Convergencia absoluta y condicional

01 · Dos preguntas

¿Converge por tamaño o por cancelación?

Cuando una serie contiene términos positivos y negativos, puede converger porque las magnitudes son suficientemente pequeñas o porque existe una compensación delicada entre ambos signos.

Para distinguir estos mecanismos estudiamos dos series:

• ¿Qué significa converger absolutamente?
• ¿Por qué la convergencia absoluta implica convergencia?
• ¿Cuándo la cancelación es indispensable?
• ¿Qué ocurre al cambiar el orden de los términos?
• ¿Cómo se diferencia el fenómeno matemático del error numérico?

02 · Definiciones

Absoluta, condicional o divergente

Convergencia absoluta

∑|aₙ| converge.

Convergencia condicional

∑aₙ converge, pero ∑|aₙ| diverge.

Divergencia

∑aₙ no posee una suma finita.

Serie de magnitudes

Se obtiene eliminando los signos mediante el valor absoluto.

Estas categorías son mutuamente excluyentes. Una serie absolutamente convergente no se denomina condicional, aunque también converge en el sentido ordinario.

03 · Procedimiento lógico

Cómo clasificar una serie con signos

1. 1
   Estudiar magnitudes.

   Analizá ∑|aₙ| con los criterios para series positivas.

2. 2
   Si converge.

   La serie original converge absolutamente y el análisis termina.

3. 3
   Si diverge.

   Estudiá todavía ∑aₙ; la cancelación podría hacerla converger.

4. 4
   Clasificar.

   Si la original converge, es condicional; si no, es divergente.

04 · Teorema fundamental

La convergencia absoluta implica convergencia

Para cualquier bloque de términos se cumple la desigualdad triangular:

Si ∑|aₙ| converge, sus sumas parciales son de Cauchy. Por lo tanto, el lado derecho puede hacerse menor que cualquier ε>0 para bloques suficientemente tardíos.

La desigualdad obliga a que las sumas parciales de ∑aₙ también sean de Cauchy. Como los reales son completos, la serie original converge.

05 · Otra demostración

Partes positiva y negativa

Definimos:

Entonces:

Si ∑|aₙ| converge, por comparación convergen tanto ∑aₙ⁺ como ∑aₙ⁻. Su diferencia también converge y coincide con ∑aₙ.

06 · Ejemplo absoluto

Una alternada con magnitudes cuadráticas

Consideremos:

Al tomar valores absolutos:

obtenemos una serie p con p=2>1, que converge. Por lo tanto, la serie original converge absolutamente.

function parcialesConMagnitudes(p, N) {
  let firmada = 0;
  let absoluta = 0;
  for (let n = 1; n <= N; n += 1) {
    const termino = (n % 2 ? 1 : -1) / n ** p;
    firmada += termino;
    absoluta += Math.abs(termino);
  }
  return { p, N, firmada, absoluta };
}

console.log([10, 1000, 100000].map(N => parcialesConMagnitudes(2, N)));

07 · Ejemplo condicional

La armónica alternada

La serie:

converge por Leibniz, porque 1/n decrece hacia cero. Pero su serie de magnitudes es la armónica:

que diverge. Por lo tanto, la convergencia es condicional. El valor ln 2 depende del equilibrio establecido por el orden alternado original.

08 · Clasificación paramétrica

La familia alternada 1/nᵖ

function clasificarPAlternada(p) {
  if (p > 1) return "convergencia absoluta";
  if (p > 0) return "convergencia condicional";
  return "divergencia: el término no tiende a cero";
}

console.log([-1, 0, 0.5, 1, 1.5, 2].map(p => ({ p, clasificacion: clasificarPAlternada(p) })));

09 · Signos irregulares

La alternancia perfecta no es necesaria para convergencia absoluta

Si los signos siguen un patrón irregular pero las magnitudes están dominadas por una serie convergente, la serie converge absolutamente.

Por ejemplo:

Como |sen(n)|≤1:

La comparación directa demuestra que ∑|sen(n)|/n² converge. En consecuencia, ∑sen(n)/n² converge absolutamente, sin necesidad de un patrón alternado exacto.

10 · Estructura condicional

Dos cantidades infinitas en equilibrio

Si una serie converge condicionalmente, sus partes positiva y negativa satisfacen:

Si una de estas dos sumas fuera finita, la convergencia de ∑aₙ=∑aₙ⁺−∑aₙ⁻ forzaría que la otra también fuera finita. Entonces convergería ∑|aₙ|, contradiciendo la condicionalidad.

El valor finito surge de compensar una cantidad positiva ilimitada con una cantidad negativa ilimitada en un orden específico.

11 · Sumas finitas e infinitas

Por qué el orden deja de ser inocente

En una suma finita, las propiedades asociativa y conmutativa permiten reordenar sin cambiar el resultado exacto.

En una serie infinita, un reordenamiento cambia la secuencia de sumas parciales. Una permutación σ produce:

La pregunta no es si cada término aparece, sino qué límite generan las nuevas acumulaciones.

12 · Robustez absoluta

Todo reordenamiento conserva la suma

Si ∑aₙ converge absolutamente, cualquier reordenamiento converge al mismo valor.

La idea de la demostración es que la cola absoluta total puede hacerse menor que cualquier ε. Una suma reordenada que ya incluyó todos los primeros términos solo puede diferir mediante elementos de esa cola, cuya magnitud conjunta está controlada.

La convergencia absoluta convierte el orden en una decisión segura desde el punto de vista matemático.

13 · Teorema de reordenamiento

La flexibilidad extrema de una serie condicional

El teorema de reordenamiento de Riemann afirma que una serie real condicionalmente convergente puede reordenarse para:

• converger a cualquier número real elegido;
• divergir hacia +∞;
• divergir hacia −∞;
• u oscilar sin límite.

No se cambian ni se repiten términos: solo se modifica el orden. Esto es posible porque las partes positiva y negativa poseen magnitud total infinita.

14 · Construcción

Dirigir la suma hacia un objetivo

Para reordenar la armónica alternada hacia un valor T:

1. 1
   Subir.

   Agregar términos positivos no usados hasta superar T.

2. 2
   Bajar.

   Agregar términos negativos no usados hasta quedar debajo de T.

3. 3
   Repetir.

   Alternar ambos procesos indefinidamente.

Como los términos individuales tienden a cero, los sobrepasos también disminuyen y las sumas parciales se acercan a T.

function reordenarArmonicaHacia(objetivo, cantidad) {
  let positivo = 1;
  let negativo = 2;
  let suma = 0;
  const parciales = [];
  while (parciales.length < cantidad) {
    while (suma <= objetivo && parciales.length < cantidad) {
      suma += 1 / positivo;
      positivo += 2;
      parciales.push(suma);
    }
    while (suma >= objetivo && parciales.length < cantidad) {
      suma -= 1 / negativo;
      negativo += 2;
      parciales.push(suma);
    }
  }
  return { objetivo, terminos: cantidad, suma, error: suma - objetivo };
}

console.log(reordenarArmonicaHacia(1, 10000));

15 · Un reordenamiento explícito

Dos positivos y un negativo

Reordenemos la armónica alternada tomando dos términos positivos por cada negativo:

Todos los recíprocos impares y pares aparecen exactamente una vez. Sin embargo, esta nueva serie converge a:

y no a ln 2. El cambio ilustra concretamente la sensibilidad del caso condicional.

function dosPositivosUnNegativo(grupos) {
  let suma = 0;
  let impar = 1;
  let par = 2;
  for (let k = 0; k < grupos; k += 1) {
    suma += 1 / impar; impar += 2;
    suma += 1 / impar; impar += 2;
    suma -= 1 / par; par += 2;
  }
  return { grupos, terminos: 3 * grupos, suma, esperado: 1.5 * Math.log(2) };
}

console.log([10, 1000, 100000].map(dosPositivosUnNegativo));

16 · Agrupar no es reordenar

Conservar la secuencia de términos

Insertar paréntesis alrededor de bloques finitos consecutivos no cambia el orden:

Si la serie original converge y los bloques cubren todos los términos consecutivamente, las sumas parciales agrupadas forman una subsucesión de las originales y conservan el mismo límite.

Reordenar significa mover términos por delante de otros. Esa operación sí puede cambiar una serie condicional.

17 · Un fenómeno diferente

El orden también afecta sumas finitas en coma flotante

En aritmética real exacta, una suma finita no depende del orden. En una computadora, cada operación redondea y la asociatividad puede fallar.

const a = 1e16;
const b = -1e16;
const c = 1;

console.log({
  orden1: (a + b) + c,
  orden2: a + (b + c),
  resultadoExacto: 1
});

Este efecto numérico ocurre incluso con tres valores y no es el teorema de Riemann. En una serie condicional pueden coexistir ambos problemas: sensibilidad matemática del límite y sensibilidad numérica del cálculo.

18 · Exploración interactiva

Laboratorio: orden natural y reordenado

Elegí una familia y compará el orden alternado con el patrón de dos positivos y un negativo.

La línea amarilla muestra el orden natural; la violeta, dos positivos y un negativo.

19 · Comprensión

Confusiones frecuentes

20 · Práctica y síntesis

Ejercicios de comprensión

Ejercicio 1: clasificación absoluta

Clasificá ∑(−1)ⁿ/(n²+1).

Ejercicio 2: clasificación condicional

Clasificá ∑(−1)ⁿ⁺¹/∛n.

Ejercicio 3: signos irregulares

Demostrá que ∑cos(n)/n³ converge absolutamente.

Ejercicio 4: comparar órdenes

Calculá sumas parciales de la armónica alternada en su orden natural y con dos positivos por cada negativo.

function natural(N) {
  let suma = 0;
  for (let n = 1; n <= N; n += 1) suma += (n % 2 ? 1 : -1) / n;
  return suma;
}

function reordenada(grupos) {
  let suma = 0, impar = 1, par = 2;
  for (let k = 0; k < grupos; k += 1) {
    suma += 1 / impar; impar += 2;
    suma += 1 / impar; impar += 2;
    suma -= 1 / par; par += 2;
  }
  return suma;
}

console.log({ natural: natural(30000), reordenada: reordenada(10000), ln2: Math.log(2) });

Ideas para recordar

En el próximo tema construiremos una estrategia para elegir entre todos los criterios de convergencia estudiados y combinarlos de manera eficiente.