Comparación por el límite

01 · Motivación

Cuando una desigualdad exacta resulta incómoda

El criterio directo exige construir una desigualdad con la orientación correcta. Para términos con polinomios, raíces u otras expresiones, esa tarea puede requerir bastante álgebra.

Muchas veces basta observar que dos términos poseen el mismo orden de magnitud cuando n es grande. El cociente entre ellos revela esa relación.

• ¿Qué significa que dos términos sean asintóticamente comparables?
• ¿Por qué un cociente con límite positivo conserva la convergencia?
• ¿Cómo elegir la serie de referencia?
• ¿Qué permiten concluir los límites 0 e infinito?
• ¿Qué ocurre cuando el cociente oscila o no tiene límite?

02 · Criterio principal

Comparación por un límite positivo y finito

Sean aₙ>0 y bₙ>0 a partir de algún índice. Si:

entonces:

Positividad eventual

Los términos deben ser positivos desde algún índice.

L>0

aₙ no es despreciable frente a bₙ.

L<∞

aₙ no crece desproporcionadamente frente a bₙ.

Conclusión

Las dos series comparten convergencia o divergencia.

03 · Demostración

Convertir el límite en dos desigualdades

Elegimos, por ejemplo, ε=L/2. Por la definición de límite, existe N₀ tal que para n≥N₀:

Esto equivale a:

Como bₙ>0:

Las dos series quedan comparadas en ambos sentidos por múltiplos positivos. El criterio directo demuestra que, si una converge, la otra también; y si una diverge, la otra también.

04 · Equivalencia asintótica

El caso especial L=1

Cuando:

se escribe aₙ∼bₙ y se dice que ambas sucesiones son asintóticamente equivalentes.

Esto no significa que aₙ=bₙ, sino que su error relativo tiende a cero:

Para series positivas, reemplazar un término por un equivalente asintótico conserva la convergencia, aunque generalmente no conserva el valor exacto de la suma.

05 · Elección del modelo

Buscar la parte dominante

La serie de referencia debe parecerse a la parte que domina el término para índices grandes.

1. 1
   Descartar detalles menores.

   Constantes sumadas y términos de menor grado suelen perder influencia.

2. 2
   Conservar potencias dominantes.

   En un cociente de polinomios, compará los términos de mayor grado.

3. 3
   Simplificar raíces.

   Factorizá la mayor potencia dentro del radical.

4. 4
   Elegir un modelo conocido.

   Normalmente una serie p o geométrica.

5. 5
   Calcular el cociente.

   Verificá que el límite sea positivo y finito.

06 · Cocientes racionales

Ejemplo convergente por grados

Estudiemos:

El numerador se comporta como 3n² y el denominador como n⁴, por lo que esperamos un modelo bₙ=1/n². Calculamos:

Como 3 es positivo y finito, ambas series tienen la misma naturaleza. La serie ∑1/n² converge; por lo tanto, la serie dada converge.

function cocienteConvergente(n) {
  const a = (3 * n ** 2 + 1) / (n ** 4 + 5);
  const b = 1 / n ** 2;
  return a / b;
}

console.log([10, 100, 1000, 10000].map(n => ({ n, cociente: cocienteConvergente(n) })));

07 · Modelo armónico

Ejemplo divergente por grados

Consideremos:

La diferencia entre grados es uno, así que elegimos bₙ=1/n:

La serie armónica diverge y el límite del cociente es positivo y finito. Por comparación por el límite, la serie original diverge.

08 · Atajo razonado

Funciones racionales y diferencia de grados

Si P y Q son polinomios de grados r y s, con coeficientes principales positivos, entonces:

donde C es el cociente de los coeficientes principales. Para términos eventualmente positivos:

En polinomios, los grados son enteros; la última fila resulta especialmente útil cuando aparecen raíces o potencias no enteras.

09 · Expresiones con raíces

Factorizar dentro del radical

Analicemos:

Como √(n²+n)=n√(1+1/n), esperamos un comportamiento de orden 1/n. Con bₙ=1/n:

La serie es asintóticamente equivalente a la armónica y diverge.

10 · Términos acotados

Una oscilación pequeña no cambia el orden

Consideremos:

Como sen n permanece acotado mientras n crece, elegimos bₙ=1/n²:

Los términos son positivos para n≥1 y la serie ∑1/n² converge. Por lo tanto, ∑aₙ converge.

function cocienteOscilacionAcotada(n) {
  const a = (n + Math.sin(n)) / (n ** 3 + 1);
  const b = 1 / n ** 2;
  return { n, a, b, cociente: a / b };
}

console.log([10, 100, 1000, 10000].map(cocienteOscilacionAcotada));

11 · Límite igual a cero

Una versión unilateral

Si aₙ,bₙ>0 y:

entonces aₙ es finalmente mucho menor que bₙ. Podemos concluir:

Por ejemplo, (1/n³)/(1/n²)=1/n→0. Como ∑1/n² converge, también converge ∑1/n³.

Si la serie de referencia diverge, el límite cero no decide. En efecto, (1/n²)/(1/n)=1/n→0, pero la primera converge y la segunda diverge.

12 · Límite infinito

La otra versión unilateral

Si:

entonces aₙ es finalmente mayor que cualquier múltiplo fijo de bₙ. Podemos concluir:

Por ejemplo, tomando aₙ=1/√n y bₙ=1/n, el cociente vale √n→∞. Como la armónica diverge, también diverge ∑1/√n.

Si la referencia converge, el límite infinito no decide: ser mayor que una convergente no fuerza divergencia.

13 · Resumen lógico

Qué permite concluir cada límite

14 · Cociente oscilante

Cuando el límite no existe

Sea:

El cociente aₙ/bₙ=2+(−1)ⁿ alterna entre 1 y 3, de modo que no tiene límite. El criterio por el límite no es aplicable.

Sin embargo:

La comparación directa sí demuestra convergencia. Que un criterio falle no significa que la serie diverja; significa que debemos elegir otra herramienta.

15 · Elegir bien bₙ

Una referencia incorrecta puede volver inconcluso el cálculo

Para aₙ=1/(n²+1), comparar con bₙ=1/n produce límite 0 y una referencia divergente: no decide.

Comparar con bₙ=1/n² produce límite 1 y una referencia convergente: resuelve inmediatamente.

16 · Diagnóstico numérico

Estimar un cociente no demuestra su límite

Evaluar el cociente para índices crecientes ayuda a formular una conjetura y detectar errores. Una lista finita de valores no prueba el límite.

function muestrearCociente(a, b, indices) {
  return indices.map(n => {
    const valorA = a(n);
    const valorB = b(n);
    return { n, cociente: valorA / valorB };
  });
}

const muestras = muestrearCociente(
  n => (2 * n + 7) / (n ** 2 + 1),
  n => 1 / n,
  [10, 100, 1000, 10000]
);
console.log(muestras);

Para índices demasiado grandes pueden aparecer desbordamiento, subdesbordamiento o cocientes 0/0 en coma flotante. Simplificar algebraicamente antes de evaluar suele ser más estable.

17 · Forma numéricamente estable

Normalizar antes de calcular

La expresión del primer ejemplo puede evaluarse directamente:

pero n⁴ puede desbordarse. Dividir numerador y denominador por n⁴ produce una forma equivalente y estable:

function cocienteDirecto(n) {
  return (3 * n ** 4 + n ** 2) / (n ** 4 + 5);
}

function cocienteNormalizado(n) {
  return (3 + 1 / n ** 2) / (1 + 5 / n ** 4);
}

console.log([1e3, 1e20, 1e100].map(n => ({
  n,
  directo: cocienteDirecto(n),
  normalizado: cocienteNormalizado(n)
})));

18 · Exploración interactiva

Laboratorio: observar el cociente asintótico

Elegí una comparación y aumentá el índice. El gráfico representa aₙ/bₙ y muestra si se aproxima a un límite útil.

Cada punto muestra el cociente entre el término estudiado y el término de referencia.

19 · Comprensión

Confusiones frecuentes

20 · Práctica y síntesis

Ejercicios de comprensión

Ejercicio 1: modelo convergente

Estudiá ∑(5n+2)/(n³+4) mediante comparación por el límite.

Ejercicio 2: modelo divergente

Analizá ∑√(4n²+1)/n².

Ejercicio 3: límite cero inconcluso

¿Qué concluye comparar aₙ=1/[n(ln n)] con bₙ=1/n para n≥2?

Ejercicio 4: muestreo y argumento

Estimá el cociente entre aₙ=(7n²+n)/(2n⁴+3) y bₙ=1/n², y justificá su límite.

function cociente(n) {
  return ((7 * n ** 2 + n) / (2 * n ** 4 + 3)) / (1 / n ** 2);
}

console.log([10, 100, 1000, 10000].map(n => ({ n, cociente: cociente(n) })));
console.log("Al dividir por n⁴, el límite algebraico es 7/2; la serie converge como 1/n².");

Ideas para recordar

En el próximo tema estudiaremos los criterios del cociente y de la raíz, especialmente útiles para series con factoriales, exponenciales y potencias elevadas al índice.