Monotonía y acotación

01 · Punto de partida

Describir el comportamiento, no solo la fórmula

Las sucesiones n, 1/n, (−1)ⁿ y n/(n+1) tienen reglas sencillas, pero comportamientos muy distintos. La primera crece sin límite; la segunda disminuye sin hacerse negativa; la tercera oscila; la cuarta aumenta sin superar uno.

Dos propiedades permiten organizar estas diferencias:

• La monotonía pregunta si los términos avanzan siempre en la misma dirección.
• La acotación pregunta si existe un valor que no puedan superar o uno por debajo del cual no puedan caer.
• Son propiedades de todos los términos, no únicamente de una muestra.
• Pueden estudiarse por separado y luego combinarse.

02 · Definiciones

Sucesiones crecientes y decrecientes

Sea (aₙ) una sucesión. Comparamos cada término con el siguiente:

Creciente o no decreciente

aₙ₊₁ ≥ aₙ para todo índice permitido.

Estrictamente creciente

aₙ₊₁ > aₙ para todo índice.

Decreciente o no creciente

aₙ₊₁ ≤ aₙ para todo índice.

Estrictamente decreciente

aₙ₊₁ < aₙ para todo índice.

Una sucesión es monótona si es creciente o decreciente en sentido no estricto. La sucesión constante 4,4,4,… es simultáneamente creciente y decreciente, pero no es estrictamente ninguna de las dos.

03 · Criterio por diferencias

Estudiar el signo de aₙ₊₁ − aₙ

Restar términos consecutivos transforma una comparación en un análisis de signo:

Para aₙ=n/(n+1), con n≥1:

Como el denominador es positivo, la sucesión es estrictamente creciente.

function diferenciasConsecutivas(regla, inicio, cantidad) {
  return Array.from({ length: cantidad - 1 }, (_, i) => {
    const n = inicio + i;
    return { n, diferencia: regla(n + 1) - regla(n) };
  });
}

const regla = n => n / (n + 1);
console.log(diferenciasConsecutivas(regla, 1, 6));

El programa comprueba índices concretos; el cálculo algebraico demuestra el signo para todos.

04 · Criterio por cocientes

Comparar términos positivos mediante razones

Si aₙ>0, podemos estudiar aₙ₊₁/aₙ:

• Si el cociente es mayor que 1, entonces aₙ₊₁>aₙ.
• Si es igual a 1, los términos consecutivos coinciden.
• Si está entre 0 y 1, entonces aₙ₊₁<aₙ.

Para aₙ=3·0.8ⁿ, el cociente vale siempre 0.8, por lo que es estrictamente decreciente y positiva.

05 · Límites de los valores

Cotas superiores e inferiores

Un número M es una cota superior si aₙ≤M para todo n. Un número m es una cota inferior si m≤aₙ para todo n.

Una sucesión es acotada si posee ambas clases de cotas. Equivalentemente, existe K≥0 tal que |aₙ|≤K para todos sus términos.

Una cota no tiene que ser un término ni la mejor posible. Si 1 es cota superior de 1/n, también lo son 2, 10 y cualquier número mayor.

06 · Cotas y valores alcanzados

Cota, máximo y mínimo no son sinónimos

Un máximo es un término que domina a todos los demás; una cota superior puede no alcanzarse. Para aₙ=1−1/n, con n≥1, todos los términos son menores que 1, pero ninguno vale 1. Por tanto, 1 es cota superior y no es máximo.

La menor cota superior se llama supremo y la mayor cota inferior, ínfimo. Solo introducimos aquí la distinción; su estudio formal puede profundizarse más adelante.

07 · Clasificación conjunta

Monotonía y acotación son independientes

Ninguna propiedad implica por sí sola la otra. Una sucesión puede avanzar siempre en una dirección y escapar sin límite, o permanecer confinada mientras oscila.

08 · Demostración algebraica

Probar una cota transformando desigualdades

Para demostrar que aₙ=n/(n+1)<1, usamos que n+1>0:

La última desigualdad es verdadera para todo natural. Además n/(n+1)>0 si n≥1. Así, 0<aₙ<1.

Diseñar la prueba

1. 1
   Proponer una cota.

   Usar la fórmula, una tabla o un gráfico para conjeturarla.

2. 2
   Escribir la desigualdad.

   Expresar exactamente qué debe cumplirse.

3. 3
   Transformar con cuidado.

   Controlar signos al multiplicar o dividir.

4. 4
   Justificar para todo índice.

   No depender de una muestra finita.

09 · Sucesiones recursivas

Probar propiedades por inducción

Sea a₁=0 y aₙ₊₁=(aₙ+2)/2. Conjeturamos que 0≤aₙ<2. El primer término cumple la afirmación. Si 0≤aₙ<2, entonces:

En particular, el término siguiente sigue dentro de [0,2). Además:

Por lo tanto, es creciente y está acotada superiormente por 2. Este tipo de argumento será central al estudiar convergencia de recurrencias.

const terminos = [0];
for (let n = 1; n < 8; n += 1) {
  terminos.push((terminos[n - 1] + 2) / 2);
}
console.log(terminos);
console.log(terminos.every(valor => valor >= 0 && valor < 2));

10 · Exploración computacional

Diagnosticar una muestra finita

Podemos clasificar los términos generados, siempre informando que el resultado se refiere únicamente a la muestra.

function analizarMuestra(valores, tolerancia = 1e-10) {
  const diferencias = valores.slice(1).map((v, i) => v - valores[i]);
  return {
    creciente: diferencias.every(d => d >= -tolerancia),
    estrictamenteCreciente: diferencias.every(d => d > tolerancia),
    decreciente: diferencias.every(d => d <= tolerancia),
    estrictamenteDecreciente: diferencias.every(d => d < -tolerancia),
    minimoObservado: Math.min(...valores),
    maximoObservado: Math.max(...valores)
  };
}

const muestra = Array.from({ length: 10 }, (_, i) => (i + 1) / (i + 2));
console.log(analizarMuestra(muestra));

11 · Exploración interactiva

Laboratorio: dirección y bandas de acotación

Seleccioná una sucesión y modificá la cantidad de términos. Las líneas horizontales representan cotas conocidas; el diagnóstico describe solo la muestra visible.

Las bandas punteadas muestran cotas conocidas matemáticamente; los extremos observados corresponden solo a los términos dibujados.

Preguntas para explorar

1. ¿Por qué el máximo visible de n/(n+1) cambia, pero la cota superior 1 no?
2. ¿Puede una sucesión alternante estar acotada?
3. ¿Qué propiedad falla para n al aumentar la muestra?
4. Compará (−1)ⁿ con (−1)ⁿ/n: ambas oscilan, ¿qué cambia?

12 · Puente conceptual

Por qué importan estas propiedades

Una sucesión creciente y acotada superiormente no puede aumentar indefinidamente ni retroceder. Una sucesión decreciente y acotada inferiormente tampoco puede escapar hacia abajo. Un teorema fundamental establece que toda sucesión monótona y acotada converge.

La recíproca no es cierta: una sucesión convergente puede no ser monótona. Por ejemplo, (−1)ⁿ/n alterna, pero sus oscilaciones se hacen cada vez menores. La convergencia se desarrollará formalmente en el tema 7.

13 · Comprensión

Confusiones frecuentes

14 · Práctica y síntesis

Ejercicios de comprensión

Ejercicio 1: criterio por diferencias

Demostrá que aₙ=3−2/n, para n≥1, es creciente y está acotada superiormente por 3.

Ejercicio 2: clasificar

Clasificá 5−n, 2+1/n, sin(nπ/2) y n² según monotonía y acotación.

Ejercicio 3: muestra computacional

const termino = n => 3 - 2 / n;
const muestra = Array.from({ length: 8 }, (_, i) => termino(i + 1));
const diferencias = muestra.slice(1).map((valor, i) => valor - muestra[i]);

console.log(muestra);
console.log(diferencias);
console.log("Todos menores que 3:", muestra.every(valor => valor < 3));

Ejercicio 4: construir contraejemplos

Proponé una sucesión acotada no monótona y otra creciente no acotada.

Ideas para recordar

En el próximo tema estudiaremos subsucesiones y patrones internos, seleccionando índices para revelar comportamientos que pueden quedar ocultos en la sucesión completa.