Serie armónica y series p

01 · Modelo de frontera

¿Qué tan rápido debe disminuir un término?

Sabemos que una serie solo puede converger si su término general tiende a cero. Sin embargo, diferentes velocidades de disminución producen resultados opuestos.

La familia

permite estudiar esa frontera con un único parámetro. Cuando p=1 obtenemos la serie armónica, el ejemplo clásico de términos que llegan a cero demasiado lentamente.

• ¿Por qué diverge la serie armónica?
• ¿Por qué su divergencia es tan difícil de observar numéricamente?
• ¿Qué cambia cuando el exponente supera 1?
• ¿Cómo estimar el resto de una serie p convergente?
• ¿Por qué estas series son modelos de comparación fundamentales?

02 · Definición

La serie armónica

La serie armónica es:

Su suma parcial de orden N se denomina número armónico:

Los primeros valores son H₁=1, H₂=1,5, H₄≈2,0833 y H₁₀≈2,9290. Como todos los términos son positivos, las sumas parciales crecen. La pregunta es si permanecen acotadas.

03 · Advertencia lógica

Los términos tienden a cero, pero la serie diverge

Se cumple:

Por lo tanto, la serie armónica supera la condición necesaria del tema 15. Pero esto solo hace que la prueba del término general sea inconclusa.

Confundir ambos comportamientos es uno de los errores más importantes en el estudio de series.

04 · Demostración clásica

Agrupar por potencias de dos

Organizamos los términos en bloques de tamaños 1, 2, 4, 8, …:

En el bloque que va desde 2ᵏ+1 hasta 2ᵏ⁺¹ hay 2ᵏ términos, y cada uno es al menos 1/2ᵏ⁺¹. Por eso el bloque suma al menos:

Después de K bloques, la suma parcial ha agregado al menos K/2. Como pueden formarse tantos bloques como se quiera, las sumas parciales no están acotadas y la serie diverge.

05 · Verificación computacional

Medir los bloques armónicos

Un programa permite observar que cada bloque conserva una contribución cercana a ln 2≈0,6931, siempre mayor que la cota sencilla 1/2.

function bloqueArmonico(k) {
  const inicio = 2 ** k + 1;
  const fin = 2 ** (k + 1);
  let suma = 0;
  for (let n = inicio; n <= fin; n += 1) suma += 1 / n;
  return { k, inicio, fin, terminos: fin - inicio + 1, suma };
}

console.log([1, 2, 3, 4, 5, 10, 15].map(bloqueArmonico));

La salida ilustra la demostración, pero la prueba matemática es la cota válida para todos los bloques, no una colección finita de mediciones.

06 · Crecimiento logarítmico

Una divergencia extremadamente lenta

Los números armónicos satisfacen:

Más precisamente:

donde γ≈0,57721 es la constante de Euler–Mascheroni. Esto explica por qué una simulación puede aparentar estabilización.

07 · Familia general

Las series p

Para un número real p, definimos:

Su clasificación completa es:

08 · Lado divergente

Por qué diverge cuando 0<p≤1

En el bloque desde 2ᵏ hasta 2ᵏ⁺¹−1 hay 2ᵏ términos. Cada uno es al menos 1/(2ᵏ⁺¹)ᵖ, así que la suma del bloque cumple:

Si p=1, la cota vale 1/2. Si 0<p<1, incluso crece con k. En ninguno de los dos casos las contribuciones de los bloques tienden a cero, por lo que la serie diverge.

Para p≤0 no hace falta agrupar: el término 1/nᵖ no tiende a cero.

09 · Lado convergente

Por qué converge cuando p>1

Usamos los mismos bloques. En el bloque desde 2ᵏ hasta 2ᵏ⁺¹−1, cada término es como máximo 1/(2ᵏ)ᵖ. Entonces:

Como p>1, la razón 2¹⁻ᵖ está entre 0 y 1. Las cotas de los bloques forman una serie geométrica convergente, de modo que las sumas parciales de la serie p quedan acotadas.

Además son crecientes porque sus términos son positivos. Una sucesión creciente y acotada converge; por eso converge la serie.

10 · Sensibilidad del exponente

Una frontera abrupta en p=1

Los términos 1/n y 1/n¹·⁰¹ parecen casi idénticos para índices moderados, pero sus series tienen comportamientos opuestos.

Que una serie converja no implica que sea eficiente aproximarla sumando términos. Cerca de la frontera pueden requerirse cantidades enormes de operaciones.

11 · Sumas conocidas

La función zeta en los reales mayores que uno

Para p>1, la suma se denota mediante la función zeta de Riemann:

Algunos valores poseen fórmulas cerradas:

La convergencia puede demostrarse sin conocer el valor exacto. Decidir si existe una suma y calcular esa suma son problemas diferentes.

12 · Exploración programada

Comparar sumas parciales para distintos exponentes

function sumaParcialP(p, N) {
  let suma = 0;
  for (let n = 1; n <= N; n += 1) suma += 1 / n ** p;
  return suma;
}

for (const N of [10, 1000, 100000]) {
  console.log({
    N,
    p05: sumaParcialP(0.5, N),
    p1: sumaParcialP(1, N),
    p2: sumaParcialP(2, N)
  });
}

Para p=2 los valores se aproximan a π²/6. Para p=1 siguen creciendo lentamente, y para p=0,5 el crecimiento es mucho más visible.

13 · Error de truncamiento

Acotar la cola cuando p>1

Para la función positiva y decreciente f(x)=1/xᵖ, la comparación con áreas de rectángulos proporciona:

donde Rₙ=∑ₙ₊₁^∞1/nᵖ. Esta cota anticipa el criterio integral, que se estudiará más adelante.

Para p=2:

function cotaRestoP(p, N) {
  if (!(p > 1) || !Number.isInteger(N) || N < 1) throw new RangeError("Se requiere p > 1 y N entero positivo");
  return {
    inferior: 1 / ((p - 1) * (N + 1) ** (p - 1)),
    superior: 1 / ((p - 1) * N ** (p - 1))
  };
}

console.log({ p2: cotaRestoP(2, 1000), p3: cotaRestoP(3, 1000) });

14 · Planificación computacional

Elegir N a partir de una tolerancia

Para garantizar Rₙ<ε basta imponer sobre la cota superior:

Una elección suficiente es:

Cuando p está apenas por encima de 1, el exponente 1/(p−1) es enorme. La serie converge matemáticamente, pero la suma directa puede ser inviable.

function terminosSuficientesP(p, epsilon) {
  if (!(p > 1) || !(epsilon > 0)) throw new RangeError("Se requiere p > 1 y epsilon positivo");
  const umbral = (1 / ((p - 1) * epsilon)) ** (1 / (p - 1));
  return Number.isFinite(umbral) ? Math.floor(umbral) + 1 : Infinity;
}

for (const p of [2, 3, 1.5, 1.1]) {
  console.log({ p, epsilon: 1e-6, N: terminosSuficientesP(p, 1e-6) });
}

15 · Reconocer el modelo

Constantes, desplazamientos y términos iniciales

Multiplicar por una constante no nula cambia la suma, pero no la convergencia:

Del mismo modo, eliminar una cantidad finita de términos o comenzar en otro índice no altera la clasificación. Las expresiones con desplazamientos, como 1/(n+5)ᵖ, poseen la misma cola esencial.

El próximo tema formalizará estas intuiciones mediante desigualdades de comparación.

16 · Exploración interactiva

Laboratorio: mover el exponente p

Modificá p y la cantidad de términos. Observá el término final, la suma parcial y la clasificación teórica.

La curva representa las sumas parciales en una selección de índices hasta N.

17 · Comprensión

Confusiones frecuentes

18 · Práctica y síntesis

Ejercicios de comprensión

Ejercicio 1: clasificar exponentes

Decidí la convergencia de las series con p=3/2, p=1, p=0,8 y p=−2.

Ejercicio 2: desenmascarar una raíz

Clasificá ∑1/∛(n²).

Ejercicio 3: estimar el resto

Después de sumar 1000 términos de ∑1/n², acotá el error.

Ejercicio 4: observar la divergencia

Calculá Hₙ−ln N para índices crecientes y comparalo con la constante de Euler–Mascheroni.

function armonico(N) {
  let suma = 0;
  for (let n = 1; n <= N; n += 1) suma += 1 / n;
  return suma;
}

const gamma = 0.5772156649015329;
console.log([10, 1000, 100000].map(N => {
  const diferencia = armonico(N) - Math.log(N);
  return { N, diferencia, errorRespectoGamma: diferencia - gamma };
}));

Ideas para recordar

En el próximo tema utilizaremos el criterio de comparación directa para acotar series positivas mediante modelos conocidos, especialmente series geométricas y series p.