ₋₁=−1. Las subsucesiones constantes tienen límites distintos; por tanto, la sucesión completa no converge.

El razonamiento es concluyente porque usa selecciones infinitas y no solo dos grupos finitos de datos.

13 · Comprensión

Confusiones frecuentes

14 · Práctica y síntesis

Ejercicios de comprensión

Ejercicio 1: escribir subsucesiones

Para aₙ=1+(-1)ⁿ/n, calculá fórmulas para a₂ₖ y a₂ₖ₋₁.

Ejercicio 2: validar selecciones

Decidí cuáles definen subsucesiones: nₖ=k+5, nₖ=k², nₖ=10−k, nₖ=⌊k/2⌋.

Ejercicio 3: implementar cada tercer término

const regla = n => Math.cos(n * Math.PI / 3);
const subsucesion = Array.from({ length: 6 }, (_, i) => {
  const k = i + 1;
  const n = 3 * k;
  return { k, n, valor: regla(n) };
});
console.log(subsucesion);

Ejercicio 4: demostrar divergencia

Usá subsucesiones para justificar que aₙ=2+(−1)ⁿ no converge.

Ideas para recordar

En el próximo tema estudiaremos convergencia y divergencia, interpretando qué significa que los términos se acerquen a un valor.