Series alternadas

01 · Cancelación de signos

Avanzar y retroceder hacia un mismo valor

En una serie de términos positivos, cada nuevo sumando aumenta el total. En una serie alternada, los términos positivos y negativos se compensan: una suma parcial puede sobrepasar el límite y la siguiente quedar por debajo.

Si los saltos disminuyen hasta desaparecer, esta oscilación puede encerrar un único valor.

• ¿Cómo se representa una alternancia de signos?
• ¿Qué condiciones garantizan convergencia?
• ¿Por qué las sumas pares e impares se acercan?
• ¿Cómo saber el error sin conocer la suma exacta?
• ¿Qué ocurre si las magnitudes no decrecen?

02 · Notación

Dos formas de comenzar la alternancia

Si bₙ≥0, una serie alternada puede escribirse como:

o bien:

Ambas tienen la misma estructura y difieren solo en el signo global. Antes de aplicar una fórmula conviene escribir los primeros términos para comprobar dónde comienza el signo positivo.

(−1)ⁿ

Genera signos negativos en índices impares y positivos en pares.

(−1)ⁿ⁺¹

Genera signos positivos en índices impares.

bₙ

Magnitud no negativa del término.

aₙ

Término completo, incluido su signo.

03 · Criterio de Leibniz

Condiciones suficientes de convergencia

La serie:

converge si:

1. 1
   No negatividad.

   bₙ≥0 desde algún índice.

2. 2
   Decrecimiento.

   bₙ₊₁≤bₙ desde algún índice.

3. 3
   Límite cero.

   bₙ→0.

Las condiciones pueden cumplirse eventualmente. Modificar una cantidad finita de términos no cambia la convergencia.

04 · Demostración

Las sumas parciales pares crecen

Agrupemos de dos en dos:

Como las magnitudes decrecen, cada par es no negativo. Además:

Por lo tanto, la subsucesión de sumas parciales pares es creciente.

05 · Encierro

Las sumas impares disminuyen

Para las sumas impares:

Así, (S₂ₖ₊₁) es decreciente. Además:

Las sumas pares quedan debajo de las impares. Ambas subsucesiones son monótonas y acotadas, por lo que convergen. La distancia entre ellas es b₂ₖ₊₁→0; entonces comparten el mismo límite, y toda la sucesión de sumas parciales converge.

06 · Interpretación

Un intervalo que se estrecha

Para una serie que comienza con signo positivo:

Cada par de aproximaciones consecutivas encierra la suma. El ancho del intervalo es:

Como ese ancho tiende a cero, los extremos se acercan a un mismo número. Esta imagen explica simultáneamente la convergencia y la estimación del error.

07 · Ejemplo fundamental

La serie armónica alternada

Aquí bₙ=1/n es positiva, decreciente y tiende a cero. Por el criterio de Leibniz, la serie converge.

Su suma es ln 2:

La serie de magnitudes ∑1/n diverge. La alternancia es esencial para esta convergencia; el próximo tema formalizará esta diferencia.

function parcialArmonicaAlternada(N) {
  let suma = 0;
  for (let n = 1; n <= N; n += 1) suma += (n % 2 ? 1 : -1) / n;
  return { N, suma, errorReal: Math.log(2) - suma, cota: 1 / (N + 1) };
}

console.log([10, 100, 1000].map(parcialArmonicaAlternada));

08 · Condición imprescindible

La alternancia no reemplaza a aₙ→0

Consideremos:

Las magnitudes son bₙ=1 y no tienden a cero. Las sumas parciales alternan entre 1 y 0, por lo que la serie diverge.

El criterio del término general sigue siendo obligatorio: ninguna distribución de signos puede hacer converger una serie si sus términos no tienden a cero.

09 · Decrecimiento eventual

No es necesario disminuir desde el primer término

Leibniz solo necesita que las magnitudes sean decrecientes a partir de algún índice. Los primeros términos pueden presentar irregularidades.

Por ejemplo, si b₁=1, b₂=5 y bₙ=1/n para n≥3, la cola cumple las condiciones y la serie alternada converge.

El decrecimiento tampoco necesita ser estricto: se permite bₙ₊₁=bₙ ocasionalmente, siempre que finalmente sea no creciente y tienda a cero.

10 · Criterio no aplicable

Si las magnitudes no decrecen

Si bₙ→0 pero no es eventualmente decreciente, Leibniz no permite concluir. Eso no significa automáticamente que la serie diverja.

Por ejemplo, una serie puede tener pequeñas oscilaciones en sus magnitudes y aun converger mediante otro argumento. En ese caso debemos:

• buscar una reorganización algebraica válida;
• estudiar convergencia absoluta;
• agrupar términos consecutivos sin reordenarlos;
• o aplicar un criterio más general.

11 · Teorema del resto

El primer término omitido controla el error

Sea S la suma y Sₙ la suma parcial. Bajo las hipótesis de Leibniz:

Además, el resto tiene el signo del primer término omitido. Si el término N+1 es positivo, Sₙ subestima la suma; si es negativo, la sobreestima.

12 · Aproximación garantizada

Elegir N a partir del error permitido

Para obtener |Rₙ|<ε, basta elegir N de modo que:

En la serie armónica alternada, bₙ=1/n. Entonces necesitamos:

Para un error menor que 10⁻⁶, se requiere N≥1 000 000. La convergencia está garantizada, pero es lenta.

function terminosArmonicaAlternada(epsilon) {
  if (!(epsilon > 0)) throw new RangeError("epsilon debe ser positivo");
  let N = Math.max(0, Math.floor(1 / epsilon));
  while (1 / (N + 1) >= epsilon) N += 1;
  return N;
}

console.log([1e-2, 1e-4, 1e-6].map(epsilon => ({
  epsilon,
  terminos: terminosArmonicaAlternada(epsilon)
})));

13 · Familia completa

Series p alternadas

Para p>0:

Las magnitudes 1/nᵖ son positivas, decrecientes y tienden a cero. Por Leibniz, todas estas series convergen.

La clasificación de acuerdo con la serie de magnitudes se desarrollará formalmente en el tema siguiente.

14 · Aproximar π

La serie de Gregory–Leibniz

Las magnitudes bₙ=1/(2n−1) disminuyen hacia cero. La cota del error después de N términos es:

Al multiplicar por 4:

function aproximarPiLeibniz(N) {
  let suma = 0;
  for (let k = 0; k < N; k += 1) suma += (k % 2 ? -1 : 1) / (2 * k + 1);
  const aproximacion = 4 * suma;
  return { N, aproximacion, errorReal: Math.PI - aproximacion, cota: 4 / (2 * N + 1) };
}

console.log([10, 1000, 100000].map(aproximarPiLeibniz));

Es una fórmula hermosa pero computacionalmente ineficiente para obtener muchos decimales de π.

15 · Encierro de la suma

Dos aproximaciones consecutivas

Como el límite queda entre sumas parciales consecutivas:

El intervalo posee ancho bₙ₊₁. Su punto medio:

tiene error de a lo sumo bₙ₊₁/2. Esta mejora utiliza dos aproximaciones ya calculadas y la estructura de encierro.

16 · Implementación

Sumar por pares sin reordenar

En la armónica alternada podemos agrupar términos consecutivos:

Cada par es positivo y puede evaluarse como:

Agrupar términos consecutivos conserva el orden y puede reducir cancelaciones numéricas.

function armonicaAlternadaPorPares(cantidadPares) {
  let suma = 0;
  for (let k = 1; k <= cantidadPares; k += 1) {
    suma += 1 / ((2 * k - 1) * (2 * k));
  }
  return { terminos: 2 * cantidadPares, suma, error: Math.log(2) - suma };
}

console.log([10, 1000, 100000].map(armonicaAlternadaPorPares));

17 · Criterio de parada

Un algoritmo con garantía matemática

Si conocemos una fórmula decreciente para bₙ, podemos detener la acumulación cuando el siguiente término sea menor que la tolerancia.

function sumarAlternada(magnitud, epsilon, maxTerminos = 1000000) {
  let suma = 0;
  for (let n = 1; n <= maxTerminos; n += 1) {
    suma += (n % 2 ? 1 : -1) * magnitud(n);
    const siguiente = magnitud(n + 1);
    if (siguiente < epsilon) return { suma, terminos: n, cotaError: siguiente, garantizado: true };
  }
  return { suma, terminos: maxTerminos, cotaError: magnitud(maxTerminos + 1), garantizado: false };
}

console.log(sumarAlternada(n => 1 / n ** 2, 1e-8));

La garantía depende de haber demostrado que las magnitudes son no crecientes y tienden a cero; el programa no puede deducir esas propiedades desde una muestra finita.

18 · Exploración interactiva

Laboratorio: oscilación alrededor de la suma

Elegí una serie y aumentá N. El gráfico muestra cómo las sumas parciales saltan a ambos lados del límite conocido o estimado.

Cada punto es una suma parcial; la línea discontinua indica la suma cuando se conoce.

19 · Comprensión

Confusiones frecuentes

20 · Práctica y síntesis

Ejercicios de comprensión

Ejercicio 1: aplicar Leibniz

Decidí si ∑(−1)ⁿ⁺¹/√n converge.

Ejercicio 2: condición incumplida

Analizá ∑(−1)ⁿ(1+1/n).

Ejercicio 3: error de aproximación

¿Cuántos términos de ∑(−1)ⁿ⁺¹/n² garantizan un error menor que 10⁻⁶?

Ejercicio 4: intervalo para la suma

Calculá dos sumas parciales consecutivas de la armónica alternada y construí un intervalo que contenga ln 2.

function parcial(N) {
  let suma = 0;
  for (let n = 1; n <= N; n += 1) suma += (n % 2 ? 1 : -1) / n;
  return suma;
}

const N = 100;
const sN = parcial(N);
const sSiguiente = parcial(N + 1);
console.log({
  N,
  intervalo: [Math.min(sN, sSiguiente), Math.max(sN, sSiguiente)],
  valorReal: Math.log(2)
});

Ideas para recordar

En el próximo tema diferenciaremos convergencia absoluta y condicional, y estudiaremos cómo el valor de una serie condicional puede depender del orden de sus términos.