Dominio de una representación · Tema 29

Radio e intervalo de convergencia

Cómo medir hasta dónde converge una serie de potencias y por qué los dos puntos del borde exigen pruebas independientes.

01 · La pregunta central

¿Para qué valores de x converge?

Una serie de potencias:

∑n=0∞an(x−c)n

representa una serie numérica diferente para cada valor de x. Conocer su expresión formal no basta: hay que determinar exactamente el conjunto donde la suma infinita existe.

La respuesta se organiza en dos etapas:

  • Calcular la distancia crítica R respecto del centro.
  • Si 0<R<∞, estudiar por separado x=c−R y x=c+R.

02 · Teorema fundamental

Tres comportamientos posibles

Para toda serie de potencias existe un único R∈[0,∞] tal que:

|x−c|<R ⇒ convergencia absoluta
|x−c|>R ⇒ divergencia

Esto produce tres posibilidades:

R=0
La serie converge únicamente en el centro.
0<R<∞
Converge dentro de un intervalo alrededor del centro; faltan los extremos.
R=∞
Converge absolutamente para todo número real.

03 · Dos conceptos

Radio no es lo mismo que intervalo

El radio de convergencia es un número no negativo: mide una distancia desde c. El intervalo de convergencia es el conjunto de valores reales de x donde la serie converge.

Cuando 0<R<∞, el teorema entrega primero el intervalo abierto:

c−R < x < c+R

Después, cada desigualdad puede convertirse o no en igualdad según el resultado de las pruebas de los extremos.

04 · Método habitual

Aplicar el criterio del cociente al término completo

Sea uₙ=aₙ(x−c)ⁿ. Si existe el límite:

A=limn→∞|an+1/an|

entonces:

lim|un+1/un|=A|x−c|

El criterio del cociente garantiza convergencia cuando A|x−c|<1. Por lo tanto:

R=1/A

Con las convenciones 1/0=∞ y 1/∞=0.

05 · Paso algebraico

No perder el centro al despejar

El resultado del cociente suele aparecer como una desigualdad en valor absoluto. Por ejemplo:

|x−3|/2<1

equivale a:

|x−3|<2 ⇔ 1<x<5

El radio es R=2, no 5, y el centro es 3. Los extremos se obtienen mediante c±R.

06 · Fórmula general

Criterio de la raíz y Cauchy–Hadamard

Al aplicar la raíz enésima al término:

ⁿ√|an(x−c)n|=ⁿ√|an|·|x−c|

La fórmula general usa el límite superior:

1/R=lim supn→∞ⁿ√|an|

Si el límite ordinario existe, puede usarse directamente. El lim sup cubre también coeficientes irregulares o con muchos ceros, donde el cociente aₙ₊₁/aₙ puede no existir.

07 · Resultado inconcluso

Por qué los extremos quedan pendientes

En un extremo se cumple |x−c|=R. Allí, los criterios del cociente y de la raíz que determinaron el radio suelen producir el valor 1.

Ese resultado es inconcluso: series convergentes y divergentes pueden compartirlo. Al sustituir cada extremo, desaparece la variable y se obtiene una serie numérica que debe analizarse con comparación, Leibniz, series p u otro criterio apropiado.

08 · Algoritmo de resolución

Radio, interior y extremos

  1. 1
    Identificar el centro.

    Escribir la potencia como (x−c)ⁿ.

  2. 2
    Calcular R.

    Usar cociente, raíz o reconocimiento de una geométrica.

  3. 3
    Escribir el interior.

    Resolver |x−c|<R.

  4. 4
    Probar x=c−R.

    Sustituir y clasificar la serie numérica.

  5. 5
    Probar x=c+R.

    Realizar una prueba independiente.

  6. 6
    Dar el intervalo.

    Usar paréntesis o corchetes de acuerdo con los resultados.

09 · Extremos diferentes

La serie de xⁿ/n

∑n=1∞xn/n

El cociente de términos absolutos tiende a |x|, por lo que R=1 y el interior es (−1,1).

  • En x=1: ∑1/n diverge.
  • En x=−1: ∑(−1)ⁿ/n converge por Leibniz.

El intervalo final es:

[−1,1)

La convergencia en −1 es condicional; en el interior es absoluta.

10 · Centro no nulo

Una serie centrada en 2

∑n=1∞(x−2)n/n

El radio sigue siendo 1, pero ahora:

|x−2|<1 ⇔ 1<x<3
  • En x=1 aparece ∑(−1)ⁿ/n, que converge.
  • En x=3 aparece ∑1/n, que diverge.

El intervalo es [1,3). Trasladar el centro traslada el intervalo, pero no cambia el radio cuando los coeficientes son los mismos.

11 · Centro y escala

Coeficientes con una potencia de 3

∑n=1∞(x+1)n/(n·3n)

El cociente absoluto tiende a |x+1|/3. Por tanto, R=3, centro c=−1 e interior (−4,2).

  • En x=−4: ∑(−1)ⁿ/n converge.
  • En x=2: ∑1/n diverge.

El intervalo completo es [−4,2).

12 · Sin borde finito

Coeficientes factorialmente pequeños

∑n=0∞(x−c)n/n!

El cociente de magnitudes consecutivas es:

|x−c|/(n+1)→0

Para cualquier x fijo, el límite es menor que uno. Por lo tanto R=∞ y el intervalo de convergencia es toda la recta real.

No existen extremos finitos que comprobar.

13 · Solo el centro

Coeficientes factorialmente grandes

∑n=0∞n!(x−c)n

Si x≠c, el cociente de magnitudes es:

(n+1)|x−c|→∞

La serie diverge. En x=c todos los términos de grado positivo son cero y la suma vale 1. Así, R=0 y el conjunto de convergencia es {c}.

14 · Crecimiento más lento

Los factores nᵏ no cambian un radio geométrico

Para:

∑n=1∞nk(x−c)n,   k>0

el cociente de coeficientes satisface:

(n+1)k/nk→1

Por tanto, el radio es R=1. En ambos extremos los términos tienen magnitud nᵏ y no tienden a cero, de modo que el intervalo es (c−1,c+1).

15 · Sustitución útil

Series con exponentes 2n

Consideremos:

∑n=0∞(x−c)2n/2n

Es geométrica en la variable auxiliar t=(x−c)²/2. Converge cuando:

(x−c)²/2<1 ⇔ |x−c|<√2

En ambos extremos el término vale 1, así que diverge. El radio es √2 y el intervalo es (c−√2,c+√2).

16 · Independencia de los bordes

Las cuatro combinaciones son posibles

Series centradas en cero con radio uno.
Seriex=−1x=1Intervalo
∑xⁿDivergeDiverge(−1,1)
∑xⁿ/nConvergeDiverge[−1,1)
∑(−1)ⁿxⁿ/nDivergeConverge(−1,1]
∑xⁿ/n²ConvergeConverge[−1,1]

La simetría del radio no obliga a que los extremos tengan el mismo comportamiento.

17 · Cambios finitos

El índice inicial no altera el radio

Agregar, quitar o modificar una cantidad finita de términos no cambia la convergencia de una serie. Por eso comenzar en n=0, n=1 o en otro índice finito no altera el radio.

Sí puede cambiar la función suma mediante un polinomio. Por ejemplo:

∑n=1∞xn=x/(1−x),   |x|<1

mientras que la serie desde n=0 suma 1/(1−x). Ambas poseen radio 1.

18 · Representar el resultado

Intervalos abiertos y cerrados en código

Un intervalo necesita guardar más que sus límites numéricos: cada extremo puede estar incluido o excluido.

function intervaloConvergencia(centro, radio, incluyeIzquierdo, incluyeDerecho) {
  if (radio === Infinity) return "(−∞, ∞)";
  if (radio === 0) return `{${centro}}`;
  const izquierdo = centro - radio;
  const derecho = centro + radio;
  return `${incluyeIzquierdo ? "[" : "("}${izquierdo}, ${derecho}${incluyeDerecho ? "]" : ")"}`;
}

console.log(intervaloConvergencia(2, 1, true, false)); // [1, 3)

Los booleanos no deben deducirse del radio: son el resultado de analizar las dos series de frontera.

19 · Exploración interactiva

Laboratorio: construir el intervalo

Elegí una serie y desplazá el punto de prueba. La recta resalta la región de convergencia y distingue extremos abiertos y cerrados.

EXPERIMENTO 29

Centro, radio y extremos

∑xⁿ/n

Resultados debajo.
Centro0
Radio1
Intervalo[−1, 1)
En el punto elegidoConverge absolutamente

El extremo izquierdo converge por Leibniz; el derecho es la serie armónica.

La banda amarilla representa el interior de convergencia absoluta; un círculo violeta cerrado indica que ese extremo está incluido.

20 · Comprensión

Confusiones frecuentes

«El radio es el extremo derecho»

No. El radio es una distancia; el extremo derecho es c+R.

«El cociente menor o igual que uno garantiza convergencia»

No. Los criterios del cociente y la raíz requieren un valor estrictamente menor que uno.

«Los extremos se incluyen siempre juntos»

No. Cada uno produce una serie numérica distinta y se estudia de forma independiente.

«En todo el intervalo hay convergencia absoluta»

La convergencia es absoluta en el interior. En los extremos puede ser absoluta, condicional o no existir.

«R=∞ tiene extremos que probar»

No hay extremos reales finitos; la serie converge para todo x∈ℝ.

«R=0 significa que la serie nunca converge»

Siempre converge en el centro, donde solo queda el término constante.

21 · Práctica y síntesis

Ejercicios de radio e intervalo

Ejercicio 1: dos extremos incluidos

Hallá el intervalo de ∑(x−2)ⁿ/n².

Ver solución

El radio es 1 y el interior (1,3). En ambos extremos aparece una serie de magnitudes 1/n², por lo que ambos convergen absolutamente. Intervalo: [1,3].

Ejercicio 2: escala geométrica

Estudiá ∑n(x+4)ⁿ/5ⁿ.

Ver solución

El cociente tiende a |x+4|/5, así que R=5 e interior (−9,1). En ambos extremos los términos tienen magnitud n y no tienden a cero. Intervalo: (−9,1).

Ejercicio 3: radio infinito

Calculá el radio de ∑(x−7)ⁿ/(2ⁿn!).

Ver solución

El cociente absoluto es |x−7|/[2(n+1)]→0 para todo x. Por lo tanto, R=∞.

Ejercicio 4: potencia par

Determiná el intervalo de ∑x²ⁿ/4ⁿ.

Ver solución

Es geométrica con razón x²/4. Converge si |x|<2. En x=±2 los términos valen 1, así que diverge. Intervalo: (−2,2).

Ejercicio 5: extremo condicional

Hallá el intervalo de ∑(−1)ⁿ(x−1)ⁿ/n.

Ver solución

El radio es 1 y el interior (0,2). En x=0 aparece ∑1/n, divergente; en x=2 aparece ∑(−1)ⁿ/n, convergente. Intervalo: (0,2].

Ideas para recordar

  • El radio mide una distancia desde el centro; el intervalo enumera valores de x.
  • Dentro del radio hay convergencia absoluta y fuera hay divergencia.
  • El cociente suele dar R=1/A; la raíz ofrece una fórmula más general.
  • Los criterios que calculan el radio son inconclusos en la frontera.
  • Cada extremo debe sustituirse y analizarse como una serie numérica.
  • Los extremos admiten las cuatro combinaciones de inclusión posibles.
  • Un radio infinito no tiene extremos finitos; un radio cero conserva el centro.
  • Cambiar una cantidad finita de términos no modifica el radio.

En el próximo tema aprenderemos a sumar, multiplicar, derivar e integrar series de potencias dentro de su región de convergencia.