Sucesiones aritméticas y geométricas

01 · Punto de partida

Dos maneras de repetir un cambio

Consideremos dos sucesiones:

En la primera se agregan siempre 3 unidades. En la segunda cada término es un 30 % mayor que el anterior, es decir, se multiplica por 1.3. Al comienzo parecen cercanas, pero sus mecanismos son diferentes: una tiene cambio aditivo constante y otra cambio multiplicativo constante.

• ¿Cómo reconocemos cada familia a partir de sus términos?
• ¿Cómo calculamos un término lejano sin generar los anteriores?
• ¿Qué efecto tienen una diferencia o razón negativa?
• ¿Cómo sumamos los primeros términos?
• ¿Qué modelo corresponde a un problema concreto?

02 · Cambio aditivo

Sucesiones aritméticas

Una sucesión es aritmética cuando existe una constante d tal que cada término, desde el segundo, se obtiene sumando d al anterior:

Equivalentemente, aₙ − aₙ₋₁ = d. El número d se llama diferencia común. Para a₁ = 7 y d = 4:

03 · Término general

Derivar la fórmula aritmética

Desde a₁ hasta aₙ realizamos n−1 incrementos:

Por lo tanto:

El factor n−1 no es arbitrario: cuenta cuántos pasos separan el primer término del término buscado. Si la sucesión comenzara en n=0, la fórmula sería aₙ=a₀+nd.

function terminoAritmetico(a1, diferencia, n) {
  if (!Number.isInteger(n) || n < 1) throw new RangeError("Índice inválido");
  return a1 + (n - 1) * diferencia;
}

console.log(terminoAritmetico(7, 4, 1));   // 7
console.log(terminoAritmetico(7, 4, 100)); // 403

04 · Reconocimiento

Verificar diferencias constantes

Para una lista finita calculamos diferencias consecutivas. Que las primeras coincidan sugiere un patrón, pero solo una regla general permite afirmar cómo continúa la sucesión infinita.

function analizarDiferencias(valores, tolerancia = 1e-10) {
  if (valores.length < 2) return { aritmetica: true, diferencia: null };
  const diferencias = valores.slice(1).map((valor, i) => valor - valores[i]);
  const d = diferencias[0];
  return {
    aritmetica: diferencias.every(actual => Math.abs(actual - d) <= tolerancia),
    diferencia: d,
    diferencias
  };
}

console.log(analizarDiferencias([2, 5, 8, 11, 14]));

La tolerancia contempla pequeñas diferencias de punto flotante. No debe elegirse tan grande que confunda valores realmente distintos.

05 · Cambio multiplicativo

Sucesiones geométricas

Una sucesión es geométrica cuando existe una constante r tal que:

r es la razón común. Si los términos anteriores son distintos de cero, se reconoce mediante gₙ/gₙ₋₁=r. Para g₁=3 y r=2 obtenemos 3, 6, 12, 24, ….

Una razón representa un factor, no un aumento absoluto. Multiplicar por 1.05 equivale a aumentar un 5 %; multiplicar por 0.8 conserva el 80 % y reduce un 20 %.

06 · Término general

Derivar la fórmula geométrica

Cada paso incorpora un factor r:

Después de n−1 pasos:

function terminoGeometrico(g1, razon, n) {
  if (!Number.isInteger(n) || n < 1) throw new RangeError("Índice inválido");
  return g1 * razon ** (n - 1);
}

console.log(terminoGeometrico(3, 2, 8));    // 384
console.log(terminoGeometrico(5, 0.5, 6));  // 0.15625

La potencia permite acceso directo, aunque para índices enormes puede producir desbordamiento hacia Infinity o subdesbordamiento hacia cero en aritmética de punto flotante.

07 · Comportamiento geométrico

Qué cambia al modificar la razón

Estas observaciones anticipan monotonía, acotación y convergencia, propiedades que formalizaremos en los próximos temas.

08 · Acumulación

Sumar los primeros n términos

Suma aritmética

Al emparejar el primero con el último, el segundo con el penúltimo, cada pareja suma a₁+aₙ. La fórmula es:

Suma geométrica finita

Si r≠1, restar Sₙ de rSₙ cancela los términos intermedios:

Para r=1, todos los términos valen g₁ y Sₙ=ng₁. Estas son sumas finitas; todavía no afirmamos nada sobre una suma infinita.

const sumaAritmetica = (a1, d, n) => n * (2 * a1 + (n - 1) * d) / 2;
const sumaGeometrica = (g1, r, n) =>
  r === 1 ? n * g1 : g1 * (1 - r ** n) / (1 - r);

console.log(sumaAritmetica(2, 3, 10));  // 155
console.log(sumaGeometrica(3, 2, 5));   // 93

09 · Interpretación

Elegir entre modelo lineal y exponencial

«Aumenta 10 cada mes» describe una diferencia d=10. «Aumenta 10 % cada mes» describe una razón r=1.10. Confundir unidades con porcentajes cambia por completo el modelo.

10 · Implementación confiable

Comparar sin exigir igualdad exacta

Al verificar razones o diferencias decimales, los errores de punto flotante pueden impedir una igualdad exacta. Conviene comparar con tolerancia relativa:

function casiIguales(a, b, tolerancia = 1e-10) {
  const escala = Math.max(1, Math.abs(a), Math.abs(b));
  return Math.abs(a - b) <= tolerancia * escala;
}

const valores = [0.1, 0.2, 0.3];
const diferencias = valores.slice(1).map((v, i) => v - valores[i]);
console.log(diferencias);
console.log(casiIguales(diferencias[0], diferencias[1])); // true

Para crecimiento geométrico muy grande, puede ser preferible trabajar con logaritmos si solo necesitamos comparar magnitudes. El curso de cálculo numérico profundizará estas decisiones.

11 · Exploración interactiva

Laboratorio: sumar o multiplicar

Alterná entre familias, cambiá el valor inicial y el parámetro. El gráfico y la suma se actualizan para los términos visibles.

Cada punto es un término. Los tallos relacionan el valor con su índice y no agregan valores intermedios.

Preguntas para explorar

1. ¿Qué forma adopta la aritmética con d=0?
2. En la geométrica, compará r=0.5, r=1 y r=1.5.
3. Usá una razón negativa: ¿qué sucede con signos y magnitudes?
4. ¿Por qué la suma puede crecer aunque algunos términos sean negativos?

12 · Comprensión

Confusiones frecuentes

13 · Práctica guiada

Ejercicios de comprensión

Ejercicio 1: sucesión aritmética

Para a₁=12 y d=−2.5, escribí la fórmula, calculá a₁₅ y la suma de los primeros 15 términos.

Ejercicio 2: sucesión geométrica

Una cantidad comienza en 800 y conserva el 75 % en cada período. Escribí la regla y calculá el sexto término.

Ejercicio 3: reconocer el modelo

Clasificá: 4,9,14,19; 4,12,36,108; 1,4,9,16.

Ejercicio 4: implementar ambas fórmulas

const aritmetica = (a1, d, n) => a1 + (n - 1) * d;
const geometrica = (g1, r, n) => g1 * r ** (n - 1);

const indices = [1, 2, 3, 4, 5];
console.log(indices.map(n => aritmetica(4, 3, n)));
console.log(indices.map(n => geometrica(4, 3, n)));

14 · Síntesis

Ideas para recordar

En el próximo tema estudiaremos monotonía y acotación, propiedades que permiten describir con precisión si una sucesión aumenta, disminuye y permanece dentro de ciertos límites.