Criterio integral

01 · Sumas y áreas

Dos acumulaciones de la misma función

Una serie positiva acumula alturas evaluadas en enteros. Una integral acumula áreas continuas. Si la función es decreciente, sus rectángulos pueden colocarse por encima o por debajo de la curva y producir cotas.

Esta relación transforma un problema discreto en uno continuo:

• ¿Qué condiciones debe cumplir la función?
• ¿Por qué serie e integral convergen juntas?
• ¿Cómo clasificar series con logaritmos?
• ¿Cómo estimar el resto después de N términos?
• ¿Cuándo el criterio no puede utilizarse?

02 · Enunciado

El criterio integral

Sea f:[m,∞)→ℝ una función continua, positiva y decreciente, y sea aₙ=f(n). Entonces:

Continua

Permite tratar el área sin interrupciones problemáticas.

Positiva

Hace que sumas y áreas crezcan de forma monótona.

Decreciente

Ordena la curva respecto de los rectángulos.

Eventualmente

Las condiciones pueden comenzar desde algún índice m.

El criterio decide convergencia, pero normalmente no afirma que la suma de la serie sea igual al valor de la integral.

03 · Límite continuo

Qué significa integrar hasta infinito

Una integral impropia se define mediante un límite:

Si el límite existe y es finito, la integral converge. Si crece sin cota o no posee límite, diverge.

El símbolo ∞ no funciona como un extremo numérico que se sustituye en una primitiva. Siempre representa el proceso de tomar un límite.

04 · Geometría

Rectángulos por debajo y por encima

Si f es decreciente, para x∈[n,n+1] se cumple:

Integrando sobre ese intervalo de longitud 1:

Al sumar las desigualdades obtenemos, para N≥m:

Estas cotas son el núcleo del criterio.

05 · Demostración

Trasladar acotación entre áreas y sumas

Si la integral impropia converge, las integrales parciales están acotadas. La cota superior anterior mantiene acotadas las sumas parciales, que además son crecientes. Por lo tanto, la serie converge.

En sentido contrario, si la serie converge, sus sumas parciales están acotadas. La cota inferior mantiene acotadas las integrales parciales. Como estas crecen con el extremo T, la integral impropia converge.

06 · Aplicación fundamental

Recuperar la clasificación de las series p

Tomamos f(x)=1/xᵖ, positiva, continua y decreciente para p>0.

Si p≠1:

Cuando p>1, T¹⁻ᵖ→0 y la integral converge a 1/(p−1). Cuando 0<p<1, la potencia crece sin límite. Para p=1, aparece el logaritmo.

07 · Caso fronterizo

La divergencia armónica como área logarítmica

Para f(x)=1/x:

Como ln T→∞, la integral diverge y, por el criterio integral, también diverge la serie armónica.

Las desigualdades de rectángulos producen además:

function verificarCotasArmonicas(N) {
  let armonico = 0;
  for (let n = 1; n <= N; n += 1) armonico += 1 / n;
  return { N, inferior: Math.log(N + 1), armonico, superior: 1 + Math.log(N) };
}

console.log([10, 1000, 100000].map(verificarCotasArmonicas));

08 · Más lenta que la armónica

La serie de 1/[n ln n]

Desde n=2, tomamos:

Es positiva, continua y decreciente para x≥2. Con la sustitución u=ln x, du=dx/x:

Aunque ln(ln T) crece extremadamente despacio, no está acotado. La integral y la serie divergen.

09 · Nueva frontera

La familia 1/[n(ln n)ᵖ]

Para n≥2 y p>0:

La sustitución u=ln x transforma la integral en:

Es una integral de tipo p. En consecuencia:

El factor logarítmico con exponente mayor que 1 alcanza para convertir la divergencia en convergencia.

10 · Ejemplo no p

La serie de 1/(n²+1)

La función f(x)=1/(x²+1) es positiva, continua y decreciente para x≥1. Además:

La integral converge, por lo que la serie también converge. El valor de la serie no es π/4; esa integral solo decide el comportamiento y ayuda a construir cotas.

11 · Verificación previa

Comprobar las hipótesis

1. 1
   Extender.

   Elegí una función f(x) tal que f(n)=aₙ.

2. 2
   Positividad.

   Verificá f(x)>0 desde algún punto.

3. 3
   Continuidad.

   Descartá ceros de denominadores y singularidades en la cola.

4. 4
   Monotonía.

   Demostrá que f decrece, a menudo mediante f′(x)≤0.

5. 5
   Integral impropia.

   Calculá su límite y trasladá la conclusión.

Las condiciones solo necesitan cumplirse eventualmente. Una cantidad finita de excepciones no cambia la convergencia.

12 · Uso de derivadas

Demostrar que la función disminuye

Para f(x)=1/[x(ln x)ᵖ], podemos estudiar el denominador g(x)=x(ln x)ᵖ. Para x>1 y p>0:

El denominador crece, por lo que su recíproco decrece.

También podríamos derivar directamente:

Elegí la demostración que reduzca el riesgo de errores algebraicos.

13 · Cota del error

Estimar la cola de una serie convergente

Si se cumplen las hipótesis y la serie converge, el resto:

satisface:

Por tanto, si Sₙ es la suma parcial y S la suma total:

14 · Error para series p

Una fórmula práctica

Para p>1:

La cota superior permite elegir N según una tolerancia.

function cotaRestoP(p, N) {
  if (!(p > 1) || !Number.isInteger(N) || N < 1) throw new RangeError("Se requiere p > 1 y N positivo");
  return {
    inferior: 1 / ((p - 1) * (N + 1) ** (p - 1)),
    superior: 1 / ((p - 1) * N ** (p - 1))
  };
}

console.log({ p2: cotaRestoP(2, 1000), p3: cotaRestoP(3, 1000) });

15 · Diseñar el truncamiento

Cuántos términos garantizan el error

Para asegurar Rₙ<ε en una serie p, basta exigir:

Una elección suficiente es:

function cantidadParaTolerancia(p, epsilon) {
  if (!(p > 1) || !(epsilon > 0)) throw new RangeError("Parámetros inválidos");
  const umbral = (1 / ((p - 1) * epsilon)) ** (1 / (p - 1));
  return Number.isFinite(umbral) ? Math.floor(umbral) + 1 : Infinity;
}

console.log([2, 3, 1.5, 1.1].map(p => ({ p, epsilon: 1e-6, N: cantidadParaTolerancia(p, 1e-6) })));

Cerca de p=1, la cantidad requerida puede superar cualquier presupuesto computacional razonable.

16 · Aproximación certificada

Encerrar la suma total

Para ∑1/n², luego de N términos:

El ancho del intervalo es 1/[N(N+1)], mucho menor que cada cota del resto considerada por separado.

function intervaloSumaCuadrados(N) {
  let parcial = 0;
  for (let n = 1; n <= N; n += 1) parcial += 1 / n ** 2;
  return {
    N,
    parcial,
    limiteInferior: parcial + 1 / (N + 1),
    limiteSuperior: parcial + 1 / N
  };
}

console.log([10, 100, 1000].map(intervaloSumaCuadrados));

17 · Cuándo no aplicarlo

Signos, oscilaciones y falta de monotonía

El criterio integral, en su forma básica, no se aplica directamente si los términos cambian de signo o si no existe una extensión positiva y decreciente adecuada.

Que este criterio no sea aplicable no determina el comportamiento de la serie.

18 · Verificación numérica

Comparar suma y cotas integrales

Podemos comprobar las desigualdades en rangos finitos, siempre recordando que la demostración proviene de la monotonía.

function integralPotencia(p, a, b) {
  if (p === 1) return Math.log(b / a);
  return (b ** (1 - p) - a ** (1 - p)) / (1 - p);
}

function auditarSerieP(p, N) {
  let parcial = 0;
  for (let n = 1; n <= N; n += 1) parcial += 1 / n ** p;
  const inferior = integralPotencia(p, 1, N + 1);
  const superior = 1 + integralPotencia(p, 1, N);
  return { p, N, inferior, parcial, superior, cumple: inferior <= parcial && parcial <= superior };
}

console.log([0.5, 1, 2, 3].map(p => auditarSerieP(p, 1000)));

19 · Exploración interactiva

Laboratorio: curva, rectángulos y acumulación

Elegí una función y ajustá N. El gráfico muestra la curva decreciente y rectángulos de altura f(n).

Los rectángulos amarillos representan términos de la serie; la curva violeta representa la función continua.

20 · Comprensión

Confusiones frecuentes

21 · Práctica y síntesis

Ejercicios de comprensión

Ejercicio 1: potencia fraccionaria

Utilizá el criterio integral para clasificar ∑1/n³⁄².

Ejercicio 2: serie logarítmica

Clasificá ∑1/[n(ln n)³] desde n=2.

Ejercicio 3: cota del resto

Acotá el error después de 100 términos de ∑1/n³.

Ejercicio 4: intervalo certificado

Construí mediante JavaScript un intervalo para la suma de ∑1/n³ usando 1000 términos.

const p = 3;
const N = 1000;
let parcial = 0;
for (let n = 1; n <= N; n += 1) parcial += 1 / n ** p;

const restoInferior = 1 / ((p - 1) * (N + 1) ** (p - 1));
const restoSuperior = 1 / ((p - 1) * N ** (p - 1));
console.log({
  parcial,
  sumaEntre: [parcial + restoInferior, parcial + restoSuperior]
});

Ideas para recordar

En el próximo tema estudiaremos series alternadas, donde la cancelación entre signos permite converger incluso cuando la serie de magnitudes diverge.