Series geométricas

01 · Patrón multiplicativo

Acumular cantidades que cambian por un factor fijo

Muchas secuencias computacionales disminuyen, crecen o alternan multiplicando repetidamente por una misma constante. Al acumular sus términos aparece una serie geométrica:

El parámetro a es el término inicial y r es la razón. Esta estructura modela descuentos sucesivos, rebotes, errores contractivos, decaimiento, cuotas, niveles de detalle y costos de algoritmos.

• ¿Cómo reconocer una serie geométrica?
• ¿Cómo sumar una cantidad finita de sus términos?
• ¿Para qué valores de r existe una suma infinita?
• ¿Cómo controlar el error al truncar?
• ¿Cómo implementar la suma sin perder estabilidad numérica?

02 · Definición

Cómo reconocer una serie geométrica

Una serie es geométrica cuando cada término se obtiene multiplicando el anterior por una constante:

Si se comienza en n=0, el término general es aₙ=arⁿ y la serie se escribe:

La razón debe ser constante. Que los términos disminuyan no alcanza para que la serie sea geométrica.

03 · Fórmula finita

Sumar N términos sin recorrerlos

Tomemos exactamente N términos, desde el exponente 0 hasta el N−1:

Si r≠1, su suma es:

Si r=1, todos los términos valen a y Sₙ=Na. Esta excepción evita dividir por cero.

function sumaGeometricaFinita(a, r, cantidad) {
  if (!Number.isInteger(cantidad) || cantidad < 0) throw new RangeError("La cantidad debe ser un entero no negativo");
  if (cantidad === 0) return 0;
  if (r === 1) return a * cantidad;
  return a * (1 - r ** cantidad) / (1 - r);
}

console.log(sumaGeometricaFinita(3, 0.5, 8));
console.log(sumaGeometricaFinita(5, -2, 6));
console.log(sumaGeometricaFinita(4, 1, 10));

04 · Deducción algebraica

Multiplicar, desplazar y restar

La fórmula finita surge de una cancelación ordenada. Partimos de:

Multiplicamos por r:

Al restar la segunda igualdad de la primera, los términos intermedios desaparecen:

Dividir por 1−r produce la fórmula. La deducción se realiza siempre con una suma finita; todavía no manipulamos directamente una cantidad infinita de términos.

05 · Paso al límite

La fórmula de la suma infinita

Cuando |r|<1, la sucesión geométrica rᴺ tiende a cero. Entonces:

Por definición de convergencia de una serie:

La fórmula no es una sustitución formal de «infinito» en N; es el resultado de calcular un límite de sumas parciales.

06 · Clasificación completa

Qué ocurre para cada valor de r

Si a=0, todos los términos son cero y la serie converge trivialmente a cero para cualquier razón. Habitualmente se supone a≠0 al clasificar.

07 · Razón entre 0 y 1

Aproximación monótona al total

Si a>0 y 0<r<1, todos los términos son positivos. Las sumas parciales crecen y permanecen por debajo de la suma:

Para a=1 y r=1/2, obtenemos 1, 1,5, 1,75, 1,875, …, aproximaciones por defecto a 2.

La separación respecto de la suma disminuye en el mismo factor r en cada paso. Esta regularidad hace posible anticipar cuántos términos serán necesarios.

08 · Razón negativa

Convergencia con oscilación

Si −1<r<0, los términos alternan de signo, pero su magnitud disminuye. Por ejemplo:

Las sumas parciales saltan a ambos lados del límite con amplitud decreciente. La oscilación no impide converger cuando se va amortiguando.

function sumasParcialesGeometricas(a, r, cantidad) {
  let termino = a;
  let suma = 0;
  return Array.from({ length: cantidad }, (_, paso) => {
    suma += termino;
    const dato = { paso: paso + 1, termino, suma };
    termino *= r;
    return dato;
  });
}

console.log(sumasParcialesGeometricas(1, -0.5, 10));

09 · Fuera del intervalo

Por qué diverge cuando |r|≥1

El término general es aₙ=arⁿ. Si a≠0 y |r|≥1, ese término no tiende a cero:

• Con r=1, permanece igual a a.
• Con r=−1, alterna entre a y −a.
• Con |r|>1, su magnitud crece.

La condición necesaria del tema anterior demuestra inmediatamente la divergencia. La expresión a/(1−r) puede producir un número algebraico aun en estos casos, pero ese número no es la suma de la serie.

10 · Índices y reescritura

La serie puede comenzar en otro lugar

Si la serie comienza en n=k:

También puede presentarse con exponentes desplazados:

La forma más segura es escribir los primeros términos, identificar el término inicial efectivo y verificar la razón entre términos consecutivos.

11 · Error exacto

El resto después de N términos

Para una serie convergente que empieza en exponente cero, después de sumar N términos faltan los exponentes desde N en adelante:

Por lo tanto, el error absoluto exacto es:

Con razón negativa, el resto conserva signo y describe de qué lado del límite quedó la suma parcial. Su magnitud sigue estando dada por la fórmula anterior.

function aproximacionGeometrica(a, r, cantidad) {
  if (Math.abs(r) >= 1) throw new RangeError("La serie infinita no converge");
  const suma = a / (1 - r);
  const parcial = cantidad === 0 ? 0 : a * (1 - r ** cantidad) / (1 - r);
  return { cantidad, parcial, suma, resto: suma - parcial };
}

console.log([4, 8, 16].map(N => aproximacionGeometrica(1, 0.5, N)));

12 · Diseño por tolerancia

Cuántos términos necesitamos

Queremos que |Rₙ|<ε. Para 0<|r|<1:

Despejando con logaritmos y recordando que ln|r|<0:

En una implementación conviene calcular un candidato entero y verificar la desigualdad para evitar errores de redondeo.

function terminosParaError(a, r, epsilon) {
  if (!(epsilon > 0) || !(Math.abs(r) < 1) || r === 0) {
    if (r === 0 && epsilon > 0) return 1;
    throw new RangeError("Parámetros fuera del caso geométrico convergente");
  }
  let N = Math.max(0, Math.ceil(Math.log(epsilon * Math.abs(1 - r) / Math.abs(a)) / Math.log(Math.abs(r))));
  while (Math.abs(a) * Math.abs(r) ** N / Math.abs(1 - r) >= epsilon) N += 1;
  return N;
}

for (const epsilon of [1e-2, 1e-6, 1e-12]) {
  console.log({ epsilon, terminos: terminosParaError(1, 0.5, epsilon) });
}

13 · Aplicación exacta

Decimales periódicos como series

El decimal 0,333… puede escribirse como:

Es una serie geométrica con a=3/10 y r=1/10:

Del mismo modo, 0,999…=9/10+9/100+···=1. No es «casi 1»: representa exactamente el límite 1.

Para un bloque periódico más largo, el factor geométrico será una potencia de 10 correspondiente a la cantidad de cifras del período.

14 · Modelos

Rebotes, descuentos y costos recursivos

El modelo infinito suele ser una idealización útil. En una computadora o sistema físico hay límites de resolución, tiempo, energía o cantidad de iteraciones.

15 · Cómputo numérico

Fórmula cerrada o suma iterativa

La fórmula cerrada requiere tiempo constante, mientras que recorrer N términos requiere tiempo lineal. Sin embargo, cerca de r=1, la resta 1−rᴺ puede perder precisión.

function sumaIterativa(a, r, cantidad) {
  let termino = a;
  let suma = 0;
  for (let i = 0; i < cantidad; i += 1) {
    suma += termino;
    termino *= r;
  }
  return suma;
}

const caso = { a: 2, r: 0.999, cantidad: 10000 };
console.log({
  iterativa: sumaIterativa(caso.a, caso.r, caso.cantidad),
  cerrada: sumaGeometricaFinitaLocal(caso.a, caso.r, caso.cantidad)
});

function sumaGeometricaFinitaLocal(a, r, cantidad) {
  return r === 1 ? a * cantidad : a * (1 - r ** cantidad) / (1 - r);
}

Para aplicaciones exigentes pueden usarse transformaciones con Math.expm1 y Math.log1p, sumas compensadas o aritmética de mayor precisión. La elección depende de la escala y tolerancia del problema.

16 · Exploración interactiva

Laboratorio: modificar la razón

Ajustá a, r y la cantidad de términos. Observá cómo las sumas parciales convergen, oscilan o se alejan.

Los puntos representan sumas parciales; la línea discontinua representa la suma infinita cuando existe.

17 · Comprensión

Confusiones frecuentes

18 · Práctica y síntesis

Ejercicios de comprensión

Ejercicio 1: identificar y sumar

Calculá la suma de 6+2+2/3+2/9+···.

Ejercicio 2: razón negativa

Determiná si 4−6+9−13,5+··· converge.

Ejercicio 3: índice desplazado

Calculá ∑(1/3)ⁿ desde n=2 hasta infinito.

Ejercicio 4: verificar el resto

Para ∑2(1/4)ⁿ desde n=0, calculá la suma parcial de seis términos y su error exacto mediante JavaScript.

const a = 2;
const r = 1 / 4;
const N = 6;
const sumaInfinita = a / (1 - r);
const sumaParcial = a * (1 - r ** N) / (1 - r);
const resto = a * r ** N / (1 - r);

console.log({ sumaParcial, sumaInfinita, resto, verificacion: sumaInfinita - sumaParcial });

Ideas para recordar

En el próximo tema estudiaremos series telescópicas, donde la convergencia se descubre al descomponer y cancelar términos de las sumas parciales.