Series telescópicas

01 · Cancelación estructurada

Una suma extensa que se reduce a sus bordes

Algunas series parecen difíciles porque sus términos son fracciones o expresiones complicadas. Sin embargo, al reescribir cada término como una diferencia, aparecen cancelaciones sucesivas:

Los términos interiores aparecen una vez con signo positivo y otra con signo negativo. La suma se «cierra» como un telescopio y quedan solo los extremos.

• ¿Cómo reconocer una estructura telescópica oculta?
• ¿Qué términos sobreviven a la cancelación?
• ¿La cancelación garantiza convergencia?
• ¿Cómo se calcula exactamente el resto?
• ¿Cómo comprobar el patrón mediante programación?

02 · Forma básica

El término como diferencia consecutiva

Una serie es telescópica cuando su término general puede expresarse, de manera directa o después de una transformación, como:

La suma parcial desde n=1 hasta N es:

b₁

Borde inicial que no encuentra término anterior para cancelarse.

bₙ₊₁

Borde final de la suma parcial.

Términos interiores

Aparecen con ambos signos y desaparecen.

Límite

Determina qué ocurre con el borde móvil.

03 · Suma parcial explícita

Ver la cancelación antes de usar una fórmula

Para evitar errores de índices conviene escribir varias componentes:

Después de cancelar −b₂+b₂, −b₃+b₃ y −b₄+b₄, resulta:

El último subíndice es N+1, no N. Escribir una suma parcial pequeña permite detectar este desplazamiento antes de generalizar.

04 · Condición de convergencia

El destino del término de borde

Si bₙ→L, entonces bₙ₊₁→L y:

La cancelación simplifica las sumas parciales, pero no garantiza por sí sola que exista un límite finito. Si bₙ no converge, el borde móvil puede oscilar o crecer y la serie diverge.

05 · Ejemplo fundamental

La serie de 1/[n(n+1)]

La identidad clave es:

Por lo tanto:

Como 1/(N+1)→0, la serie converge a 1.

function sumaParcialFundamental(N) {
  let iterativa = 0;
  for (let n = 1; n <= N; n += 1) iterativa += 1 / (n * (n + 1));
  return { N, iterativa, cerrada: 1 - 1 / (N + 1), resto: 1 / (N + 1) };
}

console.log([5, 50, 500].map(sumaParcialFundamental));

06 · Herramienta algebraica

Descomposición en fracciones simples

La forma telescópica suele estar oculta en una fracción racional. Buscamos constantes A y B tales que:

Multiplicando por n(n+1):

Al comparar coeficientes obtenemos A=1 y B=−1. No es una aproximación: ambas expresiones son idénticas para cada índice permitido.

1. 1
   Factorizar.

   Identificá los factores del denominador.

2. 2
   Proponer.

   Escribí la suma de fracciones más simples.

3. 3
   Resolver.

   Calculá las constantes comparando numeradores.

4. 4
   Expandir.

   Escribí varios términos para confirmar la cancelación.

07 · Fórmula general

Dos factores lineales separados

Para constantes p≠q:

La separación q−p determina tanto el factor exterior como la cantidad de cadenas de cancelación que pueden quedar.

Por ejemplo:

Aquí el desplazamiento es 2. No queda un solo término inicial y uno final, sino dos de cada lado.

08 · Cancelación con salto

Cuando aparece bₙ−bₙ₊ₖ

Si aₙ=bₙ−bₙ₊ₖ, la suma parcial es:

Para la serie anterior, comenzando en n=1:

Al tomar límite, la suma es 1/2+1/3=5/6.

09 · Orientación de la diferencia

También puede telescopar en sentido inverso

Si el término es aₙ=bₙ₊₁−bₙ, entonces:

Si bₙ→L, la serie converge a L−b₁. El orden de la resta cambia el signo del resultado.

Por ejemplo, con bₙ=1/n:

Comprobar los primeros términos evita trasladar mecánicamente una fórmula con el signo equivocado.

10 · Cancelación sin convergencia

Telescópica no significa necesariamente convergente

Consideremos:

Las sumas parciales se cancelan perfectamente:

Como ln(N+1)→∞, la serie diverge. Además, cada término puede escribirse como ln(1+1/n) y tiende a cero, confirmando que la condición necesaria no era suficiente.

function bordeLogaritmico(N) {
  let suma = 0;
  for (let n = 1; n <= N; n += 1) suma += Math.log(n + 1) - Math.log(n);
  return { N, suma, borde: Math.log(N + 1), ultimoTermino: Math.log(1 + 1 / N) };
}

console.log([10, 1000, 100000].map(bordeLogaritmico));

11 · Más transformaciones

Racionalización e identidades

No todas las diferencias aparecen mediante fracciones simples. La racionalización puede revelar una diferencia:

La suma parcial vale √(N+1)−1 y diverge a infinito. Nuevamente, la cancelación no garantiza una suma finita.

En cambio:

telescopa directamente y su serie desde n=1 converge a 1, porque el borde final 1/(N+1)² tiende a cero.

12 · Error exacto

El resto también telescopa

Si aₙ=bₙ−bₙ₊₁, bₙ→L y la serie comienza en 1, entonces la suma es S=b₁−L. Como Sₙ=b₁−bₙ₊₁:

Para 1/[n(n+1)], tenemos bₙ=1/n y L=0, de modo que:

La fórmula permite diseñar el truncamiento: para lograr Rₙ<ε, basta elegir N>1/ε−1.

13 · Control de índices

Comenzar en un índice diferente

Si la serie comienza en n=m:

Por ejemplo:

Los términos anteriores no forman parte de la serie. Usar automáticamente b₁ daría una respuesta incorrecta.

14 · Implementación

Comparar acumulación y fórmula cerrada

Una implementación puede calcular cada sumando o evaluar directamente los bordes. Comparar ambos resultados sirve para probar la transformación algebraica.

function compararTelescopica(b, inicio, fin) {
  let acumulada = 0;
  for (let n = inicio; n <= fin; n += 1) acumulada += b(n) - b(n + 1);
  const bordes = b(inicio) - b(fin + 1);
  return { inicio, fin, acumulada, bordes, diferencia: acumulada - bordes };
}

console.log(compararTelescopica(n => 1 / n, 1, 1000));
console.log(compararTelescopica(n => 1 / n ** 2, 4, 1000));

La diferencia debería ser cercana a cero, pero no necesariamente idéntica por redondeo. La fórmula de bordes utiliza menos operaciones y suele acumular menos error.

15 · Estabilidad numérica

Cancelación algebraica y cancelación numérica

La cancelación algebraica es exacta. En coma flotante, restar números casi iguales puede perder cifras significativas. Por ejemplo, evaluar √(n+1)−√n para un n enorme puede ser menos estable que usar:

Ambas fórmulas son matemáticamente iguales, pero no siempre producen la misma precisión numérica.

function compararRacionalizacion(n) {
  const restaDirecta = Math.sqrt(n + 1) - Math.sqrt(n);
  const formaRacionalizada = 1 / (Math.sqrt(n + 1) + Math.sqrt(n));
  return { n, restaDirecta, formaRacionalizada, diferencia: restaDirecta - formaRacionalizada };
}

console.log(compararRacionalizacion(1e12));
console.log(compararRacionalizacion(1e16));

16 · Exploración interactiva

Laboratorio: seguir el término de borde

Elegí una serie y aumentá N. El gráfico muestra sus sumas parciales y, cuando existe, el límite esperado.

Cada punto representa una suma parcial obtenida después de agregar un nuevo término.

17 · Comprensión

Confusiones frecuentes

18 · Práctica y síntesis

Ejercicios de comprensión

Ejercicio 1: cancelación básica

Calculá ∑[1/(n+2)−1/(n+3)] desde n=1 hasta infinito.

Ejercicio 2: fracciones simples

Calculá ∑2/[n(n+2)] desde n=1.

Ejercicio 3: decidir convergencia

Analizá ∑[(n+1)²−n²] desde n=1.

Ejercicio 4: verificación computacional

Compará la acumulación de 1/n³−1/(n+1)³ con su fórmula de bordes para distintos valores de N.

function verificar(N) {
  let suma = 0;
  for (let n = 1; n <= N; n += 1) suma += 1 / n ** 3 - 1 / (n + 1) ** 3;
  const formula = 1 - 1 / (N + 1) ** 3;
  return { N, suma, formula, error: suma - formula };
}

console.log([10, 100, 1000].map(verificar));

Ideas para recordar

En el próximo tema estudiaremos la serie armónica y las series p, modelos esenciales para comparar ritmos de decrecimiento y distinguir convergencia de divergencia.