Series de potencias

01 · Una familia de series

La variable entra en los términos

Hasta ahora estudiamos series numéricas: una vez fijado n, cada término era un número. En una serie de potencias los términos también dependen de una variable x.

Cada elección de x produce una serie numérica diferente. Para algunos valores converge, para otros diverge y, en el conjunto de convergencia, su suma define una función.

• ¿Qué representan los coeficientes aₙ?
• ¿Qué función cumple el centro c?
• ¿Cómo se obtiene una aproximación finita?
• ¿Por qué la convergencia ocurre alrededor del centro?
• ¿Cómo se evalúa el polinomio parcial de manera eficiente?

02 · Definición

Coeficientes, centro e índice

Coeficientes

La sucesión fija a₀,a₁,a₂,… determina la serie.

Centro

El número c indica alrededor de qué punto aparecen las potencias.

Variable

x elige una serie numérica concreta.

Índice

n recorre los enteros no negativos y determina el grado.

Desarrollada término a término, la expresión es:

El coeficiente a₀ es el término constante; no desaparece porque (x−c)⁰=1.

03 · Punto privilegiado

En el centro la convergencia es inmediata

Al sustituir x=c, todas las potencias positivas se anulan:

Por eso toda serie de potencias converge en su centro, sin importar cómo crezcan los demás coeficientes. Su función suma satisface f(c)=a₀.

04 · Aproximaciones finitas

Cada suma parcial es un polinomio

La suma parcial de orden N es:

Pₙ es un polinomio de grado a lo sumo N. Si la serie converge en x, entonces:

Las series de potencias permiten así aproximar una función mediante operaciones elementales: sumas y multiplicaciones.

05 · Modelo fundamental

La serie geométrica genera una función

La identidad geométrica:

se convierte, al tomar t=x, en la serie de potencias:

Los coeficientes son aₙ=1 y el centro es c=0. La igualdad no es válida para todo x: expresa a la función racional únicamente donde la serie converge.

06 · Error exacto

Cómo se acerca el polinomio geométrico

Para x≠1, la suma parcial puede escribirse:

Si |x|<1, el resto es:

Cerca de x=0, las potencias decrecen muy rápido. Cerca de x=1, el mismo grado produce un error mucho mayor. La calidad de la aproximación depende tanto de N como de la posición de x.

07 · Cambiar el centro

Potencias de x−c

La serie:

es geométrica con razón x−2. Converge cuando |x−2|<1 y su suma es:

El centro desplazó el comportamiento desde cero hacia 2. La condición |x−2|<1 describe los puntos cuya distancia al centro es menor que uno.

08 · Evaluación puntual

Primero fijar x, luego aplicar criterios

Para estudiar una serie de potencias en un valor concreto x=x₀, se reemplaza la variable:

y se obtiene una serie numérica ordinaria. Entonces se aplican los criterios conocidos.

Por ejemplo, en ∑xⁿ/n:

• para x=1/2, converge absolutamente por comparación geométrica;
• para x=1, se convierte en la armónica y diverge;
• para x=−1, se convierte en la armónica alternada y converge condicionalmente;
• para x=2, los términos ni siquiera tienden a cero.

09 · Fenómeno radial

La convergencia se organiza por distancia al centro

Una serie de potencias posee un comportamiento especial: existe un número R, posiblemente 0 o infinito, tal que:

El número R se llama radio de convergencia. Cuando R es finito, los dos puntos con |x−c|=R deben estudiarse por separado.

En el próximo tema aprenderemos a calcular R y construir el intervalo completo.

10 · Idea del teorema

Converger en un punto fuerza convergencia hacia adentro

Supongamos que ∑aₙ(x₀−c)ⁿ converge y x₀≠c. Sus términos están acotados: existe M tal que:

Si |x−c|<|x₀−c|, definimos q=|x−c|/|x₀−c|<1. Entonces:

La comparación con una geométrica demuestra convergencia absoluta en todo punto más cercano al centro. Esto explica la forma de intervalo, antes de conocer una fórmula para el radio.

11 · El papel de aₙ

El crecimiento de los coeficientes determina el alcance

Un decaimiento factorial de los coeficientes puede dominar cualquier potencia fija de x; un crecimiento factorial produce el efecto opuesto.

12 · Filtro necesario

Los términos deben tender a cero

Para cada x, la condición necesaria sigue siendo:

En ∑n!xⁿ, si x≠0, el cociente de magnitudes consecutivas es:

Los términos terminan creciendo y no pueden tender a cero. En cambio, para x=0 la serie vale solamente a₀.

13 · Una función definida por límite

La suma depende de x

Dentro de su conjunto de convergencia, una serie de potencias define:

No hay que confundir tres objetos:

• la expresión formal de la serie;
• el polinomio parcial Pₙ(x);
• la función suma f(x), definida mediante un límite donde existe.

Fuera del conjunto de convergencia, los polinomios parciales siguen estando definidos, pero su sucesión no se aproxima a una suma finita.

14 · Igualdad local

Una fórmula y su serie no son intercambiables en todas partes

La función 1/(1−x) está definida para todo x≠1. Su serie geométrica centrada en cero, en cambio, solo converge cuando |x|<1.

Por ejemplo, en x=2 la función vale −1, pero la serie produce:

que diverge. La igualdad entre función y serie incluye siempre una región de validez.

15 · Implementación directa

Evaluar coeficientes alrededor del centro

function evaluarSeriePotencias(coeficientes, x, centro = 0) {
  const t = x - centro;
  let potencia = 1;
  let suma = 0;
  for (const coeficiente of coeficientes) {
    suma += coeficiente * potencia;
    potencia *= t;
  }
  return suma;
}

// 1 + t + t² + ... + t⁸, con t = x - 2
console.log(evaluarSeriePotencias(Array(9).fill(1), 2.5, 2));

Esta versión hace visible la definición. Para un polinomio de grado alto, acumular potencias por separado puede introducir más operaciones y redondeos de los necesarios.

16 · Evaluación eficiente

El esquema de Horner

El polinomio parcial puede reagruparse:

Horner necesita aproximadamente una multiplicación y una suma por coeficiente:

function horner(coeficientes, x, centro = 0) {
  const t = x - centro;
  let resultado = 0;
  for (let n = coeficientes.length - 1; n >= 0; n -= 1) {
    resultado = resultado * t + coeficientes[n];
  }
  return resultado;
}

console.log(horner([1, 1, 1, 1, 1], 0.5));

El algoritmo evalúa el mismo polinomio parcial; no cambia su grado ni extiende el dominio de convergencia de la serie infinita.

17 · Evitar factoriales y potencias

Actualizar cada término mediante una recurrencia

Para ∑xⁿ/n!, calcular xⁿ y n! desde cero en cada paso es innecesario y puede desbordar aunque su cociente sea moderado. Los términos satisfacen:

function parcialFactorial(x, N) {
  let termino = 1;
  let suma = 1;
  for (let n = 1; n <= N; n += 1) {
    termino *= x / n;
    suma += termino;
  }
  return suma;
}

console.log({ aproximacion: parcialFactorial(1, 16), referencia: Math.E });

La relación entre términos revela además por qué la serie converge para todo x: el cociente de magnitudes es |x|/(n+1)→0.

18 · Elegir el grado

Más términos no significan la misma mejora en todo punto

En la geométrica, la cota:

muestra que el error decrece de manera uniforme si restringimos |x|≤r<1:

Fijar una distancia positiva respecto del borde permite elegir un único grado que funciona en todo el subintervalo. Al acercarse a |x|=1, esa garantía empeora.

Esta diferencia entre converger en cada punto y controlar simultáneamente una región será importante al operar con series.

19 · Exploración interactiva

Laboratorio: una variable, muchas series numéricas

Elegí los coeficientes, mové x y observá las sumas parciales. La escala vertical simétrica comprime los valores muy grandes sin ocultar su signo.

Cada punto muestra el valor del polinomio parcial al aumentar el grado.

20 · Comprensión

Confusiones frecuentes

21 · Práctica y síntesis

Ejercicios de introducción

Ejercicio 1: identificar componentes

En ∑(−1)ⁿ(x−3)ⁿ/(n+1), identificá centro y coeficientes.

Ejercicio 2: escribir un polinomio parcial

Escribí P₃(x) para ∑2ⁿ(x+1)ⁿ.

Ejercicio 3: reconocer una geométrica

Encontrá la suma de ∑[(x−1)/2]ⁿ donde converge.

Ejercicio 4: evaluar puntos

Estudiá ∑xⁿ/n en x=0, x=−1, x=1 y x=3/2.

Ejercicio 5: error geométrico

Acotá el error de aproximar 1/(1−x) con 1+x+···+x¹⁰ para |x|≤1/2.

Ideas para recordar

En el próximo tema calcularemos sistemáticamente el radio y el intervalo de convergencia, prestando especial atención a los dos extremos.