Criterios del cociente y de la raíz

01 · Comportamiento multiplicativo

Buscar una razón geométrica escondida

Las series con factoriales o potencias variables pueden ser difíciles de comparar término a término. Sin embargo, muchas revelan un patrón simple al dividir términos consecutivos o extraer la raíz enésima.

Ambos criterios preguntan si, para índices grandes, la magnitud del término se parece a una potencia qⁿ.

• ¿Cómo decide el límite del cociente?
• ¿Por qué una razón menor que 1 produce convergencia?
• ¿Cuándo conviene tomar una raíz enésima?
• ¿Qué significa que el resultado sea exactamente 1?
• ¿Cómo evitar desbordamientos al trabajar con factoriales?

02 · Criterio del cociente

Comparar términos consecutivos

Para una serie ∑aₙ con términos no nulos desde algún índice, calculamos:

El valor absoluto permite aplicar la prueba incluso cuando los términos cambian de signo.

03 · Justificación

Dominar mediante una geométrica

Supongamos L<1. Elegimos un número q tal que L<q<1. Por la definición de límite, existe N para el cual:

Aplicando repetidamente la desigualdad:

La cola queda dominada por una serie geométrica convergente. Por comparación directa, ∑|aₙ| converge.

Si L>1, existe una razón mayor que 1 que finalmente hace crecer las magnitudes. Entonces aₙ no puede tender a cero y la serie diverge.

04 · Factorial en el denominador

La serie de 3ⁿ/n!

Sea:

El factorial se simplifica al dividir términos consecutivos:

Como 3/(n+1)→0<1, la serie converge.

function razonesExponencialFactorial(base, indices) {
  return indices.map(n => ({ n, razon: Math.abs(base) / (n + 1) }));
}

console.log(razonesExponencialFactorial(3, [1, 2, 5, 10, 100]));

No fue necesario calcular n! ni la suma. Simplificar simbólicamente produjo una razón estable y fácil de analizar.

05 · Factorial en el numerador

La serie de n!/3ⁿ

Al invertir la posición del factorial:

obtenemos:

El cociente supera 1 y crece. Los términos dejan de disminuir, luego aumentan sin límite. Por la condición necesaria, la serie diverge.

06 · Simplificación estructural

Dos factoriales en el término

Consideremos:

El cociente consecutivo es:

Como 1/4<1, la serie converge. La escritura factorial parecía compleja, pero el cociente canceló casi todos los factores.

function razonFactorialesCombinados(n) {
  return (n + 1) ** 2 / ((2 * n + 2) * (2 * n + 1));
}

console.log([1, 5, 10, 100, 10000].map(n => ({ n, razon: razonFactorialesCombinados(n) })));

07 · Potencia variable

La serie de n!/nⁿ

Para aₙ=n!/nⁿ:

Usando el límite notable (1−1/(n+1))ⁿ→e⁻¹:

La serie converge. Este ejemplo muestra que el cociente puede conducir a otro límite conocido sin volverse constante inmediatamente.

08 · Criterio de la raíz

Extraer la tasa geométrica por término

Calculamos:

La prueba es especialmente conveniente cuando todo el término está elevado a n o a una expresión proporcional a n.

09 · Justificación

La raíz revela una cota geométrica

Si L<1, elegimos q con L<q<1. Para índices suficientemente grandes:

Elevando a la potencia n:

La serie queda dominada por una geométrica convergente. Si L>1, las raíces son eventualmente mayores que 1, así que |aₙ| no tiende a cero.

Si la raíz no posee límite, la versión general utiliza el límite superior, o limsup. Para este curso comenzaremos por casos donde el límite ordinario existe.

10 · Potencia enésima

Una base racional que se estabiliza

Consideremos:

La raíz enésima elimina el exponente:

Por el criterio de la raíz, la serie converge.

function baseEnesima(n) {
  return (2 * n + 1) / (3 * n + 4);
}

console.log([1, 5, 10, 100, 10000].map(n => ({ n, raizEnesima: baseEnesima(n) })));

11 · Base mayor que uno

Detectar divergencia antes de acumular

Para:

tenemos:

Los términos no tienden a cero; de hecho, terminan creciendo geométricamente. La serie diverge.

12 · Exponentes más rápidos

La serie de [n/(n+1)]ⁿ²

Sea:

La raíz enésima produce:

La serie converge. Aunque la base se acerca a 1, el exponente cuadrático genera un decaimiento suficientemente rápido.

13 · Frontera inconclusa

Cuando L=1

Los dos criterios fallan en distinguir las series p:

Para cualquier p>0:

Sin embargo, la serie diverge si p≤1 y converge si p>1. El resultado 1 significa que la prueba no posee resolución suficiente, no que la serie diverja.

14 · Elección del criterio

Qué prueba conviene intentar primero

Esta tabla es una heurística. La mejor prueba es la que simplifica la estructura sin introducir cálculos más difíciles que el problema original.

15 · Términos con signo

Por qué aparecen valores absolutos

Los criterios estudian la magnitud:

Si el resultado es menor que 1, converge la serie de magnitudes ∑|aₙ|, y por ello también converge ∑aₙ. Esta propiedad se denomina convergencia absoluta y se desarrollará más adelante.

Para demostrar divergencia con L>1, los signos tampoco ayudan: si las magnitudes no tienden a cero, los términos originales no pueden tender a cero.

16 · Oscilaciones

Qué hacer si el límite ordinario no existe

Una sucesión de cocientes puede oscilar aunque la serie tenga un comportamiento claro. La versión robusta del criterio de la raíz usa:

Si este límite superior es menor que 1, hay convergencia absoluta; si es mayor que 1, la serie diverge.

Para el cociente también pueden usarse límites superiores e inferiores, pero si las oscilaciones cruzan el valor 1, la prueba puede resultar inconclusa. En esos casos conviene buscar comparación directa o reagrupar la estructura con cuidado.

17 · Cómputo seguro

No calcular factoriales gigantes

En JavaScript, 171! ya excede el máximo número finito. Calcular los términos completos para después dividirlos desperdicia precisión y puede producir Infinity/Infinity.

function factorial(n) {
  let resultado = 1;
  for (let k = 2; k <= n; k += 1) resultado *= k;
  return resultado;
}

const n = 200;
const cocienteIngenuo = (3 ** (n + 1) / factorial(n + 1)) / (3 ** n / factorial(n));
const cocienteSimplificado = 3 / (n + 1);
console.log({ n, cocienteIngenuo, cocienteSimplificado, ingenuoEsFinito: Number.isFinite(cocienteIngenuo) });

La simplificación algebraica es simultáneamente una demostración matemática y una mejora del algoritmo.

18 · Estabilidad de raíces

Trabajar en escala logarítmica

Si |aₙ| es extremadamente grande o pequeño, calcularlo antes de extraer la raíz puede desbordarse o redondearse a cero. La identidad:

permite trabajar con el logaritmo del término.

function raizDesdeLog(logMagnitud, n) {
  return Math.exp(logMagnitud / n);
}

for (const n of [10, 100, 1000, 10000]) {
  const logTermino = n * Math.log((2 * n + 1) / (3 * n + 4));
  console.log({ n, raizEnesima: raizDesdeLog(logTermino, n) });
}

19 · Exploración interactiva

Laboratorio: tasas multiplicativas

Elegí una serie y observá la métrica relevante. La línea discontinua marca el límite teórico cuando es finito.

Cada punto muestra un cociente consecutivo o una raíz enésima, según la serie elegida.

20 · Comprensión

Confusiones frecuentes

21 · Práctica y síntesis

Ejercicios de comprensión

Ejercicio 1: factorial y potencia

Analizá ∑n!/nⁿ mediante el criterio del cociente.

Ejercicio 2: raíz enésima

Decidí la convergencia de ∑[(4n−1)/(5n+2)]ⁿ.

Ejercicio 3: caso inconcluso

Aplicá ambos criterios a ∑1/n³ y explicá el resultado.

Ejercicio 4: implementación sin factoriales

Generá las razones consecutivas de aₙ=5ⁿ/n! sin calcular ningún factorial.

function razones(base, hasta) {
  const resultado = [];
  for (let n = 1; n <= hasta; n += 1) {
    resultado.push({ n, razon: Math.abs(base) / (n + 1) });
  }
  return resultado;
}

console.log(razones(5, 12));
console.log("El límite es 0, por lo que la serie converge.");

Ideas para recordar

En el próximo tema estudiaremos el criterio integral, que relaciona series positivas decrecientes con integrales impropias y proporciona cotas del resto.