Criterio de comparación directa

01 · Idea inicial

Decidir sin calcular la suma exacta

Muchas series no tienen una fórmula sencilla para sus sumas parciales. Aun así, podemos decidir su convergencia comparando el tamaño de cada término con una serie cuyo comportamiento ya conocemos.

La estrategia es similar al análisis de rendimiento de un algoritmo: si un costo está siempre por debajo de otro costo total finito, también queda controlado; si está por encima de uno que crece sin límite, tampoco puede permanecer acotado.

• ¿En qué dirección debe escribirse la desigualdad?
• ¿Qué series sirven como modelos de referencia?
• ¿Cómo se construyen cotas útiles?
• ¿Qué ocurre si la desigualdad solo vale desde cierto índice?
• ¿Qué comparaciones no permiten concluir nada?

02 · Contexto

Series de términos no negativos

El criterio directo se formula para términos no negativos. Si aₙ≥0, sus sumas parciales:

forman una sucesión creciente. Por eso solo existen dos posibilidades:

Esta propiedad permite trasladar desigualdades entre términos a desigualdades entre sumas parciales.

03 · Comparación superior

Parte convergente del criterio

Supongamos que, para índices suficientemente grandes:

Si ∑bₙ converge, entonces ∑aₙ también converge.

aₙ

Término de la serie que queremos estudiar.

bₙ

Cota superior perteneciente a una serie conocida.

No negatividad

Permite ordenar correctamente las sumas parciales.

Conclusión

La serie menor hereda la convergencia de la mayor.

04 · Demostración

Sumas parciales crecientes y acotadas

Si la desigualdad vale desde el primer término, al sumar desde 1 hasta N obtenemos:

Como ∑bₙ converge, sus sumas parciales están acotadas: existe M tal que Bₙ≤M. Entonces Aₙ≤M.

La sucesión (Aₙ) es creciente por la no negatividad de los términos y está acotada por M. Por el teorema de convergencia monótona, Aₙ converge.

05 · Comparación inferior

Parte divergente del criterio

Supongamos que, para índices suficientemente grandes:

Si ∑bₙ diverge, entonces ∑aₙ también diverge.

La serie estudiada contiene, término a término, al menos tanta cantidad como una serie que ya acumula sin cota. No puede tener una suma finita.

06 · Demostración

La serie mayor supera cualquier cota

Al sumar las desigualdades:

Como ∑bₙ es una serie de términos no negativos divergente, Bₙ→+∞. Dado cualquier número M, existe un índice para el cual Bₙ>M. Entonces también Aₙ>M.

Por lo tanto, las sumas parciales de ∑aₙ no están acotadas y la serie diverge.

07 · Orientación

La tabla que evita conclusiones invertidas

Ser menor que algo infinito no obliga a ser infinito. Ser mayor que algo finito tampoco obliga a ser finito.

08 · Desigualdad eventual

No hace falta comparar los primeros términos

El criterio sigue siendo válido si la desigualdad comienza en algún índice N₀. Agregar o quitar una cantidad finita de términos no modifica la convergencia.

Esta flexibilidad es esencial: muchas desigualdades simples solo son ciertas cuando n es suficientemente grande.

Los términos iniciales sí cambian el valor de la suma, pero no deciden si la suma existe.

09 · Biblioteca de referencia

Series conocidas para comparar

La habilidad central no consiste en memorizar muchas series, sino en transformar el término para relacionarlo con unos pocos modelos robustos.

10 · Ejemplo convergente

Acotar mediante una serie p

Estudiemos:

Como n²+1≥n² y los denominadores son positivos, al invertir se revierte la desigualdad:

La serie ∑1/n² converge porque es una serie p con p=2>1. Por comparación directa, la serie original converge.

function verificarCotaConvergente(hasta) {
  let maximaDiferencia = -Infinity;
  let cumple = true;
  for (let n = 1; n <= hasta; n += 1) {
    const a = 1 / (n ** 2 + 1);
    const b = 1 / n ** 2;
    maximaDiferencia = Math.max(maximaDiferencia, a - b);
    if (!(0 <= a && a <= b)) cumple = false;
  }
  return { hasta, cumple, maximaDiferencia };
}

console.log(verificarCotaConvergente(100000));

11 · Ejemplo divergente

Encontrar una cota armónica inferior

Consideremos:

Para n≥1, se cumple n²+1≤2n². Al dividir n por denominadores positivos:

La serie ∑1/(2n) es la mitad de la armónica y diverge. Como la serie original es todavía mayor, también diverge.

12 · Dominación exponencial

Comparar con una serie geométrica

Para la serie:

tenemos 3ⁿ+2≥3ⁿ, por lo que:

La serie de la derecha es geométrica con razón 1/3 y converge. En consecuencia, la serie original converge.

function compararParciales(reglaA, reglaB, indices) {
  let sumaA = 0;
  let sumaB = 0;
  const resultados = [];
  const maximo = Math.max(...indices);
  for (let n = 1; n <= maximo; n += 1) {
    sumaA += reglaA(n);
    sumaB += reglaB(n);
    if (indices.includes(n)) resultados.push({ n, sumaA, sumaB });
  }
  return resultados;
}

console.log(compararParciales(n => 1 / (3 ** n + 2), n => 1 / 3 ** n, [5, 10, 20]));

13 · Técnica algebraica

Cómo construir desigualdades útiles

Para expresiones positivas, algunas operaciones aparecen repetidamente:

1. 1
   Conservar términos dominantes.

   n²+4n+7≥n², por lo que su recíproco es menor que 1/n².

2. 2
   Acotar coeficientes.

   Para n≥1, 3n+2≤5n.

3. 3
   Factorizar potencias.

   Extraer nᵖ revela una posible serie p.

4. 4
   Controlar el signo.

   Solo se invierten desigualdades cuando los denominadores son positivos.

La cota no necesita ser ajustada. Necesita ser verdadera, simple y estar orientada hacia un modelo que permita concluir.

14 · Factores inofensivos

Las constantes positivas no cambian la clasificación

Si ∑bₙ converge y C>0, entonces ∑Cbₙ converge. Si diverge, multiplicarla por C>0 conserva la divergencia.

Por eso son igualmente útiles cotas como:

La primera domina mediante una serie p convergente; la segunda proporciona una fracción positiva de la armónica divergente.

15 · Límites del criterio

Comparaciones verdaderas que no sirven

La desigualdad 1/n²≤1/n es correcta, pero usar la armónica como cota superior no demuestra la convergencia de ∑1/n². Una cantidad menor que una divergente puede converger o divergir.

También 1/n≤1/√n, y ambas series divergen. La comparación superior con una divergente no agrega información.

16 · Estrategia de resolución

Un procedimiento para elegir la comparación

1. 1
   Verificar positividad.

   Confirmá que los términos sean no negativos desde algún índice.

2. 2
   Observar la forma dominante.

   Buscá potencias de n, exponenciales o factores conocidos.

3. 3
   Elegir el objetivo.

   Intentá una cota superior convergente o una inferior divergente.

4. 4
   Probar la desigualdad.

   No alcanza con que las expresiones «se parezcan».

5. 5
   Citar el modelo.

   Indicá por qué la serie de referencia converge o diverge.

6. 6
   Aplicar el criterio.

   Escribí una conclusión con la dirección correcta.

17 · Verificación computacional

Buscar contraejemplos finitos a una cota

Un programa puede detectar rápidamente que una desigualdad propuesta falla dentro de un rango. Si no encuentra fallos, solo aporta evidencia finita; la prueba algebraica sigue siendo necesaria.

function auditarCota(inferior, superior, desde, hasta) {
  for (let n = desde; n <= hasta; n += 1) {
    const menor = inferior(n);
    const mayor = superior(n);
    if (!(Number.isFinite(menor) && Number.isFinite(mayor) && 0 <= menor && menor <= mayor)) {
      return { cumple: false, primerFallo: n, menor, mayor };
    }
  }
  return { cumple: true, rangoVerificado: [desde, hasta] };
}

console.log(auditarCota(n => 1 / (n ** 2 + 1), n => 1 / n ** 2, 1, 100000));
console.log(auditarCota(n => 1 / n, n => 1 / (n + 1), 1, 100));

18 · Exploración interactiva

Laboratorio: comparar dos acumulaciones

Elegí un caso y aumentá N. El gráfico muestra las sumas parciales de la serie estudiada y de su referencia.

La línea amarilla representa la serie estudiada y la violeta su modelo de comparación.

19 · Comprensión

Confusiones frecuentes

20 · Práctica y síntesis

Ejercicios de comprensión

Ejercicio 1: cota superior

Demostrá que ∑1/(n³+4) converge.

Ejercicio 2: cota inferior

Demostrá que ∑1/√(n²+1) diverge.

Ejercicio 3: comparación inconclusa

Explicá por qué 1/(n²+n)≤1/n no demuestra la convergencia de la serie de la izquierda y encontrá una cota útil.

Ejercicio 4: auditar una desigualdad

Verificá computacionalmente y demostrá que n/(n³+1)≤1/n² para n≥1.

let cumple = true;
for (let n = 1; n <= 100000; n += 1) {
  if (n / (n ** 3 + 1) > 1 / n ** 2) {
    cumple = false;
    console.log("Fallo en", n);
    break;
  }
}
console.log({ cumple, conclusion: "La serie converge por comparación con 1/n²" });

Ideas para recordar

En el próximo tema estudiaremos el criterio de comparación por el límite, que reemplaza una desigualdad explícita por el comportamiento asintótico del cociente entre términos.